(完整版)高職專升本第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用習(xí)題及答案

1、應(yīng)用數(shù)學(xué)習(xí)題集第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一. 選擇題1 若f(X)在X0處可導(dǎo)，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是(D )。14A f (x)在xo處有極限;B f (x)在xo處連續(xù);C f(x)在xo處可微;D f'(x ) lim f (x)必成立。x x2 若f(X)在xo處可導(dǎo)，則(BA函數(shù)f (x)在點(diǎn)xo處有定義；C函數(shù)f(x)在xo處連續(xù)；)是錯(cuò)誤的。(02-03 電大試題)B lim f (x) A，但 A f (xo)；x xD函數(shù)f (x)在xo處可微。f (x)在xo處不連續(xù)，則f (x)在xo處(AA必不可導(dǎo)；B有時(shí)可導(dǎo)；C必?zé)o定義;必?zé)o極限。4 .函數(shù)f (x) =|2x|在x=0

2、處的導(dǎo)數(shù)(D ) oA等于o ;B等于2 ;C等于-2 ;不存在。5 .函數(shù) f (x) =|sinx|在點(diǎn)x=o處的導(dǎo)數(shù)(A等于-1 ;B等于等于不存在。6 . y ln | x|，則1A|x|1 。|x|7 .曲線 y=sinx在點(diǎn)(0,0)A y=2x處的切線方程是(1x2C y=xD y=-x8 . f (x) xcosx，則 f "(x)=(D )。(02-03電大試題)A cosx+xs inxC 2sin x+xcosxB cosx-xsi nxD -2s in x-xcosx9 .函數(shù)中在1 , e上滿足Lagrange 定理?xiàng)l件的函數(shù)是( B )。1A y=l n(

3、lnx);B y=l nx ;C y=;D y=l n( 2-x)。ln x使(A )o10 .若f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，Lagrange定理的結(jié)論是至少存在一點(diǎn)E,Af'() f(bbbf(a),;aB f'();Cf(b) f(a)f'( )(b a);D f'( ) f(b)f (a)o11 .f'(Xo)0,則xo是函數(shù)f (x)的(:D )o (02-03電大試題)A.極大值點(diǎn)；B.最大值點(diǎn)；C.極小值點(diǎn)；D.駐點(diǎn)。A 必有 f '(xo)0 ;B f'(xo) 必不存在;C f'(xo)0或f&#

4、39;(xo)不存在;D x (a,b)時(shí),必有 f (x)f (xo)。13 . y=arctane則 dy= ( Cexdx r_edxP。14 設(shè) f (x)2cosx，則 f '(x) =C )。2A 1-si nx ;B 1+si nx 2;C 1-sinx 2 2x ;D (1-sinx 2) 2x。15 .設(shè) f(t)1，則 f'(t)=丄,;2tt21 ;2 2 ;(t 1)3t2 1 ;2 2 ; (t 1)t21。t2116 .Xlim x a x a(a 0)的值是17 .若X1與X2分別是函數(shù)oo-aa(lna 1)。f (x)在(a,b)內(nèi)的一個(gè)極大點(diǎn)

5、和一個(gè)極小點(diǎn)，則(D 。必成立。A f(xj f(X2)；B f'(xj化)C 對(duì) x (a,b) , f (x)f(xj , f(x) f(X2); Df'(xj、f'(X2)可能為o,也可能不存在。18 若 limx Xo (xf(x) f (xo)Xo)2f (Xo)- -定是 f(x)的D )。A最大值;B極小值;C最小值;極大值。12 . xo是連續(xù)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的極小值點(diǎn)，則( C )。二. 填空題:1 .已知 f (x) =lnx，則lim皿x 0x) ln x 1 =。XX若函數(shù)y ln , 3，貝U y ' 0_。曲線y=x 3+4

6、在點(diǎn)(0,4)處的切線平行于 x軸。拋物線y=x 2在點(diǎn)(1/2,1/4) 處的切線的傾斜角是 45 °。已知 f (x) =x -sinx，貝y f "( ) = 2xy方程exyxy所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dy = y 。 dx x若函數(shù)f (x)在x=0處可微，則limx 0f(x)= f (0)。d ln(sin x)= cotxdx。d ln(cos x) = tanxdx。10 . d(sinex) ex cosexdx。11 .半徑為x的金屬圓片，面積為ln xxe12 . limxS(x)。加熱后半徑伸長(zhǎng)了x，應(yīng)用微分方法求出S疋S '(x) x。13函

