2017春季中考數(shù)學(xué) 圖形的平移旋轉(zhuǎn)折疊問題解析版

1、2017春季中考數(shù)學(xué)第五講圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、折疊問題【基礎(chǔ)回顧】考點(diǎn)聚焦1.了解軸對稱圖形和圖形成軸對稱的概念,知道線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圓等常見的軸對稱圖形；了解平移、旋轉(zhuǎn)的概念、掌握平移變換、旋轉(zhuǎn)變換的基本性質(zhì),能按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形.2.掌握中心對稱的概念,會判斷一些基本圖形的中心對稱性,理解中心對稱與旋轉(zhuǎn)變換的區(qū)別.3.探索圖形之間的變換關(guān)系(軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合),能靈活運(yùn)用軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計.考點(diǎn)一 軸對稱圖形、軸對稱變換例1、如圖,將三角形紙片ABC沿DE折疊,使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處,且DEBC,下列結(jié)論:B

2、DF是等腰三角形;DE=BC;四邊形ADFE是菱形;BDF+FEC=2A.其中一定正確的個數(shù)是( ).A.1 B.2 C.3 D.4【思路點(diǎn)撥】如圖,分別過點(diǎn)D，E作BC的垂線DG，EH；連接AF,由于折疊是軸對稱變換知AF與DE垂直,因?yàn)镈EBC，所以AF與BC垂直,且AM=MF,可以證明點(diǎn)D，E分別是AB,AC的中點(diǎn),即DE是ABC的中位線,所以DE=BC是正確的；由于折疊是軸對稱變換知AD=DF,AE=EF,所以DA=DB=DF,所以BDF是等腰三角形是正確的；因DGAFEH,所以BDG=DAM,又因?yàn)镈G是等腰三角形BDF的高,所以BDF=2DAM,同 理 CEF = 2 EAM, 所

3、以 BDF+FEC=2A是正確的；如圖顯然四邊形ADFE不是菱形,是錯誤的【參考答案】C【方法歸納】軸對稱圖形的定義：把一個圖形沿著一條直線對折后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形就叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸.軸對稱圖形的性質(zhì)：(1)對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分；(2)對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等,對應(yīng)的圖形是全等圖形.【誤區(qū)提醒】折紙問題是近年來中考中的熱點(diǎn)問題,本題巧妙的運(yùn)用平行線性質(zhì)、折疊全等不變性質(zhì)得到三角形中位線,如果能順利地判斷出這一點(diǎn),其他問題就將迎刃而解.在解題時不要受給出的圖形影響,如ABC像是等腰三角形,就認(rèn)為ABC就是等腰三角形,那樣的話四邊形ADFE就是

4、菱形了,造成判斷上的錯誤.此外,軸對稱圖形是指一個圖形,而軸對稱變換是指兩個圖形之間的關(guān)系.考點(diǎn)二 中心對稱圖形、中心對稱例2、下列圖形中,是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是( ).【思路點(diǎn)撥】把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果直線兩旁的部分能互相重合,那么這個圖形是軸對稱圖形； 把一個平面圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形互相重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形.對照定義,可知A是軸對稱圖形,且有1條對稱軸,但不是中心對稱圖形；B是中心對稱圖形,不是軸對稱圖形；C是軸對稱圖形,有1條對稱軸,但不是中心對稱圖形；D既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形,有4條對稱軸【參考答案

5、】B【方法歸納】如果一個圖形繞著中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合,我們把這種圖形叫做中心對稱圖形.成中心對稱的兩個圖形的對稱點(diǎn)的連線都經(jīng)過對稱中心,并且被對稱中心平分.【誤區(qū)提醒】中心對稱圖形是指一個圖形,而中心對稱是指兩個圖形之間的關(guān)系.考點(diǎn)三 平移變換例3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正三角形OAB的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，將OAB沿直線OA的方向平移至OAB的位置，此時點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 .【思路點(diǎn)撥】作AMx軸于點(diǎn)M.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得OA=OB=2，AOB=60°，在RtOAM中,利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出O

6、M=1，AM=，從而求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），直線OA的解析式為y=x,當(dāng)x=3時，y=3,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，3），所以點(diǎn)A是由點(diǎn)A向右平移2個單位，向上平移23個單位后得到的，于是得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,2）.【參考答案】（4,23）【方法歸納】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化平移，在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的平移與圖形上某點(diǎn)的平移相同.平移中點(diǎn)的變化規(guī)律：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減.也考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì).求出點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)四 旋轉(zhuǎn)變換例4、在RtABC中,BAC=90°,B=30°,線段AD是BC邊上的中線

