高等數(shù)學(xué)向量及其運(yùn)算ppt課件

1、數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系 第七章第七章第一部分第一部分 向量代數(shù)向量代數(shù)第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中在三維空間中: :空間形式空間形式 點(diǎn)點(diǎn), , 線線, , 面面基本方法基本方法 坐標(biāo)法坐標(biāo)法; 向量法向量法坐標(biāo)坐標(biāo), , 方程組）方程組）空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù) 7.1 向量及其運(yùn)算向量及其運(yùn)算一、向量概念 二、向量的線性運(yùn)算 三、空間直角坐標(biāo)系 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 五、向量的模、方向解、投影 既有大小既有大小, 又有方向的量叫做向量又有方向的量叫做向量. v 向量向量 向量可用粗體字母、向量可用粗體字母、 或加箭頭的書寫體字母表示或加箭頭

2、的書寫體字母表示. 以以A為起點(diǎn)、為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量, 記作記作AB 例如a、r、v、F或a、r、v、F. 向量用一條有方向的線段向量用一條有方向的線段(稱為有向線段稱為有向線段)表示表示.v 向量的表示法向量的表示法 一、向量概念 如果向量如果向量a和和b的大小相等的大小相等, 且且方向相同方向相同, 則說向量則說向量a和和b是相等的是相等的, 記為記為a=b. 相等的向量經(jīng)過平移后可以完全重合相等的向量經(jīng)過平移后可以完全重合. . 向量的相等向量的相等 與起點(diǎn)無關(guān)的向量與起點(diǎn)無關(guān)的向量, 稱為自由向量稱為自由向量, 簡(jiǎn)稱向量簡(jiǎn)稱向量. 自由向

3、量自由向量 向量的模向量的模 向量的大小叫做向量的模向量的大小叫做向量的模. 向 量a、a、AB的 模 分 別 記 為 |a|、|a、|AB. 單位向量單位向量 模等于模等于1的向量叫做單位向量的向量叫做單位向量. 零向量零向量 零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合, 它的方向可它的方向可以看作是任意的以看作是任意的. 模等于0的向量叫做零向量 記作0或0. 向量的平行向量的平行 兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反, 就稱這兩個(gè)向量平行就稱這兩個(gè)向量平行. 向量向量a與與b平行平行, 記作記作a/b. 零向量認(rèn)為是與任何向量都平行零向量認(rèn)為是與任何

4、向量都平行. 共線向量與共面向量共線向量與共面向量 當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí) 它它們的終點(diǎn)和公共的起點(diǎn)在一條直線上們的終點(diǎn)和公共的起點(diǎn)在一條直線上 因而因而 兩向量平行又稱兩向量共線兩向量平行又稱兩向量共線 設(shè)有設(shè)有k(k3)個(gè)向量個(gè)向量 當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同同一點(diǎn)時(shí)一點(diǎn)時(shí) 如果如果k個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上 就稱這就稱這k個(gè)向量共面?zhèn)€向量共面 二、向量的線性運(yùn)算 設(shè)有兩個(gè)向量設(shè)有兩個(gè)向量a與與b, 平移向量平移向量, 使使b的起點(diǎn)與的起點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合的終點(diǎn)重合, 則從則從a的起點(diǎn)到的起點(diǎn)到b的終點(diǎn)的向

5、量的終點(diǎn)的向量c稱為稱為向量向量a與與b的和的和, 記作記作a+b, 即即c=a+b.1.1.向量的加法向量的加法 c=a+b三角形法則三角形法則平行四邊形法則平行四邊形法則 向量的加法的運(yùn)算規(guī)律向量的加法的運(yùn)算規(guī)律 (1)交換律交換律a+b=b+a; (2)結(jié)合律結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c).向量的減法 向量b與a的差規(guī)定為 b-a=b+(-a). 負(fù)向量三角不等式 |a+b|a|+|b|, |a-b|a|+|b|, 等號(hào)在b與a同向或反向時(shí)成立. 與向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的負(fù)向量, 記為-a. 當(dāng)當(dāng)=0時(shí)時(shí), |a|=0, 即即a為零向量為零向量. 向量向量a與實(shí)數(shù)與

6、實(shí)數(shù)的乘積記作的乘積記作a, 規(guī)定規(guī)定a是是一一個(gè)向量個(gè)向量, 它的模它的模|a|=|a|, 它的方向當(dāng)它的方向當(dāng)0時(shí)時(shí)與與a相同相同, 當(dāng)當(dāng)0時(shí)與時(shí)與a相反相反. 2.向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 當(dāng)當(dāng)=-1時(shí)時(shí), 有有(-1)a =-a. 當(dāng)當(dāng)=1時(shí)時(shí), 有有1a=a; (1)結(jié)合律結(jié)合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律分配律 (+)a=a+a; (a+b)=a+b. 向量與數(shù)的乘積的運(yùn)算規(guī)律向量與數(shù)的乘積的運(yùn)算規(guī)律 向量的單位化向量的單位化 于是于是a=|a|ea. 設(shè)設(shè)a0, 則向量則向量 是與是與a同方向的單位向量同方向的單位向量, 記為記為ea. |aa 例例1 形對(duì)角線的

