習題答案數(shù)值分析x

1、第六章習題解答22、利用梯形公式和Simpson公式求積分jin xdx的近似值，并估計兩種方法計算值的最大122 2最大誤差限誤差限。解：由梯形公式：© aT(f)= f(aRf(b) =2 1 Ink In 2Lju_2-宅0.34662注 f © )二1212<_1 =_lfc0.083312 12其中,由梯形公式：bS(f)=_af(a)6+4 f(b+a13)+ f(b)= lnl +41n()-4n 2農(nóng) 0.385862最大誤差限288062880*|Rs ( f 卜 _(b 一a)： f(4)(m)<6_2880 0.0021,其中，口己(1,2

2、)。4、推導中點求積公式f ( x)dx (b a) f ( afb_a)3+24b)<證明： 構(gòu)造一次函數(shù)P (x),使P b U fV 2丿aa + b +則，易求得 P( x) J ()(x_ab)+f(222且 P(x)dx_f (a b )(xfbb+a 2 f(a °)dx4.+ 1J一 JiaaL222 一b0*dx (b a)f(f(a壯)a b)，令P(x)dx 1(f)+f(Lb)224-04-現(xiàn)分析截斷誤差：令 r(x) = f(x) -P(x)二 f(x)f，( )(x _4u-h)22，,+ D+D由r (x)=f (x) _f()易知尼 為r(x)的

3、二重零點，2 2+所以可令 r (x) =®( x)( x- a b )2 ,+ b構(gòu)造輔助函數(shù)K(t)=f(t)_ P(t)_<p(x)(t _a )，則易知：2K (x) = K a-b- j = 0其中t =上2為二重根. K(t)有三個零點I 2 )2(話)使1.由羅爾定理，存在 n ( n)=o 即 f“m)_2K(x)= o A K(x)=.)2"口)/4-1 從而可知r (x)=f(x)_P(x)二22截斷誤差R( f ) = b f(x)dx -1(f) = |b f ( x) _P(x) dxaar ( x) dxbf")(x2；(x /)

4、2在(a,b)區(qū)間上不變號，且連續(xù)可積，由第二積分中值定理2b f (口) a 4)(X 2R(f) = fa綜上所述rbf(x) dx 1(f)2 f ( - ) a -to 2)dx = | (x )2 a 2a 、R(f) (b a)f( +b)+ = _' f 化)24匚 e (a.b)(b . 3()證畢I+241J exdx ,若分別用復化梯形公式和復化 0剖分多少等分才能保證有六位有效數(shù)字？解：由復化梯形公式的誤差限6、計算積分Simpson公式，問應將積分區(qū)間至少(f)l = 2h f)I 1212n2二12n2<-X10 -2|Rs(f)| =bh4 f )28

5、80可解得：n >3.707 即至少剖分4等分?？山獾茫簄 >212.85 即至少剖分213等分。由復化梯形公式的誤差限e<< + x2880n210537、以0, 1, 2為求積節(jié)點，建立求積分I = Jf(x)dx的一個插值型求積公式，并推導此 o求積公式的截斷誤差。解：在0,1, 2節(jié)點構(gòu)造lagrange插值多項式，貝9有P2 ( x)= 10 (x)f (0)+11 (x)f(l)4I2(x)f(2)=(X l )(x 2.) f (0) +臥工f (1) +f (2)(0 -1)(0 2) (1- 0)(1- 2)(2- 0)(2- 1)則 f (x)鬥(x

6、)+ 4")3!3 GO x(-x 1)0 2)3f(x)dx0f(0).32l(X3?_3x + 2) dxi- (- f(i)' ( x "_2 x)dx+ o=衛(wèi)_丄 X3-3 X2 +2x03- f(l)l X33232f(0)x3f(2)?< 92 2 2 2 f(0) 一 f(2)44再分析截斷誤差R(f) =f (：)X( x_l)(x _2) dx3! (x 2- x)dx2 o-x2 屛一 p X3_1 xo3232此處分段處理對上式在0, 3上求積分，則有33fG)(g)=| P2 ( x)dx + I 03 (x) dx0 03!其中3!

7、 o3! 21)其中，對于Ri(f) = 13!2f，3)(-) x( x - 1)( i2)dx0由于 x( x -l)(x -2)在0,2上不保持常號故考慮構(gòu)造一個三次多項式F(x)滿足下列插值條件:=1 2(3) v1.3(3) jt即 R(f) = |f ( -) x(x-1 )(x 一2)dx + | f f)x( x - 1 )(x-2)dx = Ri ( f )+R2 ( f)F (0)= f(0) F (1)= f(l) F (2) = f(2)F'(l>f'(l) F (2) = f' (2)由Hermite插值方法，有f(x)_F(x) =_f

8、(4)(0(x_0)(x _l)2(i2)dx4!2 2則 R(f)=jf(x> F (x) dx=4- J f g)x(x J)2 (x 2)dx04! 0顯然此時x(x -l)2 (x-2)在0, 2上恒小于等于0.于是由第二積分中值定理Ri (f)=4- f(4)(n/f x(x-l)2 (x-2)dx4!。)2=f(n i r (x4 _4x3 4-5x2 _2x)dx4!£1(4)»15453221(4)= n 一 _ +一 _= -一n4! f( i)5 x x 3 xx o90f ( 1 )2)其中 R2 ( f)=f，3)石)x(xl)(x -2)dx