7、,如圖1,將ADC沿直線BC平移,使點(diǎn)D與點(diǎn)C重合,得到FCE,如圖2,再將FCE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為(0°90°),連接AF,DE(1)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)ACE=150°時,求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；(2)探究旋轉(zhuǎn)過程中四邊形ADEF能形成哪些特殊四邊形？請說明理由【思路點(diǎn)撥】(1)由題意分析可知此問需分兩種情況討論：點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC兩側(cè)；點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC同側(cè)；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,總是存在AC=CE,DC=CE.由圖形的對稱性可知,將會出現(xiàn)兩種對角線相等的特殊四邊形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),較易證明解：(1)在圖1中,BAC=90°,

8、B=30°,ACE=BAC+B=120°如圖2,當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC兩側(cè)時,由于ACE=150°,=150°-120°=30°.當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC同側(cè)時,由于ACB=180°-BAC-B=60°,DCE=ACE-ACB=150°-60°=90°.=180°-DCE=90°.旋轉(zhuǎn)角為30°或90°(2)四邊形ADEF能形成等腰梯形和矩形BAC=90°,B=30°,AC=BC又AD是BC邊上的中線,AD=DC=BC=AC.A

9、DC為正三角形當(dāng)=60°時,如圖3,ACE=120°+60°=180°.CA=CE=CD=CF,四邊形ADEF為矩形當(dāng)60°時,ACF120°,DCE=360°-60°-60°-ACF120°顯然DEAFAC=CF,CD=CE,2FAC+ACF=2CDE+DCE=180°.ACF+DCE=360°-60°-60°=240°,FAC+CDE=60°.DAF+ADE=120°+60°=180°.AFDE又DEA

10、F,AD=EF,四邊形ADEF為等腰梯形【方法歸納】旋轉(zhuǎn)的概念：在平面內(nèi),將一個圖形繞一個定點(diǎn)沿某一個方向轉(zhuǎn)動一個角度,這種圖形的運(yùn)動稱為旋轉(zhuǎn),這個定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心,轉(zhuǎn)動的角度叫做旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)：經(jīng)過旋轉(zhuǎn),圖形上每個點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動了相同的角度,任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角,對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的形狀和大小,是全等變換.【誤區(qū)提醒】決定旋轉(zhuǎn)變換的三個要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度,作圖按三個步驟進(jìn)行：(1)在已知圖形上找一些關(guān)鍵的點(diǎn)；(2)畫出這些關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；(3)順次連接這些對應(yīng)點(diǎn).考點(diǎn)五 圖形變換的應(yīng)用例5、如圖，矩

11、形紙片ABCD，將AMP和BPQ分別沿PM和PQ折疊（APAM），點(diǎn)A和點(diǎn)B都與點(diǎn)E重合；再將CQD沿DQ折疊，點(diǎn)C落在線段EQ上的點(diǎn)F處.（1）判斷AMP，BPQ，CQD和FDM中有哪幾對相似三角形？（2）如果AM=1，sinDMF=，求AB的長.【思路點(diǎn)撥】（1）由矩形的性質(zhì)得A=B=C=90°，由折疊的性質(zhì)和等角的余角相等，可得BPQ=AMP=DQC，所以AMPBPQCQD；（2）先證明MD=MQ，然后根據(jù)sinDMF=DFMD=35，設(shè)DF=3x，MD=5x，再分別表示出AP，BP，BQ，根據(jù)AMPBPQ，列出比例式解方程求解即可.解：（1）AMPBPQCQD.四邊形ABCD

12、是矩形，A=B=C=90°.由折疊的性質(zhì)可知APM=EPM，EPQ=BPQ.APM+BPQ=EPM+EPQ=90°.APM+AMP=90°，BPQ=AMP.AMPBPQ.同理：BPQCQD.根據(jù)相似的傳遞性可得AMPCQD；（2）ADBC，DQC=MDQ.由折疊的性質(zhì)可知DQC=DQM.MDQ=DQM.MD=MQ.AM=ME，BQ=EQ，BQ=MQ-ME=MD-AM.sinDMF=，則設(shè)DF=3x，MD=5x，則BP=PA=PE=，BQ=5x-1.AMPBPQ，即，解得x=（舍去）或x=2，AB=6.【方法歸納】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、翻

13、折的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，圖形的折疊是對稱變換，是一種全等變換.【誤區(qū)提醒】折疊問題要注意找正確邊角的等量關(guān)系，本題求AB長時，關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)脑O(shè)出未知數(shù)表示出一對相似三角形的對應(yīng)邊并列比例式.【例題講解】1.圖形的平移：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正三角形OAB的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2, 0），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，將OAB沿直線OA的方向平移至OBA的位置，此時點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）A（4，） B（3，） C（4，） D（3，） 圖1 圖 2 圖3 圖4答案 A思路如下：如圖，當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2, 0），點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1當(dāng)點(diǎn)A'的橫坐標(biāo)為3時，等邊三角形AOC的邊長為