7、交點(diǎn)形對(duì)角線的交點(diǎn). 例1 在平行四邊形ABCD中設(shè)aABbAD.試用 a和b表示向量MA、MB、MC、MD其中M是平行四邊 MAAMAC22ba)(21baMA)(21baMAMC于是于是 因?yàn)镸DBD2ba所以 )(21abMD 解解 由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分, 所以所以 MAAMAC22baMAAMAC22ba )(21baMAMC)(21baMAMC. )(21baMA MDBD2ba )(21abMD)(21abMD)(21baMDMB)(21baMDMB)(21baMDMB. 例例設(shè)設(shè)ABC 的三邊的三邊cABbCAaBC ,三邊中點(diǎn)分別為三邊中

8、點(diǎn)分別為 D、E、F 試用試用cba,表示表示CFBEAD,并證明并證明0 CFBEAD證證ABCDEFBCABAD21 ac21 CABCBE21 ba21 ABCACF21 cb21 CFBEAD )(23cba 0 定理1. 設(shè) a 為非零向量 , 那么( 為唯一實(shí)數(shù))證證: “ ”., 取 且再證數(shù) 的唯一性 .那么,0故.即abab設(shè) abba取正號(hào), 反向時(shí)取負(fù)號(hào), a , b 同向時(shí)那么 b 與 a 同向,設(shè)又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而“ ”那么,0 時(shí)當(dāng)例例1. 設(shè)設(shè) M 為為MBACD解解:ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn),0 時(shí)當(dāng)ba,0 時(shí)當(dāng),aAB ,b

9、DAACMC2MA2BDMD2MB2知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,MDMCMBMAba表示與試用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD 給定一個(gè)點(diǎn)給定一個(gè)點(diǎn)O及一個(gè)單位向量及一個(gè)單位向量 i 就確定了就確定了一條數(shù)軸一條數(shù)軸Ox 對(duì)于軸上任一點(diǎn) P 必有唯一的實(shí)數(shù) x 使OPxi 并且 并且軸上的點(diǎn)并且軸上的點(diǎn)P與實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)x有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系: 點(diǎn)點(diǎn)P實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)x 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)x稱為軸上點(diǎn)稱為軸上點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo) v 數(shù)軸與點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)軸與點(diǎn)的坐標(biāo) 說明：說明：三、空間直角坐標(biāo)系 v 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 y軸軸

10、z軸軸原點(diǎn)原點(diǎn) x軸軸 在空間取定一點(diǎn)在空間取定一點(diǎn)O和三個(gè)兩兩垂直的單位向量和三個(gè)兩兩垂直的單位向量i、j、k 就確定了三條都以就確定了三條都以O(shè)為原點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸為原點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸 依次記為依次記為x軸軸(橫軸橫軸)、y軸軸(縱軸縱軸)、z軸軸(豎軸豎軸) 統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸 它們構(gòu)它們構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系 稱為稱為Oxyz坐標(biāo)系坐標(biāo)系 (2)數(shù)軸的的正向通常符合數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則右手規(guī)則. (1)通常把通常把x軸和軸和y軸配置在軸配置在水平面上水平面上, 而而z軸則是鉛垂線軸則是鉛垂線;在空間直角坐標(biāo)系中在空間直角坐標(biāo)系中任意兩個(gè)坐標(biāo)軸可以確

11、定一個(gè)任意兩個(gè)坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面平面 這種平面稱為坐標(biāo)面這種平面稱為坐標(biāo)面.坐標(biāo)面坐標(biāo)面 三個(gè)坐標(biāo)面分別稱為三個(gè)坐標(biāo)面分別稱為xOy 面面, yOz面和面和zOx面面.卦限卦限 坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分部分, 每一部分叫做卦限每一部分叫做卦限, 分分別用字母別用字母I、II、III、IV等等表示表示. v 向量的坐標(biāo)分解式 OROQOPNMPNOPOMr 以O(shè)M為對(duì)角線、三條坐標(biāo)軸為棱作長(zhǎng)方體 有 任給向量 r 對(duì)應(yīng)有點(diǎn) M 使rOM. 設(shè) i xOP j yOQ kzOR 則 kjirzyxOM. OROQOPNMPNOPOMr kjirzyxOM. 上式稱為向量上式

12、稱為向量r的坐標(biāo)分解式的坐標(biāo)分解式 xi、yj、zk稱為向量稱為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量 點(diǎn)點(diǎn)M、向量、向量r與三個(gè)有序與三個(gè)有序x、y、z之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 任給向量任給向量r 存在點(diǎn)存在點(diǎn)M及及xi、yj、zk 使使 有序數(shù)有序數(shù)x、y、z稱為向量稱為向量r的坐標(biāo)的坐標(biāo) 記作記作r(x y z) 有序數(shù)有序數(shù)x、y、z也稱為點(diǎn)也稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo) 記為記為M(x y z) ) , ,(zyxzyxOMMkjir. 向量向量 稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的向徑的向徑 OMr 坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn) 其坐標(biāo)各有一定

