(完整版)小學奧數(shù)-格點型面積

1、格點型面積page 11 of 9例題精講板塊一正方形格點問題在一張紙上，先畫出一些水平直線和一些豎直直線，并使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等（通常規(guī)定是1個單位），這樣在紙上就形成了一個方格網，其中的每個交點就叫做一個格點在方格網中，以格點為頂 點畫出的多邊形叫做格點多邊形，例如，右圖中的鄉(xiāng)村小屋圖形就是一個格點多邊形.那么，格點多邊形的面積如何計算？它與格點數(shù)目有沒有關系？如果有，這兩者之間的關系能否用計算 起來探討這些問題吧！用N表示多邊形內部格點，L表示多邊形周界上的格點，S表示多邊形面積，請同學們分析前幾個例 題的格點數(shù).我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：S N丄1 .這個規(guī)律就是畢克定理.2畢

2、克定理若一個格點多邊形內部有 N個格點，它的邊界上有 L個格點，則它的面積為S N 1 .2【例1】用9個釘子釘成相互間隔為 1厘米的正方陣（如右圖）如果用一根皮筋將適當?shù)娜齻€釘子連結起來就得到一個三角形， 這樣得到的三角形中， 面積等于1平方厘米的三角形的個數(shù)有多少？面積等于2平方厘米的三角形有多少個?【解析】面積等于1平方厘米的三角形有32個.面積等于2平方厘米的三角形有 8個.（1）面積等于1平方厘米的分類統(tǒng)計如下:底為2，高為13X 2=6（個）底為2，高為13X 2=6（個）3 X 2=6（個）底為1，高為23X 2=6（個）底為2，高為12X 2=4（個）底為1,高為22 X 2=

3、4（個）所以，面積等于 1平方厘米的三角形的個數(shù)有：6+6+6+6+4+4=32（個）（2）面積等于2平方厘米的分類統(tǒng)計如下:3 X 2=6（個）1X 2=2（個）所以，面積等于 2平方厘米的三角形的個數(shù)有：6+2=8（個）【例2】如圖，4 4的方格紙上放了 16枚棋子，以棋子為頂點的正方形有 個.【解析】根據(jù)正方形的大小，分類數(shù)正方形共能組成五種大小不同的正方形（如右圖）1 1的正方形：9個；2 2的正方形：4個；3 3的正方形：1個；以1 1正方形對角線為邊長的正方形：4個；以1 2長方形對角線為邊長的正方形：2個.故可以組成9 4 14 2 20（個）正方形.【例3】判斷下列圖形哪些是格

4、點多邊形?【例4】如圖，計算各個格點多邊形的面積.+廠1f"A* + *X - 【解析】本題所給的圖形都是規(guī)則圖形，它們的面積運用公式直接可求，只要判斷出相應的有關數(shù)據(jù)就行了.方法一：圖 是正方形，邊長是 4,所以面積是4 4 16（面積單位）；圖是矩形，長是5,寬是3,所以面積是5 3 15（面積單位）； 圖是三角形，底是5，高是4,所以面積是5 4 210（面積單位）；圖是平行四邊形，底是 5,高是3,所以面積是5 3 15（面積單位）； 圖是直角梯形，上底是 3,下底是5,高是3,所以面積是（3 5）3 2 12（面積單位）； 圖是梯形，上底是3，下底是6,高是4，所以面積是（

5、3 6）4 2 18（面積單位）【鞏固】如果兩格點之間的距離是2，能利用剛計算的結果說出相應面積么？（教師總結：面積數(shù)值均擴大 4倍.）方法二：以上部分圖形除了利用各自的面積公式直接求出外，我們還可以從推導它們的面積公式過程中得到啟發(fā)，即用“割補法”或“擴展法”分別轉化成長方形來求這一種方法很重要， 在下面的題目中我們還將使用這種方法！如圖，我們利用“擴展法”將其轉化，如圖所示，從圖中易知三角形面積是長方形面積 的一半.女口圖，我們利用“割補法”將其陰影部分面積平移到右邊，轉化成一個長方形，從中易 得平行四邊形面積同理，圖、也可利用同樣的思想.【例5】【解析】方法一（擴展法）這是個三角形，雖然

6、有三角形面積公式可用，但判斷它的底和高卻十分困難，只能另想別的辦法：這個三角形是處在長是6、寬是4的矩形內，除此之外還有其他三個直角三角形,如下右圖（b），這三個直角三角形面積很容易求出，再用矩形面積減去這三個直角三角形面積，就是所要求的三角形面積矩形面積是6 4 24;直角三角形I的面積是：6 2 2 6 ;直角三角形n的面積是：4 2 2 4 ；直角三角形川面積是4 2 2 4 ；所求三角形的面積是24 （6 4 4） 10（面積單位）.方法二（割補法）將原三角形分割成兩個我們方便計算面積的三角形，如（c）圖因此三角形的面積是：5 2 2 5 2 2 10（面積單位）【例6】（“新加坡小學

