(完整word版)空間向量與立體幾何知識點歸納總結(jié)

1、空間向量與立體幾何知識點歸納總結(jié)一.知識要點。1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量（2）向量具有平移不變性2. 空間向量的運算。定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下（如圖）運算律：加法交換律：a b a加法結(jié)合律：（a b） a （b c）數(shù)乘分配律：（a b ta b運算法則：三角形法則、平行四邊形法則、 平行六面體法則3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直 線平行或重合，那么這些向量也叫做共 線向量或平行向量，a平行于b，記作a / b。（2）共線向量

2、定理：空間任意兩個向量a、b （ b工0 ） , a/b存在實數(shù)入使a = 7b（3）三點共線：A、B、C三點共線<=>AB二AC<=> 0C = xOA yOB（其中 x y = 1）f一a（4）與a共線的單位向量為土 a4. 共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在實數(shù) x, y 使 p = xa yb。（3）四點共面：若A、B、C、P四點共面<=>AP = xAB yAC<二>0P = xOA yOB zO

3、C（其中 x y z = 1）T吟片一45. 空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量 p，存在一I 444個唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y, z，使p二x* yb zc。彳片呻若三向量a,b,c不共面，我們把a,b,C叫做空間的一個基底，a,b,c叫做基向量， 空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。推論：設(shè)Of,B,C是不共面的四點，則對空間任一點 P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù) x, y, z，使 OP 二 xOA yOB zOC。6. 空間向量的直角坐標(biāo)系：（1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系O - xyz中，對空間任一點a ,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（

4、x,y,z）,使OA = xi yi zk，有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，記 作A（x, y,z） , x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。注：點A（x,y,z）關(guān)于x軸的的對稱點為（x,-y,-z）,關(guān)于xoy平面的對稱點為（x,y,-z）. 即點關(guān)于什么軸/平面對稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。在y軸上的點設(shè)為（0,y,0）,在平面yOz中的點設(shè)為（0,y,z）用i,j,k表示。空間中任一向量xk yj zk =（x,y,z）（3）空間向量的直角坐標(biāo)運算律：. 若a =483）, b = Qbb），則 a b 二佝 bi，a2 b2,a tQ ,

5、2（印-九已2 一耳-切，a= （a a?, a?"R）,aaQ a?b2 asd ,ab=印二"a?二 b?,a bs（R）,a _ b 二 a1b1 a2b2 a3b3 = 0。 若 A（N，yi，zi）,則 AB 二（x 為必 - zj。一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起 點的坐標(biāo)定比分點公式：若A（x，y , z）,， APiPB，則點P坐標(biāo)為xi亠 x2 Vp亠 y2 乙亠 z2（ ， ， ）。推導(dǎo)：設(shè) P （x,y,z）則（x -如丫 - ,z - zi）=叫x - x$2 - z）,111顯然，當(dāng)P為AB中點時，P（x1程

6、必'，目互） ABC中，A佃，,）弋化小乙）,?！埃?，三角形重心P坐標(biāo)為P ( x1 + x2 +x3y1 *y2*y3z1*z2*Z33,2,28' ABO的五心：內(nèi)心P：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點AP(AB AC)(單位向量)ABAO外心垂心P：外接圓的圓心，中垂線的交點。P：高的交點：PA PB二PA PCPAP:中線的交點，三等分點(中位線比) 中心：正三角形的所有心的合一。彳(4)模長公式：若 a=(aa2,a3)， b = (b1,b2,b3)， 則 |a|=重心PB 二 |pcPC (移項，內(nèi)積為0，貝卩垂直)1AP (AB AC)32 2 26 6(5)夾角公

7、式：cos/2 彳= aia2a3 , |b | =.g J _ / 耳 _dbr a2b2 aA_|a| |b亍a?2十s2押詬弋2。 ABC中AB MO 0<=>A為銳角ABAC ：0V=>A為鈍角，鈍角 (6)兩點間的距離公式：若 A(x-i, y-i,z1) , B(x2, y2,z2), 則| AB |=忒2 2 2x2xj(y2yj (z2zj ，或dA,B ；(X2 -Xi)2 (y2 -yi)2 (Z2 -乙)27. 空間向量的數(shù)量積。(1) 乍間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b，在空間任取一點o，作T T T 苓.4彳吟OA二aOB二b,則na o

8、b叫做向量a與b的夾角，記作丈a,b > ；且規(guī)定 0上a , b上，顯然有:a, b = ： b, a ;若:a,b ,則稱a與b互相垂直，記作：a _ b。2(2) 向量的模：設(shè)OA二a ,則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作：歯。h ii(3) 向量的數(shù)量積：已知向量 a,b，則la|b I cos ”： a,b 叫做a,b的數(shù)量積，記 作a b，即 a b =向 |b| cos a,b 。(4) 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：二、2a e =|a |cos a,e 。 a b = a b = 0。 | a | 二 a a。(5) 空間向量數(shù)量積運算律：斗彳百(;)、b 二 G