7、數(shù)y=arctan(x2+1)的遞增區(qū)間是(0,)。14函數(shù)y=ln(2x 4+8)的遞減區(qū)間是(，0)。15函數(shù)y=s in x-x在其定義域內(nèi)的單調(diào)性是單調(diào)減少。16.極值存在的必要條件：如果f(x)在點(diǎn)X0處取得極值且在點(diǎn) X0處可導(dǎo)，則f (x) 0。17若函數(shù)f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)f'(x)0,則函數(shù)的最小值為f(b)。18 .設(shè)函數(shù)y f (x)二階可導(dǎo)，若f'(X0)0、19 .已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q)8020 .微分近似計(jì)算函數(shù)值公式f (xx)f(x)f"(X0) 0,貝 y f(X。)是 f (x)的極大值。2q，則產(chǎn)

8、量q 50時(shí)，該產(chǎn)品的平均成本為3.6 。f '(x) x。三、解答題:1 .求函數(shù)y1xx2 si n cos的導(dǎo)數(shù)。1. x解：因?yàn)閥2( 1) 2(1 x)2(1 x)2In x2 求函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)。sin x解：y'(In x)'sin x In x(sin x)'sin x In xcos x xsin x xln xcosxsin2 xsin2 xxsin2 x3 .求函數(shù)y x ex cosx的導(dǎo)數(shù)。解：y' ex cosx xex cosx xex sin x ex(cosx xcosx xsin x)。24 .求方程y x在點(diǎn)(3,9)處

9、的切線方程。2 2解：曲線y x在點(diǎn)(3,9)處的切線的斜率為 y x在點(diǎn)(3,9)處的導(dǎo)數(shù) 因?yàn)閥'lx 3 2x lx 36，所以切線的方程為y 96( x 3)即 6x y 905 .求函數(shù)y sin2xcos2x的導(dǎo)數(shù)。2解：y' 2sin x(sin x)' cos2x sin x( sin 2x) 222sin xcosxcos2x 2sin xsin 2x2 sin x(cosxcos2xsin xsin x2x)2sin xcos3x。解：y'1sin x12 xsec - + x 2 tan217 .求函數(shù)y 丨的導(dǎo)數(shù)。cos x解：y'

10、; (cos n x)'n 1n sin xn cosx(cosx)'cos x8 .利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求函數(shù)y (cosx)sinx的導(dǎo)數(shù)。解：兩邊取自然對(duì)數(shù)，得ln y sin x ln cosx兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得cosxl n cosxsin xsin xcosxsin xy' y(cosxln cosx sinxtan x) (cosx) (cosxln cosx sin xtanx)。9 利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求函數(shù)y (sin x)lnx的導(dǎo)數(shù)。解：兩邊取自然對(duì)數(shù)，得In y In xln sin x兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得y'J .,cosxln sin xln x-y

11、xsin xy'y 1l nsi nxxln xcot xIn x(sin x)ln sin x xln xcot x10 求方程xy yx所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) dy。dx 解：兩邊取自然對(duì)數(shù)，得y l n x x l n y兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得ln yy'ln x整理，得翌dx y(xl ny y) x(y l nx x)dydx11 .求方程arctany ln . x2y2所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)x解：兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得1 y' x y 1 2x 2yy'12yx2 x2 22x y 21X y整理,得dyxy。dxxy12 .求方程xeyyex所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

12、dy 、dx解：兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得yyxxe xe y' y'e yey x整理，得dxdx e xe13 .己知函數(shù)y xex，求y(n)。解：因?yàn)?y' ex xexex(x 1),y'' ex(x 1) ex ex(x 2), y''' ex(x 2) ex ex(x 3),所以，y(n)ex(x n)14 .已知y(n解：y(n °(n)yx 十，求 ln x1x x x_ ln2 x1 ln2 x (lnx2)In(n)y 。ln x 1ln2 xx 1)2ln2 ln x xln3 x。15 .求函數(shù)y arc

13、sin x 的微分。解:dy廠1d(arcsin x)d( 一 x)dx。寸1 x2 腫(1 x)16 .求函數(shù)y ecotx的微分。解:dycot X、cot xd(e ) e d(cot x)cot x ecsc xdx。17 .半徑為10cm的金屬圓片，加熱后半徑伸長(zhǎng)了0.05cm，求所增加面積的精確值與近似值。解：Sln4 x(r r)2 r22 r r ( r)2,dS d(r2)2 rdr 。定理？如果滿足就求出定理中的。)內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，所以f(x)在區(qū)間1,e上當(dāng) r 10, dr r 0.05 時(shí)， S 1.0025 , dS 。 即增加面積的精確值為1.0025，近似值為。18

14、 .判斷函數(shù)f (x) In x在區(qū)間1,e上是否滿足Lagrange解：因?yàn)閒(x) In x是初等函數(shù)，f (x)在其定義域(0,連續(xù)，在區(qū)間(1,e)內(nèi)可導(dǎo)，滿足Lagrange 定理?xiàng)l件。因而在區(qū)間(1,e)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f'()1 lne ln1 119 .利用L' Hospital法則求極限lim解：lim型xxln xlimxIn xx In x。xln x1 1x _1limx型20 .利用L'xln x xlimxInx 2Hospital法則求極限limx 0In tan5xIn tan8x解：|im匕宓型x 0 In tan 8xlimx 0

