(完整版)單調(diào)性(含答案)

1、單調(diào)性增+增=增；減+減=減；(增*增，減*減，增*減，增/減單調(diào)性不確定)考點一定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性ax(1 )討論函數(shù)f(x) =a>0)的單調(diào)性.x 1解：由 x 1工 0,得 XM 土 1,即定義域為(一8, 1) U ( 1,1) U (1 ,+8 ).2 2ax1ax2ax1X2 ax1 ax2X1 + ax2 a X2X1X1X2+ 1設(shè)一 1<X1<X2<1,則 f(X1) 一f(X2)=廠一R =XI2 2X1 1 X2 12 21<xi<X2<1,.X2 xi>0, X1X2+ 1>0, (Xi 1)( xi 1)&g

2、t;0.又 a>0，二 f(x" -f(%)>0，減函數(shù);ax1ax2a X2 X1X1X2 + 1設(shè) 1<X1 <X2，貝y f (X1) f(X2)=- 2；= 廠X1 1 X2 1X1 12 22, / 1<X1<X2, X1 1>0 , X2 1>0, X2 X1>0,X2 1X1X2+ 1>0. f (Xi) f (X2)>0，即卩 f (Xi)>f (X2).減函數(shù);又函數(shù)f (X)是奇函數(shù)， f (X)在(一8, 1)上是減函數(shù).則為減函數(shù)?？键c二.抽象函數(shù)單調(diào)性(1 )已知函數(shù)f(x)對于任意x,

3、y R,總有 f(x) + f(y)=f(X + y)，且當(dāng)x>0時，f(X)<0，判斷f(X)單調(diào)性.解：在R上任取X1, X2,不妨設(shè)X1>X2，貝yf(x 1) f(x2)= f(x 1 X2+X2) f(x2)= f(x 1 X2)+ f(x2) f(x2)= f(x 1X2).又 T x>0 時，f(x)<0，而X1 X2>0, f(x 1 X2)<0，即 f(x 1)<f(x 2).因此 f(x)在 R 上是減函數(shù).考點三.求單調(diào)區(qū)間.命題點1:圖像法(1)分段函數(shù):(1)f(X)= (XX1)2,x1,X解:增：(,0),(1,),

4、減：(0,1)(2)設(shè)函數(shù)f(x)x>0,x= 0,1,1,0,x<0,2g(x) = Xf(x 1);解:如圖所示，其遞減區(qū)間是0,1).(1)絕對值函數(shù):(1)2y = | x + 2x + 3|解：增:(,1),(0,1),減:(1,0),(1,).(2) y= x2+ 2|x| + 3;解:在(8, 1 , 0,1上是增函數(shù)，在1,0 , 1 ,+ )上是減函數(shù).5x 1(3)y 2X1,X4x 4, x 0x 151, x 1解: y51 x 1,0 x 1 ,增：(-2,0 )和(1,2x 4x 4, x 0);減：(-,-2和 0,1 。(2)比較:2 一 31- 2

5、2 - 31- 511 3一 的大小。25 2x,x 2(4) y x 2 3 x (零點分段法)； 解：y 1,2 x 3，增：(3,);減：(-,2。2x 5, x 3(3)對號函數(shù)：4(1)y x ; 解：增：(，2),(2,);減：(2,0), (0,2)。x命題點2:復(fù)合函數(shù)：2(1) y = x + x 6 ;解：令u= x5 解:函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于直線 x= 1對稱，且在(1 ,+a )上是減函數(shù).a= f 2 = f 2，所以b>a>c. + x 6, y = x2+ x 6 y=x2 + x 6的單調(diào)減區(qū)間為(一， 3，單調(diào)增區(qū)間為2 ,+ ).(2) y=

6、 log 2(x2 1);2解: y = log 2(x 1)定義域為(一a, 1) u (1 ,+s ).當(dāng) x ( a, 1)時，y= log 2(x 1)為減函數(shù)，當(dāng) x (1 ,+a )時，y= log 2(x 1)為增函數(shù).(3) y= log 1 (x2 3x+ 2)222解：令 u= x 3x + 2,貝U y = log r u.令 u= x 3x+ 2>0,則 x<1 或 x>2.2故y= log 1 (x2 3x + 2)的單調(diào)減區(qū)間為(2 ,+a )，單調(diào)增區(qū)間為(一a, 1).2(4) y=4x 3?2x+53 3x22x解：令t=2，則y=t +3t

7、+5 , y=t +3t+5遞增區(qū)間：(-2 ,)遞減區(qū)間：(-,-2),2 >0恒成立，所以原函數(shù)在定義域遞增?？键c四.由單調(diào)性比大小。(1) 已知函數(shù)f (x)的圖象向左平移1個單位后關(guān)于y軸對稱，當(dāng)X2>X1>1時，f(X2) f(x" (X2 x"<01恒成立，設(shè)a= f , b= f (2) , c=f (3)，比較a, b, c的大小。解:比較兩個指數(shù)幕大小時，盡量化同底數(shù)或同指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后比較2 2_21 3131 2大小；當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時，構(gòu)造兩個指數(shù)函數(shù)，禾U用圖象比較大小故2 253.3

