拉普拉斯轉(zhuǎn)換

1、拉普拉斯轉(zhuǎn)換（Laplace Transform） 通常來說，一般我們?nèi)粘Ｉ钪兴佑|到的信號，大都是以時(shí)間的函數(shù)來表示，因?yàn)檫@具有一般人可以理解的物理上直觀的意義?？墒且?yàn)樾盘栐谙到y(tǒng)中相關(guān)的分析與應(yīng)用上的需要，常常就必須使用其它的方式來表示這些信號。之前，在本電子報(bào)中所提到的傅立葉轉(zhuǎn)換（Fourier transform），就是以頻率的形式來表示信號的有效方法。在這篇文章中，我們將介紹另一種表示信號的方式，那就是十八世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace）在他的著作“Theorie analytique des probabilities”中所提出的拉普拉

2、斯轉(zhuǎn)換（Laplace transform）（以下簡稱為拉氏轉(zhuǎn)換）。在拉氏轉(zhuǎn)換相對應(yīng)的空間領(lǐng)域里，通常慣用以變量符號的函數(shù)來作為信號的表述。而在事實(shí)上，由于拉氏轉(zhuǎn)換擁有一對一的對應(yīng)特性，因此并不會造成信號轉(zhuǎn)換之間的混淆。換句話說，一個(gè)以時(shí)間函數(shù)所表示的信號，就只會有一個(gè)與其相對應(yīng)的拉氏轉(zhuǎn)換表述函數(shù)，但是特別要注意的是，并非所有的時(shí)間信號都會存在有與其相對應(yīng)的拉氏轉(zhuǎn)換。一般在拉氏轉(zhuǎn)換的定義上，我們會有下列數(shù)學(xué)積分運(yùn)算的關(guān)系式此外，我們也會把下列表述的關(guān)系式稱做為一組拉氏轉(zhuǎn)換對組（Laplace transform pair）其中符號表示的是拉氏轉(zhuǎn)換的積分運(yùn)算，而符號被稱做反拉氏轉(zhuǎn)換（invers

3、e Laplace transform），也就是拉氏轉(zhuǎn)換的逆運(yùn)算。舉例來說，當(dāng)時(shí)間函數(shù)的時(shí)候，其相對應(yīng)的拉氏轉(zhuǎn)換經(jīng)過上述計(jì)算后，就可以被表示成；而當(dāng)信號被選為一個(gè)指數(shù)函數(shù)的形式時(shí)，也就是，它的拉氏轉(zhuǎn)換就可以經(jīng)計(jì)算而被寫成。為了拉氏轉(zhuǎn)換在使用上的方便，一些常用的時(shí)間函數(shù)信號的拉式轉(zhuǎn)換，都可以直接從登載有拉式轉(zhuǎn)換對組的轉(zhuǎn)換表上查得。表(一)列出了一些常用的時(shí)間函數(shù)信號的拉氏轉(zhuǎn)換對組，其中相關(guān)的系數(shù)和可以是任意的實(shí)數(shù)。表(一) 常用的時(shí)間函數(shù)信號的拉氏轉(zhuǎn)換對組拉氏轉(zhuǎn)換中的變量符號，基本上可以當(dāng)作一個(gè)復(fù)數(shù)來看待，也就是可以寫成，其中和都是實(shí)數(shù)，而。當(dāng)選定時(shí)，也就是說變成只剩下這一項(xiàng)，如果把這個(gè)關(guān)系式代

4、回去上述的拉氏轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)式，那么整個(gè)式子就會變成了一般傅立葉轉(zhuǎn)換的表述式。從這個(gè)層面來看，拉氏轉(zhuǎn)換其實(shí)就可以稱做是廣義的連續(xù)時(shí)間（continuous time）的傅立葉轉(zhuǎn)換。所以在傅立葉轉(zhuǎn)換中所擁有的一些重要特性，譬如說線性加成（linearity）、時(shí)間微分（time differentiation）、時(shí)間積分（time integration）與回旋積分（convolution）等特性，拉氏轉(zhuǎn)換也同樣會擁有這些性質(zhì)。我們在此把這幾個(gè)重要定理依序在表(二)中列出來，其中相關(guān)的系數(shù)和可以是任意的實(shí)數(shù)。表(二) 拉氏轉(zhuǎn)換的一些重要定理接著下來，我們就來討論拉氏轉(zhuǎn)換究竟有什么用途。簡單來說，拉氏轉(zhuǎn)

5、換最大的好處就是它能夠把較為復(fù)雜的關(guān)于積分與微分的問題，轉(zhuǎn)變成運(yùn)用比較容易計(jì)算的代數(shù)方法來解決。因此，在拉式轉(zhuǎn)換的廣泛應(yīng)用上，通常是被使用來解決下列幾種形式的問題：用來解常數(shù)系數(shù)（constant coefficient）的線性微分或積分方程式。用來分析線性非時(shí)變系統(tǒng)（linear time-invariant system）的輸入與輸出信號之間的關(guān)系。就讓我們在這里舉兩個(gè)例子來看看如何有效的運(yùn)用拉氏轉(zhuǎn)換。 首先，我們來介紹如何利用拉氏轉(zhuǎn)換來解一個(gè)線性微分方程式。假設(shè)現(xiàn)在有一個(gè)待解的微分方程式如下所示：利用拉氏轉(zhuǎn)換在表(一) 與表(二)所列的關(guān)系式，我們先在這個(gè)微分方程式等號的兩邊取各自的拉氏

