(完整word版)等比數(shù)列的性質(zhì)(word文檔良心出品)

1、13教學(xué)內(nèi)容【知識(shí)結(jié)構(gòu)】1.等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（qM0, 即: H=q （q0 ,an 11從第二項(xiàng)起”與前一項(xiàng)”之比為常數(shù)（q）an成等比數(shù)列a=q ( n N ,qM0 an2隱含：任一項(xiàng)an 0且q 0an工0是數(shù)列 an 成等比數(shù)列的必要非充分條件.3 q= 1時(shí)，an為常數(shù)*2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1: ann 1 /cai q (ai q 0)3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2: anm 1 /cam q (a1 q 0)4.既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零

2、常數(shù)列.5.等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G, b成等比數(shù)列，那么稱這個(gè)數(shù)G為a與b的等比中項(xiàng).即G=±jab （a,b同號(hào)）如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a,G，bG G2 ab GJab，a G反之，若 G =ab,則G b，即a,G,b成等比數(shù)列* a G成等比數(shù)列，則a,G,b成等比數(shù)列G2 =ab (a b06.等比數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+k，則ama. apQk在等比數(shù)列中，m+n=p+q， am,an,ap,ak有什么關(guān)系呢?由定義得：am a1qm 1 a. ae" 1 ap agP1 akk 1a1 q2 m n 2am an a1 q

3、2 p k 2ap aka, q貝UamanapQk7.等比數(shù)列的增減性：當(dāng)q>1, ai >0或Ovqvl, ai<0時(shí)，宥是遞增數(shù)列；當(dāng)q>1, a1 <0,或0<q<1, a1>0時(shí)，an是遞減數(shù)列;當(dāng) q=1時(shí),an是常數(shù)列；當(dāng)qvO時(shí)，an是擺動(dòng)數(shù)列；【熱身練習(xí)】求下列各等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:1. ai = 2,a3 = 82.a1 =5,且 2an 1 = 3an3.a1 =5,且an 1an解: 1.a32aiqq24an(2)2n12n 或 an2)( 2)n12)n2.qan 13an2又:aian（3）n13.an 1 nann

4、 1a2aia3a2anan 1以上各式相乘得:1an a1n【例題精講】例1已知an , bn是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列,求證 an bn是等比數(shù)列.證明：設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)是ai，公比為qi；bn的首項(xiàng)為bi，公比為q2，那么數(shù)列an bn的第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)分別為:a1 qj 1 b1 q2n 1 與a1 qj d q?"即為 a1b1(q1q2)n1 與 aibi(qiq2)nan 1 bn 1aibi(qiq2)nan bna1(q1q2)nqe.它是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，所以an bn是一個(gè)以qiq2為公比的等比數(shù)列.例2已知：b是a與c的等比中項(xiàng)，且a、b、c同號(hào),求證：a b

5、c,Jab be C/Obc也成等比數(shù)列*證明：由題設(shè)：b2=ac 得:ab b2 be3,ab bc ca 2 q)a b c ab bc ca,疽c也成等比數(shù)列3 V 3例3 (1)已知an是等比數(shù)列，且an 0, a2a428385a4 a625 ,求 a3 as*a 三數(shù) a, 1, c成等差數(shù)列，a2,1,c2成等比數(shù)列，求；a c解：（1） an是等比數(shù)列,a2 a4 + 2 a3 a5 + a4 a6 = ( a3 + a5 ) 25,又 an >0, a3 + a5 = 5;/ a, 1, c成等差數(shù)列，二a+ c= 2,又 a2, 1, c2 成等比數(shù)列，二 a2 c2

6、 = 1,有 ac= 1 或 ac= 1,當(dāng) ac= 1 時(shí),由 a+ c= 2 得 a= 1, c= 1,與 ac矛盾,-ac= 1,2(a c) 2ac 6a2 c2例4已知無窮數(shù)列105,105,105,n 110求證：（1）這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列1（2）這個(gè)數(shù)列中的任一項(xiàng)是它后面第五項(xiàng)的 10（3）這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個(gè)數(shù)列中證：（1）旦10 5an 1n 210 5110'（常數(shù)）.該數(shù)列成等比數(shù)列*an 5(3) apaq二 10 510 510 110 5 1010 5例5設(shè)a,b,c,d均為非零實(shí)數(shù),10，即:10 5,(第P2 .2a ban110an 5*P,q

7、 N，- P q 2*q 1 項(xiàng)).d2 2b a c d b2 c20 ,求證：a,b,c成等比數(shù)列且公比為d*證一：關(guān)于d的二次方程a2b2 d2 2b a c d b2 c20有實(shí)根,4b2 a c 2 4 a2 b2則必有：b2 ac 0,即b2ac ,-a,b,c成等比數(shù)列設(shè)公比為q，則b aq , caq2代入a2 a2q2d2 2aq a aq2 d a2q2a2q40 q2 1 a20 ,即 d2 2qd q2q 0*a2 b2 d2 2b a c d b2c2022二 a d 2abdb2b2d2 2bcd ad b 2 bd0，二 ad且bda,b,c,d 非零,例6.設(shè)S

8、n為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,Sn kn2N，其中k是常數(shù).(1)求 ai 及 an ;(2)若對(duì)于任意的m N , am,a2m , a4m成等比數(shù)列，求k的值.解(1)當(dāng) n 1,a1 S1k 1 ,n 2, anSn Sn 1 kn2 n k(n1)2 (n 1) 2kn k 1 ()經(jīng)驗(yàn)，n 1,()式成立,an2kn k 1(2)am,a2m, a4m成等比數(shù)列,2a2mam a4m ,即(4km k 1)2 (2km k 1)(8kmk 1)，整理得：mk(k 1)0,對(duì)任意的m N成立,例7在等差數(shù)列 an中，若a10 = 0,則有等式a1+a2+ an=a1+a2+ a19-n(nv