9、3!2顯然x(x -l)(x -2)在2, 3上恒正.于是由第二積分中值定理R2 ( f ) = T f(3)(m) x( x -1)( x -2) dxJ*?3!)3)=T f(5 (x3 -3x2 + 2x)dx =3 f (“2 3!"8綜上，截斷誤差 R(f)= Ri(f)+R2(f)二f (”2)+f仆)8903)所以 I二 i f(x)dx=£f(0)9f(2)+R(f)(R(f) =3 f(3 012 1 f(佝)o448908、( 1)試確定下列求積公式屮的待定系數(shù)，指出其所具有的代數(shù)精度。hhcIf(x)dx忠一f(°)+ f(h)+ah2f,0

10、)_f*(h)d2解：分別將f(x) =1 , x代入求積公式，易知求積公式精確成立。代入=f(x) X2 ,令求積公式精確成立，于是有:h3可解得：oc 12代入f(x) =x3 ,于是有左4右h4h4 h4二=244左=右,求積公式成立。代入f(X)= X4 ,于是有5七 h5 h4 h4右=236左工右，求積公式不精確成立。綜上可知，該求積公式具有三次代數(shù)精度。19、對積分f f ( x)(l )dx ,求構(gòu)造兩點Gauss求積公式，要求：(1) 在0,1上構(gòu)造帶權(quán)P(x)二1-X2的二次正交多項式；(2) 用所構(gòu)造的正交多項式導出求積公式。解：(1)構(gòu)造在0,1上構(gòu)造帶權(quán)函數(shù) x)=l

11、之2的正交多項式Qo(x)、Ql(x)、Q2(x),取(Ll、Qo xQ心"a)嘰)xQo ( x),Q 0 ( x) _Qo ( x) Qo(X)£x(l -X2 )dx 3i 2_：f (1- X ) dx053則 Qi (x)=x_ o8同理，Q 2( x) = X2I6419+ -H-，求Q2 ( X)的零點得:95xo =0.17306907,xi = 0.66903619求積系數(shù)：Ao = f Ro (x)d炬 0.395236170Ai = I* fli (x)dx 0.271430530(2)求(1)可導出求積公式：iJ)f (x)(l - x 2 )dx%

12、 Ao f ( xo) + Al f(xi )3 1J 一dx并與精確值比較。=0.39523617 f (0.17306907 0.27143053 f (0.66903619)11、試用三點Gauss-Legendre公式計算解：設三點Gauss-Legendre求積節(jié)點為:JT5to = ，ti = 0 ,5相應求積系數(shù)為：585Ao =，Ai =,A2=,a=1 , b = 3 ,9991f(x)二，令 X 二a卞X223 1b _a ia+bb _a則 f dx f(-+t)dt X2*722一a+1)ba% b-a-2 Ai f(-+一 ti)2i=o22怎 1.09803922精

13、確值為：ln3=1.09861229 ,二者誤差：5.7307 X 10_4o113、對積分 J* f(x)hJdx-導出兩點Gauss求積公式解：在0, 1上構(gòu)造帶權(quán)P(x) ta 亠的正交多項式 (x)、<P1 (x)、®2(x)X1 1)(Xpo ( x)0 ( x) J()xln_xdx 1%(x)"年(x)=(x7 先(x)=d廣牝(x)y°(x)廠丁丁 S In dxo(x) = X _4同理可得 ®2(x)=X25_X+7_7252求(p=2 (x)的零點可得 xo 0.11200881 xi 0.60227691以xo、xi作為高斯

14、點兩點高斯公式，n =1，應有3次代數(shù)精度，求積公式形如 I1| f ( x)ln dx = Ao f ( xo ) *A1 f ( xi )將f(x) =l,x代入上式兩段,I In 1_dx Ag= + Al'b X| I 1H xln -dx=xo Ao+xiAi聯(lián)立解出：Ao 宅 0.71853932,A產(chǎn) 0.28146068所以所求兩點 Gauss求積公式I1(f(x)ln dx = Ao f( xo > Ai f( xi 土 0.71853932 f (0.11200881)+0.28146068 f (0.60227691)15、利用三點Gauss-Laguerr

15、e求積公式計算積分' 2 dx*o 1乜解：原積分I：1心，其中ex_2d 'e-f(x)dxf(x)_七o T xo1+ X由三點Gauss-Laguerre求積節(jié)點:xo =0.415774556&xi = 2.2942803063,X3 =6.2899150829相應求積系數(shù) Ao =0.7110930099,Ai = 0.2785177336,A2 =0.01038925652則=立IAkT(xk) 1.49700652K 016、設f(x)四階連續(xù)可導，Xi =x0+ih, i=0,l,2。試推導如下數(shù)值微分公式的截斷誤差。 +f(X2 ) < f ( X0 ) 4 f(XI)3 f ( X2 )2h解：設L2 (x)是f ( x)的過點XO , XI , X2的2次插值多項式，由Lagrange插值余項(n=2)有，r)+ t (X 0< - <f (x) L? (x)3( X) XIX23!其中 °3 ( X)( X_X0 )( x Xl )( x"X2 )若取數(shù)值微分公式 f'(xfL2(x)t。g )則截斷誤差 R2(X)= f' (X)