8、sinxu sinxsin x ,(3)已知 x (0,1),比較 a= , b= 3 ,c=3 大小。xxx3b>a,又a與c可利用y=x單調(diào)遞增，x,則 a>c,故 b>a>c.解: a與b可利用y SinX單調(diào)遞減，x x3,X26 log 3-與 log 5-；35解： log 3-<log 3I = 0，而 log 5->log 51= 035(4 )比大小:log i.i 0.7 與 log 12O.7. log 33<log 55.作出y= log 1.1X與y = log 1.2X的圖象，如圖所示，兩圖象與x= 0.7相交可知log i

9、.i0.7<log1.20.7.考點五。二次函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)(1 )若f(x) = x2+ 2ax在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，求 a的取值范圍。解：利用二次函數(shù)動軸定區(qū)間，aw 1.(2) 若f (x) = x2 + 2 ( a-1 ) x+2在區(qū)間4,上是增函數(shù)，求 a的取值范圍。解：利用二次函數(shù)動軸定區(qū)間，1-aW4,貝U a-3.考點六。分段函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)(1)已知f (x) |2x a單調(diào)遞增區(qū)間為：3, ，求a的值。解：由絕對值圖像2x+a=0,則a=-2x=-6.(a 3)x 5, x 1(2)若f(x) =2a，是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，求 a的取值范圍。,x 1xa 3 0解：

10、由已知得2a 0解得a 0,2 .2a a 352x ax5,x 1(3)若 f(x)=a，是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求 a的取值范圍。,x1xa 0解：由已知得a1解得a2( 1)1 a 5 axa x>1,3,-2 .(4)若 f(x)=a4 2 x+ 2 xw 1是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求 a的取值范圍。a>1,a4 _>0,解：由已知得2 ，解得 a 4,8)aa> 4 2+ 2,a的取值范圍。(5)已知f(x) = (3a 1)X 4a，X 1滿足對任意的實數(shù)xiMX2都有L(X1)一<0成立，求lOga X,X 1Xi X23a- 1<0,1 1 解:

11、R上為減函數(shù)，只需滿足0<a<1,解得-< a*.3a 1 x 1 + 4a a log a1,考點七，單調(diào)性與解不等式1(1) 已知f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(-)f(1)，求X的取值范圍。X1 解：由單調(diào)性知：一 1，則X 1,即-1<X<1且X 0.X2/、卄x 4x, X 02(2) 若f (X)2，且f (2 a2) f (a)，求a的取值范圍。4x x , x 0解：畫分段函數(shù)圖象知f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，則 2-a2 a，解的-2<a<1.(3) 已知f(x)是定義在(-1 , 1)上減函數(shù)，且f(1 a) f (2a 1)，求a的取值

12、范圍。11 a 1加2解： 1 2a 110 a31 a 2a 1考點七。單調(diào)性與恒成立a(1) g(x) = X+7在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，求 a的取值范圍。解：g (x)- 20在1,2上恒成立，則-a0,當(dāng)a=0時，函數(shù)不單調(diào)，(舍)，即a>0.(x 1)(2)已知f(x) x2 2ax 2，對任意x R，都有f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。解：由題知：2。4a 80,即-J2 a V2(3)已知f(x) ax22ax 1，對任意x R，都有f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。解：當(dāng)a=0時，1>0成立;1。a 04a2 4a 0(4 )已知函數(shù)f(x)=x2

13、+ 2x + ax,若對任意x 1 ,+ m ),f(x)>0恒成立，求a的取值范圍.a2解:f(x)= x+ - + 2, x 1 ,+8 ).要使 f(x)>0 在 x 1 ,+8 )上恒成立，只需 a>- x2 -2x，即 a> 3.X(5)已知f(x) x2 2ax 2，對任意x (1,4)，都有f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。、， 2解：對任意x (1,4) , f (x) x2ax 2>0恒成立，則a<-、x 1令g(x) 2 X, g(x) gC.2).2 故: av、2 ；(6)函數(shù) f(x)log9(x 8a-)在1,)上是增函數(shù)

14、，求Xa的取值范圍.解：令g(x) x增函數(shù)，g (x)(7)若函數(shù)f(x)a，函數(shù)x旦 1x2，1x-1sin2x asinx3f(x) Iog9(x 8 -)在1, xa0 且 18 a 0 在1,x在(-g，+宀單調(diào)遞增,解：f2 5 4(x)1 cos2x acosx0 恒成立，則cos3 3 3當(dāng)t=0時，不等式顯然成立；0 t 1,a4t 5T 單增)1 1 、一,。方法:(acosx)min=-|a|,3 32(8)f(x)= x +alnx,對于任意的 X1>X2,2 ”cos2x 13f(xj f(X2)X-I x213,)上是增函數(shù)， g(x)8 -在1,x)上是)上恒成立，得1 a則a的取值范圍是(a cosx|a|0,設(shè) t=cosx,即 5 4t2 3 at13,t 0, a解得a 2成立，求a的取值范圍。4t 5§ (單增)，3；f(X1) f(X2)解：定義域X>0,X1 X22等價于f(xi) f(X2)Xia(X1 X2)X20，即(f (xi)2X1) (f(X2) 2X2)X1 X2令g(x)=f(x)-2x, 單調(diào)遞增，則g(x)2x a 20x恒成立，即a2 a2x