9、b) = a (b)。a b = b a (交換律)。4 H片F(xiàn) a (b c a b a c (分配律)。p fc- p> * 不滿足乘法結(jié)合率：(a b)c = a(b c)二.空間向量與立體幾何1. 線線平行U兩線的方向向量平行1- 1線面平行二線的方向向量與面的法向量垂直1- 2面面平行二 兩面的法向量平行2線線垂直（共面與異面） 兩線的方向向量垂直2- 1線面垂直=線與面的法向量平行2- 2面面垂直二兩面的法向量垂直3線線夾角二（共面與異面）0°,90°二兩線的方向向量n2的夾角或夾角的補角,cos日=cos c n1,n2 a3- 1線面夾角和0°

10、;,90°:求線面夾角的步驟：先求線的方向向量AP與面的法向量n的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，貝S取其補角；再求其余角，即是線面的夾角.sin日=cose AP,n >3- 2面面夾角（二面角）二0°,180°:若兩面的法向量一進一出，則二面角等于兩法向量nn2的夾角；法向量同進同出，則二面角等于法向量的夾角的補角.cos = cos nn24.點面距離h :求點P x°,y°到平面的距離：在平面上去一點Q x,y ,得向量PQ ;；4-1線面距離（線面平行）:轉(zhuǎn)化為點面距離4-2面面距離（面面平行）:轉(zhuǎn)化為點面距離PQ»

11、1* nn'l計算平面:的法向量n;.h【典型例題】1. 基本運算與基本知識（）例匕 已知平行六面體_ABCp二A B CD ,化簡下列向量表達式，標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。 AB BC ； AB AD AA ； AB BC ;1| AB AD CC ；一 (AB AD AA)。23M1= xOA yOB zOC （其中x y z=1）的四點P, A, B,C是否共面?例 3 已知空間三點 A (0, 2, 3), B (-2, 1, 6), C (1,- 1, 5) 求以向量AB,AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積 S;若向量a分別與向量AB,AC垂直，且|a|= 3，求向量a的坐標(biāo)。2.

12、基底法(如何找，轉(zhuǎn)化為基底運算)3. 坐標(biāo)法(如何建立空間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo))4. 幾何法例 4.如圖，在空間四邊形 OABC中，0A=8 , AB =6 , AC = 4 , BC = 5 , OAC = 45：, OAB =6，求OA與BC的夾角的余弦值。說明：由圖形知向量的夾角易出錯，女口 ：OA,ACT35；易錯寫成：OA,AC*45，切記! 例 5.長方體 ABCD -A3GD中，AB=BC=4 , E為A® 與B1D1的交點，F(xiàn)為BC1與的 交點，又AF BE，求長方體的高BB1?！灸M試題】1.已知空間四邊形ABCD，連結(jié)AC,BD，設(shè)M,G分別是BC,CD的中點，化簡

13、下列各表達 式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量：（1）AB BC Cd ；(2) AB 1(BD BC)；21 -(3) AG (AB AC)。22. 衛(wèi)知平行四邊形_ABCD,平面AC外一點0引向量 OE =kOA OF = kOB,OG = kOC,OH =kOD。（1）求證：四點E,F,G,H共面；（2）平面AC /平面EG。13.如圖正方體ABCD -ABGD1中，B1E1二DFg，求BE1與DF“所成角的余弦。45.已知平行六面體ABCD-ABCD中， AB = 4, AD = 3, AA = 5, BAD 二 90'，BAA 二 DAA = 60：，求 AC 的長。參考答案1. 解：如

14、圖，(1) AB BC CD = Ac CD=AD；1 11T(2) AB (BD BC)二 AB BC BD。2-二 AB BM MG 二 AG ；(3) AG - (AB AC)二 AG - AM 二 MG22. 解：(1)證明：T四邊形ABCD是平行四邊形，二 / EG =Og -Oe ,T T T T T T T=k OC -k OA =k(OC -OA) =k AC 二 k(AB AD)T T T T T = k(OB -OA OD -OA) =OF -OE二 EF EHE,F,G,H 共面；(2)解：t Ef =OF-OE.EF /AB, EG/ AC。所以，平面AC/平面EG。3

15、.OH -OEOFOE =k(OB OA) =k AB，又TAB TD ,解：不妨設(shè)正方體棱長為1,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz ,3 1則 B(1,1,0), E1(1-,1) , D(0,0,0) ,£(0, ,1),4 4A-11二 BE廠(0, -；,1) , DF廠(0,；,1),44=v，1 115BEi DFi =0 0()11 =4 4165.1115cos Be1,dF11615。'/ 妬妬 17444.分析：；AB =(-2,-1,3),AC =(1,-3,2),.cosBAC = 1|AB|AC| 2si n60： = A3(X , y, Z),貝 y a 丄 ABn 2x_y+3z=0, -3y 2z =0,|心3二 x2 y2 z2 =3z=1 或x = y= z=