13、的其坐標(biāo)各有一定的 特特征征 例如例如 點(diǎn)點(diǎn)M在在yOz面上面上 則則x0 點(diǎn)點(diǎn)M在在zOx面上的點(diǎn)面上的點(diǎn) y0 點(diǎn)點(diǎn)M在在xOy面上的點(diǎn)面上的點(diǎn) z0 點(diǎn)點(diǎn)M在在x軸上軸上 則則yz0 點(diǎn)點(diǎn)M在在y軸上軸上,有有zx0 點(diǎn)點(diǎn)M在在z軸上的點(diǎn)軸上的點(diǎn) 有有xy0 點(diǎn)點(diǎn)M為原點(diǎn)為原點(diǎn) 則則xyz0v坐標(biāo)軸上及坐標(biāo)面上點(diǎn)的特征坐標(biāo)軸上及坐標(biāo)面上點(diǎn)的特征四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 那么ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 時(shí)當(dāng)aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:，為實(shí)數(shù)例 2 求

14、解以向量為未知元的線性方程組byxayx2335 例例2 2其中其中a=(2 1 2) b=(-1 1 -2). 解解 如同解二元一次線性方程組如同解二元一次線性方程組 可得可得 x2a3b y3a5b 以以a、b的坐標(biāo)表示式代入的坐標(biāo)表示式代入 即得即得 x2(2 1 2)3(1 1 2) (7 1 10) y3(2 1 2)5(1 1 2) (11 2 16). . ) 1 ,1 ,1 (212121zzyyxx 從而 )(11OBOAOM 因此 )(OMOBOAOM OAOMAM 解解 例例3 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)A(x1 y1 z1)和和B(x2 y2 z2)以及實(shí)數(shù)以及實(shí)數(shù)1 在直線 A

15、B 上求一點(diǎn) M 使 MBAM. 這就是點(diǎn)這就是點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo) 由于由于 OMOBMB ),(zyx說明: 由得定比分點(diǎn)公式:,121xx,121yy121zz,1時(shí)當(dāng)點(diǎn) M 為 AB 的中點(diǎn) , 于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中點(diǎn)公式中點(diǎn)公式:1. 向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式222zyx),(zyxr 設(shè)則有OMr 222OROQOP由勾股定理得),(111zyxA因AB得兩點(diǎn)間的距離公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx對(duì)兩點(diǎn)與, ),

16、(222zyxB, rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA五、向量的模、方向角、投影 例4. 求證以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM證證:1M2M3M21MM 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 為頂點(diǎn)例5. 在 z 軸上求與兩點(diǎn))7, 1 ,4(A等距解解: 設(shè)該點(diǎn)為設(shè)該點(diǎn)為, ),0,0(zM,BMAM因?yàn)?2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故

17、所求點(diǎn)為及)2,5,3(B. ),0,0(914M考慮考慮: (1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程 ?離的點(diǎn) . 提示:(1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為, )0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為, ),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例例6. 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn))5,0,4(A和, )3, 1 ,7(B解解:求141)2,1,3(142,141,143.BABABABAoyzx2. 方向角與方向余弦方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量 ,ba任取空間一點(diǎn) O ,aOA作,bOBOAB稱 =

18、AOB (0 ) 為向量 ba,的夾角. ),(ab或類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . ,0),(zyxr給定與三坐標(biāo)軸的夾角 , , rr稱為其方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦稱為其方向余弦. 記作),(baoyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性質(zhì):的單位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos例7. 已知兩點(diǎn))2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20計(jì)算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos

19、,32,34321MM(21MM21MM例8. 設(shè)點(diǎn) A 位于第一卦限,解解: 知知角依次為,43求點(diǎn) A 的坐標(biāo) . ,43那么222coscos1cos41因點(diǎn) A 在第一卦限 ,故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 . )3,23,3(向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾 ,6AO且OAOAAO3.3.向量在軸上的投影向量在軸上的投影 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)O及單位向量及單位向量e確定確定u軸軸 任給向量 r 作rOM 再過點(diǎn)再過點(diǎn)M作與作與u軸垂直的平面交軸垂直的平面交u軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)M 則向量則向量 MO稱為向量 r在 u 軸上的分向量. 設(shè)eMO 則數(shù)稱為向量 r在 u 軸上的投影 記作 Prjur或或(r)u 向量向量a在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)ax ay az就是就是a在在三條坐標(biāo)軸上的投影三條坐標(biāo)軸上的投影 即即 axPrjxa ayPrjya azPrjza 性質(zhì)性質(zhì)3 3 ( (a)ua)u(a)u (a)u (即即Pr