6、轉(zhuǎn)換，然后就可以得到以下的式子：因?yàn)榈睦限D(zhuǎn)換是，我們將這個(gè)結(jié)果與初始值代回去上述式子，經(jīng)過移項(xiàng)整理后，我們可以得到接著在等號的兩邊除以“”這一項(xiàng)，經(jīng)過進(jìn)一步的整理可得既然是為一組拉氏轉(zhuǎn)換對組，所以微分方程式的解就可以直接從上述的取反拉氏轉(zhuǎn)換來獲得，也即是因此，我們僅只使用代數(shù)四則運(yùn)算的方法，以及查對拉氏轉(zhuǎn)換的對組和定理，微分方程式的解就這么輕而易舉的獲得了。這個(gè)以拉氏轉(zhuǎn)換來求解線性微分方程式的所有演算程序，即如圖(一)中的紅色箭號所示。傳統(tǒng)方法代數(shù)方程式解答的拉氏轉(zhuǎn)換數(shù)值方法代數(shù)運(yùn)算微分方程式包括初始值得到解答圖(一)利用拉氏轉(zhuǎn)換解線性微分方程式的過程 接下來的這個(gè)例子，我們將要討論利用拉氏

7、轉(zhuǎn)換來分析線性非時(shí)變系統(tǒng)的輸入與輸出信號之間的關(guān)系。在一般的線性非時(shí)變系統(tǒng)中，通常會使用圖(二) 的方塊圖來表示輸入與輸出信號與系統(tǒng)之間的關(guān)系，其中是輸入信號，是輸出信號，是表示系統(tǒng)特性的脈沖響應(yīng)（impulse response），而、和分別代表是它們相對應(yīng)的拉氏轉(zhuǎn)換表述。圖(二)線性非時(shí)變系統(tǒng)輸入與輸出信號方塊圖在上述圖(二) 的系統(tǒng)中，輸入與輸出信號在時(shí)域定義里相互之間的關(guān)系，可以用下列回旋積分的式子來表示：如果微積分的相關(guān)計(jì)算學(xué)得不太好的話，這個(gè)式子可能就不太有機(jī)會算得出來了。所幸我們可以利用拉式轉(zhuǎn)換在表(二)中的特性，把這個(gè)復(fù)雜的積分式子轉(zhuǎn)變成代數(shù)演算的問題來處理，也就是說：等到我們

8、先將和的拉式轉(zhuǎn)換表述項(xiàng)和相乘后，再取這整個(gè)乘積式子的反拉式轉(zhuǎn)換，這樣就可以得到我們想要得到的系統(tǒng)輸出了?，F(xiàn)在讓我們舉一個(gè)例子來試看看，假設(shè)在圖(二) 的線性非時(shí)變系統(tǒng)中，所使用的輸入信號是，并且，而表示系統(tǒng)特性的脈沖響應(yīng)為，那么此時(shí)的系統(tǒng)輸出信號是什么呢？當(dāng)然，如果利用回旋積分的定義，輸出信號就可以由下列關(guān)系式來求得：看來這個(gè)積分式子并不是三兩下就可以被解答的。如果我們想直接利用拉式轉(zhuǎn)換來解決這個(gè)問題，我們可以先找出和的拉式轉(zhuǎn)換對應(yīng)項(xiàng)，它們分別是和，然后把這兩項(xiàng)相乘可得最后取上述式子的反拉式轉(zhuǎn)換，我們就可以得到如下的系統(tǒng)輸出總之，我們僅只使用代數(shù)運(yùn)算的法則，以及查表找出拉氏轉(zhuǎn)換的對組和定理，就

9、這么輕而易舉的得到了線性系統(tǒng)的輸出信號。這個(gè)以拉氏轉(zhuǎn)換來找出線性系統(tǒng)輸出響應(yīng)的所有演算過程，即如圖(三)中的紅色箭號所示。 圖(三)利用拉氏轉(zhuǎn)換來尋找線性系統(tǒng)的輸出響應(yīng) 看了以上幾個(gè)運(yùn)用拉氏轉(zhuǎn)換的例子，想來大家己經(jīng)能夠感受到拉氏轉(zhuǎn)換好用的地方。除了上述的幾種應(yīng)用之外，拉氏轉(zhuǎn)換還可以用來探討電阻-電感-電容的電路（RLC circuit）分析問題，也可以被使用來求取系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)（transfer function），進(jìn)而利用它來決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性（stability）及頻率響應(yīng)（frequency response）。由于篇幅限制的因素，在此我們就不再多做敘述，有興趣的讀者可以去看看下列的參考書

10、籍?？偠灾绻軌蛴行У幕钣美限D(zhuǎn)換這個(gè)數(shù)學(xué)工具，那么許多與微分或積分相關(guān)的復(fù)雜問題，都可以利用代數(shù)運(yùn)算的方法簡單地來分析與解答。參考書籍1 Abell, M. L. and Braselton, J. P. (1996). Modern Differential Equations: Theory, Applications, Technology. Orlando, FL: Saunders College Publishing.2 Lindner, D. K. (1999). Introduction to Signals and Systems. WCB/McGraw-Hill.3 Oppenheim, A. V., Willsky, A. S. and Nawab, S. H. (1997). Signals & Systems, 2nd ed. (International ed.) Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall Inc.4 Strum, R. D. and Kirk, D. E. (2000). Contemporary Linear Systems Using M