7、數(shù)學奧林匹克”競賽試題）右圖是一個方格網，計算陰影部分的面積.【解析】擴展法把所求三角形擴展成正方形ABCD中這個正方形中有四個三角形：一個是要求的 VAEF；另外三個分別是：VABE、VFEC、VDAF，它們都有一條邊是水平放置的，易求它們的面積分別為1.5cm2 , 2cm2 , 1.5cm2 .所以，圖中陰影部分的面積為：3 3 （1.5 2 2 4 （ cm2） 【例7】分別計算圖中兩個格點多邊形的面積.【解析】利用“擴展法”和“割補法”我們都可以簡單的得到的面積均為9面積單位的面積均為 10面積單位.【點評】“一個格點多邊形面積的大小很可能是由哪些因素決定呢？”“格點多邊形內部的格點

8、數(shù)和周界上的格點數(shù)與格點多邊形的面積有沒有什么內在聯(lián)系呢？ ”下面我們就來探討一下！8個；第在鞏固中，我們發(fā)現(xiàn)兩個圖形面積相等進一步還可以發(fā)現(xiàn)第一個圖形邊界上的格點數(shù)是 二個圖形邊界上的格點數(shù)是10個，包含在圖形內的格點數(shù)也相等，都是6個.【鞏固】求下列各個格點多邊形的面積. 【解析】- L- L- L- L12 ;N10,- SNL11012115（面積單位）;2210;N16,- SNL2116102120（面積單位）;6 ;N12-SNL112§ 114（面積單位）;2210;N13,- SNL2113102117（面積單位）.用N表示多邊形內部格點，L表示多邊形周界上的格點，

9、S表示多邊形面積，請同學們分析前幾個例 題的格點數(shù).我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：S N - 1 .這個規(guī)律就是畢克定理.2畢克定理 若一個格點多邊形內部有 N個格點，它的邊界上有 L個格點， 則它的面積為S N L 1 .2【例8】我們開始提到的“鄉(xiāng)村小屋”的面積是多少?【解析】圖形內部格點數(shù)N 9;圖形邊界上的格點數(shù) L 20 ;根據(jù)畢克定理，則S N L 1 18（單位2 面積）.【例9】右圖是一個8 12面積單位的圖形.求矩形內的箭形ABCDEFGH的面積.【解析】HBFD箭形ABCDEFGH的面積(8 10 2 1) 4 8 (4 2 1) 2 12 32 2 46(面積單位).【例10】右圖

10、中每個小正方形的面積都是1,那么圖中這只“狗”所占的面積是多少?r-'1、>'-'-r,Ai1丿0ffV【解析】圖形內部格點數(shù)為 54,圖形周界上格點數(shù)為 19.所以圖形的面積為：54 19 2 1 62.5（面積單位）.【鞏固】如圖，每一個小方格的面積都是1平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米?1 !K i iill e01【解析】方法一：正方形格點陣中多邊形面積公式:（N+ L -1） X單位正方形面積，其中 N為圖形內格點數(shù),2L為圖形周界上格點數(shù).有N=4, L=7，則用粗線圍成圖形的面積為：（4+?-1） X 1=6. 5（平方厘米）2方法

11、二：如右上圖，先求出粗實線外格點內的圖形的面積，有=3-2=1 . 5,=2- 2=1，=2- 2=1，=2- 2=1，=2-2=1, =2- 2=1，還有三個小正方形, 所以粗實線外格點內的圖形面積為1 . 5+1+1+1+1+1+3=9. 5,而整個格點陣所圍成的圖形的面積為16，所以粗線圍成的圖形的面積為：16-9. 5=6. 5平方厘米.【例11】（“小學數(shù)學奧林匹克”競賽試題 ）5 5的方格紙，小方格的面積是 1平方厘米，小方格的頂點稱為格點.請你在圖上選 7個格點，要求其中任意 3個格點都不在一條直線上，并且使這7個點用直線連接后所圍成的面積盡可能大.那么，所圍圖形的面積是平方厘米

12、.【解析】為了使這7個點圍成最大的面積，這7個點應盡量在正方形的邊或頂點上，如圖選取7個點，圍成面積最大.最大面積為5 5 0.5 3 23.5（平方厘米）.【例12】（“保良局亞洲區(qū)城市小學數(shù)學”競賽試題）第一屆保良局亞洲區(qū)城市小學數(shù)學邀請賽在7月21日開幕，下面的圖形中，每一個小方格的面積是 1 ,那么7、2、1三個數(shù)字所占的面積之和是多少？【解析】要計算三個數(shù)字所占的面積之和，可以先分別求出每個數(shù)字所占的面積顯然，圖中的三個數(shù)字都可以看作格點多邊形，根據(jù)畢克定理，可以很方便地求出每個數(shù)字所占的面積值得注意的是：數(shù) 字“ 7”內部有兩個格點，而數(shù)字“2”和“ 1 ”內部都沒有格點.7所占的