15、1 2 sec 5x 5 tan5x1 sec 8x 8 tan8x5 sin16x lim8x 0 sin 10x5 168 1021 .利用L'Hospital法則求極限lim xx。x 0解：00疋xln xlim ex 0lim xln xex 0因?yàn)?|im0X|nxiMx型00 X所以lim xxx 01。22 求函數(shù)x 1的單調(diào)區(qū)間。解：令y'0，解得駐點(diǎn)x）分成（，0）和（0,）兩個(gè)子區(qū)間。列表由表可知:函數(shù)23 求函數(shù)x(,0)0(0,)x-0+f'(x)-0+f(x)/0把定義域0,f （x）在（，0）內(nèi)遞減，在（0,）內(nèi)遞增。2y x In x的極

16、值點(diǎn)和極值。1 _解：令y 2xlnx x2x(21nx 1) 0，解得x 0或x e 2。因?yàn)閤 0不在函數(shù)的定義域x1 1 1(0,)內(nèi)，舍去；x e 2把(0,)分成0,e "和e ",兩個(gè)子區(qū)間。列表x10,e 21e1ej2lnx 1-0+f'(x)-0+f(x)極小值12e/- 1由表可知：當(dāng)x e 2時(shí)，函數(shù)有極小值 yx °?e 2e24 .求函數(shù)y 2x2 x4的極值點(diǎn)和極值。解：令 y' 4x 4x34x(1 x2)4x(1x)(1x) 0 ,解得x 0和x1 o駐點(diǎn)x 0和x把函數(shù)的定義域(，)分成(，1), ( 1,0) ,

17、 (0,1)和(1,)四個(gè)子區(qū)間。列表x(,1)1(1,0)0(0,1)1(1,)1 x-0+x-0+1 x+0-f'(x)+0-0+0-f(x)/極大值1極小值0/極大值1由表可知：當(dāng)x 0時(shí)，函數(shù)有極小值 y 0 ；當(dāng)x 1時(shí)，函數(shù)有極大值 y 1。25 求函數(shù)f(x) x 1n(1 x)的單調(diào)區(qū)間與極值解：Q f(x) x 1n(1 x) x (1,)1f (x)1 由 f (x)=0 ,知x=01 xx(1,0)0(0,)y0y0Zf(x)的單調(diào)下降區(qū)間為(-1, 0),上升區(qū)間為(0,)f(x)的極小值f(0)026若f (x)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證f '(x)是偶函數(shù)

18、。證：因f (x)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，知 f( x)f(x)，求導(dǎo)，有f '( x)f'(x)，所以f'( x) f '(x)，即f'(x)是偶函數(shù)。H27 .驗(yàn)證 Lagrange中值定理對(duì)函數(shù) y ax2 bx c (a 0)所求得的點(diǎn)E恒在正中間。解：函數(shù)y ax2bxc (a 0)在任意一個(gè)區(qū)間m, n上連續(xù)，在(m, n)內(nèi)可導(dǎo)，因此在(m, n)內(nèi)至少存在一點(diǎn)E使f'()f(n) f(m)n m由已知條件:f(n) f(m)2 2(an bn c) (am bm c)(n m)a (n m) bf(n)込 a(n m) bn mf'

19、;( ) 2a b2a b a( m n) b28.求曲線6x24x24x的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)解:6x224x2x4x R48x 4x32 2y 48 12x12(x4)由 y 0知 x 2x,222,222,y0-0+y9268所以曲線f x的凸區(qū)間2,2拐點(diǎn)2, 292, 6829.求曲線yxex的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)xxxxx解：yexeyeexe所以ye x x 2由于y0x 2所以曲線f x的凹區(qū)間2 2,x,222,y-0y2e 5 31.求函數(shù)y -x3 X2 4x在區(qū)間-1 , 2上的最值。所以曲線f x的凹區(qū)間2,所以曲線f x的凸區(qū)間,2拐點(diǎn)2,2e4330.求曲線y x 4x 2x 5的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)解： y 4x2解 y x2 5x 4 (x 1)(x 4)令y 0 ,求得區(qū)間-1，2上的駐點(diǎn)x 1 o 12x2 12y12x2 24 x所以曲線f x的凸區(qū)間0,2 拐點(diǎn)0, 52, 17由 y 12x x 20 知：0 x22x,000,222,y+0-0+y517所以曲線f x的凹區(qū)間 ，02,因?yàn)閒( 1)4111訂孑f(2)41I ,所以函數(shù)的最大值為fd)£，最小值為f( 1)41。6I2.設(shè)有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的鐵絲，現(xiàn)將其分為兩段，分別構(gòu)造成圓形和正方形。若記圓形的面積為S1，正方形證：設(shè)圓的半徑為x，正方形的邊長(zhǎng)為y。的面積為S2，求證：當(dāng)S1