9、 19, n N)成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列 bn中，若b9= 1,成立I則有等式得 ai + ai9= 82+ ai8= =an + a2o-n答案：bib2bn= bib2bi7n (nV 17, 解：在等差數(shù)列 an中，由aio= 0,=an+1+ ai9n= 2aio= 0,所以 ai + a2+an+ ai9= 0,即ai+ a2+ an= ai9 ai8一an又 V ai= ai9, a2= ai8, ,ai9 n= an+1二 ai + a2+ + an= ai9 ai8一an+1 = ai + a2+ + ai9n,若 89= 0,同理可得 ai+a2+ an =

10、ai + a2+ ai7 n,相應(yīng)地等比數(shù)列 bn中，則可得：bib2bn= bib2bi7n (nV 17, n N* )?！緜溥x例題】例8.如圖3 1,在邊長為I的等邊 ABC中，圓Oi為ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與 AB, BC相切，圓On+1與圓On外切，且與 AB、BC 相切，如此無限繼續(xù)下去記圓On的面積為an (n N*)，證明an是等比數(shù)列；證明：記rn為圓On的半徑，貝u r1=tan30 = 3 'rn 1 rnrn 1-n1=Sin30 =i，所以12 lrn=-rn 1 (n>2，于是 a1= n r= 312anan 1(亠2rn 1an成等

11、比數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：該題考察實(shí)際問題的判定，需要對(duì)實(shí)際問題情景進(jìn) 行分析，最終對(duì)應(yīng)數(shù)值關(guān)系建立模型加以解析。2例 9已知數(shù)列an和bn滿足：a1=Xan+1=-ann4,bn(1)n(an3n 21),其3中入為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù).(I )對(duì)任意實(shí)數(shù) 入證明數(shù)列an不是等比數(shù)列;(n)試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論.解：(I)證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)an是等比數(shù)列，則有a；，即(I3)2等比數(shù)列.(-4)4 29990,矛盾.所以an不是(n )解：因?yàn)?bn1 ( 1)n 1(an 1(n1)21)|(1)n(an 3n 21)bl18所以18，bl 0 (n N+),此時(shí)bn不是等比數(shù)

12、列：當(dāng) 入冷18時(shí),ba 12b118 0,由上可知bn 0,二亠 -(n N+).故當(dāng)入詞8時(shí)，數(shù)列bnbn3是以-(卅18)為首項(xiàng)，-1為公比勺等比數(shù)列.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運(yùn)算能力。例10等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n N ，點(diǎn)(n ,&)，均在函數(shù)y bx r(b 0且b 1,b,r均為常數(shù))的圖像上.(1)求r的值;(2)當(dāng)b=2時(shí)，記 bn丄(n N ) 求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和T*4anr(b 0且b 1,b,r均為常解:因?yàn)閷?duì)任意的n N，點(diǎn)(n,Sn)，均在函數(shù)y bx數(shù))的圖像上所以得Sn bn當(dāng) n 1 時(shí),a1S1b r

13、,當(dāng) n 2 時(shí),anSnSn 1bn八n 1 r (b,.n . n 1r) b b(b 1)bn1又因?yàn)閍n為等比數(shù)列,所以r1,所以 an (b 1)bn1(2)當(dāng) b=2 時(shí)，an (b 1)bn12n1n 1 n 12n 12n 1則Tn尋31T 22Tn歹歹相減，得Tn2 n12(1 r)1 12n 1qn 1n2* 11n 12門2112門2n 12n 212nn 12* 1n 32* 1152【鞏固練習(xí)】a21.設(shè)等比數(shù)列an的公比q=2,前n項(xiàng)和為S,則S4 = 2.等比數(shù)列an中,a3=7,前3項(xiàng)之和S3=21，則公比q的值為或-； 3.如果-1,a,b,c,-9 成等比數(shù)

14、列，那么b=_-3 ,ac= 94.在等比數(shù)列an中，已知aia3aii=8,貝U a2a8= 4二 5.若數(shù)列3 n的前n項(xiàng)和S=3n-a ,數(shù)列a n為等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的值是1 .6.設(shè)ai,a2,a3,a4成等比數(shù)列，其公比為2,231 32的值為 -.233 3447. 等比數(shù)列3n前n項(xiàng)的積為Tn,若3336318是一個(gè)確定的常數(shù)，那么數(shù)列丁10,丁13,T17, T25中也是常數(shù)的項(xiàng)是_T 17.也是等比數(shù)列，則Sn8. 在等比數(shù)列3n中，312 ,前n項(xiàng)和為Sn ,若數(shù)列3n等于(C ) .(A) 2n 12(B) 3n (C)2n (D)3nC.提示：因數(shù)列 4為等比，則an 2qn1 ,因數(shù)列3n也是等比數(shù)列,22則(3n 1 1)(3n 1)(3n 2 1)3n 123n 1、3n(1 q2 2q) 0 q 13n3n 23n3n 23n 3n 2 23n 1即3n 2，所以Sn 2n，故選擇答案Co9.若互不相等的實(shí)數(shù)3,b,c成等差數(shù)列，c,3,b成等比數(shù)列，且3 3b c 10 ,則 3( D ) A. 4 B . 2 C2 D4提