13、面積為：2 15 2 1 8.5 ; 2所占的面積為：24 2 111 ; 1所占的面積為：17 2 1 7.5 .所以，這三個數(shù)字所占的面積之和為：8.5 11 7.5 27 【例13】（第六屆“從小愛數(shù)學”邀請賽試題）兩個邊長相等的正方形各被分成25個大小相同的小方格.現(xiàn)將這兩個正方形的一部分重疊起來，若左上角的陰影部分（塊狀）面積為5.12cm2，右下角的陰影部分（線狀）面積為7.4cm2，求大正方形的面積.【解析】塊狀部分與線狀部分之間的部分稱為方格的面積是（7.4 5.12）（17 14）大正方形的面積為19cm2 .D，則D與前者共14個方格，與后者共17個方格，因此每個192（c

14、m ）25【例14】（第六屆“華杯賽”試題）圖中正六邊形邊形CEPQ的面積.ABCDEF的面積是 54 , AP=2PF , CQ=2BQ，求陰影四【解析】如圖，將正六邊形 ABCDEF等分為54個小正三角形.根據(jù)平行四邊形對角線平分平行四邊形面積,VPEF面積 3, VCDE面積 9，四邊形 ABQP面積 11.上述三塊面積之和為 3 9 11 23 .因 此，陰影四邊形 CEPQ面積為54 23 31.板塊二三角形格點問題所謂三角形格點多邊形是指：每相鄰三點成”或“”，所形成的三角形都是等邊三角形.規(guī)定它的面 積為1，以這樣的點為頂點畫出的多邊形為三角形格點多邊形.關于三角形格點多邊形的面

15、積同樣有它的計算公式：如果用S表示面積，N表示圖形內包含的格點數(shù)， L表示圖形周界上的格點數(shù)，那么有 S 2 N L 2，就是格點多邊形面積等于圖形內部所包含格點數(shù)的2倍與周界上格點數(shù)的和減去 2.【例15】如圖（a），有21個點，每相鄰三個點成或，所形成的三角形都是等邊三角形.計算三角形ABC的面積.（a）（b）（c）（d）【解析】 方法一：如圖（b）所示，在VABC內連接相鄰的三個點成 VDEF，再連接DC、EA、FB后是VABC 可看成是由VDEF分別延長FD、DE、EF邊一倍、一倍、二倍而成的，由等積變換不難得 到 Svacd 2， Svaeb 3，Svfbc 4，所以 Sv 1 2

16、3 4 10（面積單位）方法二：如圖（C）所示，作輔助線把圖 I'、n'、川分別移拼到I、n、川的位置，這樣可以通過數(shù) 小正三角形的方法，求出 VABC的面積為10.方法三：如圖（d）所示：作輔助線可知：平行四邊形ARBE中有6個小正三角形，而 VABE的面積是平行四邊形ARBE面積的一半，即SVAEB 3，平行四邊形 ADCH中有4個小正三角形，而 VADC的面積是平行四邊形 ADCH面積的一半，即Svacd 2 平行四邊形FBGC中有8個 小正三角形，而 VFBC的面積是平行四邊形 FBGC的一半，即：Svfbc 4 所以S/12 3 410（面積單位）【鞏固】如圖，每相鄰

17、三個點所形成的三角形都是面積為1的等邊三角形，計算 VABC的面積.C【解析】【例16】1的等邊三角形）-L7 ；N7 ,- S2NL2277219（面積單位）;- L5 ；N8 ,- S2NL2285219（面積單位）；- L6 ；N7 ,- S2NL2276218（面積單位）;- L7 ；N8 ,- S2NL2287221（面積單位）【解析】【例17】把大正三角形每邊八等分，組成如右圖所示的三角形網. 粗線所圍成的三角形的面積.A如果大三角形的面積是128,求圖中【解析】【例18】圖中有1 3 5 7 9 11 13 15 64（個）小三角形，那么一個小三角形的面積是 圖形內部格點數(shù)為 1

18、2,圖形周界上格點數(shù)為 4;圖形的面積為：2 12 4 2 26（面積單位），進而得圖形的面積為：26 2 52 128 64 2 ,如圖，如果每一個小三角形的面積是1平方厘米，那么四邊形 ABCD的面積是多少平方厘米?因為N 5 ; L 3 :所以S2N L2 2532 11（面積單位）的面積是方分米.圖1圈2【解析】法一：正三角形方形格點陣中多邊形面積公式：（2N+L-2）x單位正三角形面積，其中N為圖形內格點數(shù)，L為圖形周界上格點數(shù).有N=9, L=4，所以用粗線圍成的圖形的面積為：（9 X 2+4-2） X 1=20（平方厘米）.法二：如下圖，我們先數(shù)出粗實線內完整的小正三角形有10個，而將不完整的小正三角形分成4部分計算，其中部分對應的平行四邊形面積為4，所以部分的面積為 2,、部分對應的平行四邊形面積分別為 2, 8, 6，所以、部分的面積分別為1 , 4, 3所以粗實線內圖形的面積為10+2+1+4+3=20（平方厘米）.【例19】把同一個三角形的三條邊分別5等分、7等分（如圖1，圖2），然后適當連接這些等分點，便得至廳若干個面積相等的小三角形.已知圖 1中陰影部分面積是 294平方分米