14、6在RtBCD中，BC4，所以DC2，BD此時B2.圖形的折疊：如圖2，在矩形ABCD中，AD15，點(diǎn)E在邊DC上，聯(lián)結(jié)AE，ADE沿直線AE翻折后點(diǎn)D落到點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FGAD，垂足為G如果AD3GD，那么DE_答案 思路如下：如圖，過點(diǎn)F作AD的平行線交AB于M，交DC于N因?yàn)锳D15，當(dāng)AD3GD時，MFAG10，F(xiàn)NGD5在RtAMF中，AFAD15，MF10，所以AM設(shè)DEm，那么NE由AMFFNE，得，即解得m3.圖形的旋轉(zhuǎn)：如圖3，已知RtABC中，ABC90°，AC6，BC4，將ABC繞直角頂點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到DEC，若點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接AF，則A

15、F= 答案 5思路如下：如圖，作FHAC于H由于F是ED的中點(diǎn)，所以HF是ECD的中位線，所以HF3由于AEACEC642，EH2，所以AH4所以AF54.三角形： 如圖4，ABCDEF（點(diǎn)A、B分別與點(diǎn)D、E對應(yīng)），ABAC5，BC6ABC固定不動，DEF運(yùn)動，并滿足點(diǎn)E在BC邊從B向C移動（點(diǎn)E不與B、C重合），DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與AC邊交于點(diǎn)M，當(dāng)AEM是等腰三角形時，BE_答案 或1思路如下：設(shè)BEx由ABEECM，得，即等腰三角形AEM分三種情況討論：如圖2，如果AEAM，那么AEMABC所以解得x0，此時E、B重合，舍去如圖3，當(dāng)EAEM時，解得x1如圖4，當(dāng)MAME時，MEA

16、ABC所以解得x圖2 圖3 圖45.四邊形：如圖，矩形ABCD中，AB8，BC4點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)G、H在對角線AC上若四邊形EGFH是菱形，則AE的長是（ ）A B C5 D6圖5 圖6 圖7答案 C思路如下：拖動點(diǎn)E在AB上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，當(dāng)EF與AC垂直時，四邊形EGFH是菱形（如圖2）如圖3，在RtABC中，AB8，BC4，所以AC由cosBAC，得所以AE5圖2 圖36.圓：如圖1，O的半徑為2，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點(diǎn)P是O上任意一點(diǎn)（P與A，B，C，D不重合），過點(diǎn)P作PMAB于點(diǎn)M，PNCD于點(diǎn)N，點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿著圓周轉(zhuǎn)過45°

17、時，點(diǎn)Q走過的路徑長為_A. B. C. D. 答案 A思路如下：拖動點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動一周，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P沿著圓周轉(zhuǎn)過45°時，點(diǎn)Q走過的路徑是圓心角為45°半徑為1的一段弧如圖2，四邊形PMON是矩形，對角線MN與OP互相平分且相等，因此點(diǎn)Q是OP的中點(diǎn)如圖3，當(dāng)DOP45°時，的長為圖2 圖37.函數(shù)圖像：如圖7，直線l與半徑為4的O相切于點(diǎn)A，P是O上一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)P作PBl，垂足為B，聯(lián)結(jié)PA設(shè)PAx，PBy，則(xy)的最大值是_答案 2思路如下：拖動點(diǎn)P在圓上運(yùn)動一周，可以體驗(yàn)到，AF的長可以表示xy，點(diǎn)F的軌跡象兩葉新樹丫，當(dāng)AF

18、最大時，OF與AF垂直（如圖2）如圖3，AC為O的直徑，聯(lián)結(jié)PC由ACPPAB，得，即所以因此所以當(dāng)x4時，xy最大，最大值為2圖2 圖3【課后練習(xí)】1.如圖1，在ABC中，AB4，BC6，B60°，將ABC沿射線BC方向平移2個單位后，得到ABC，聯(lián)結(jié)AC，則ABC的周長為_（答案 12）圖1 圖2 圖3 圖42.如圖2，已知在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，BE2CE，將矩形沿著過點(diǎn)E的直線翻折后，點(diǎn)C、D分別落在邊BC下方的點(diǎn)C、D處，且點(diǎn)C、D、B在同一條直線上，折痕與邊AD交于點(diǎn)F，DF與BE交于點(diǎn)G設(shè)ABt，那么EFG的周長為_（用含t的代數(shù)式表示）答案 思路如下：如圖2

19、-1，等邊三角形EFG的高ABt，計算得邊長為圖2-1 圖3-13.如圖3，在ABC中，ABAC5，BC4，D為邊AC上一點(diǎn)，且AD3，如果ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至D'，那么線段DD'的長為 答案 思路如下：如圖3-1，由ABCADD'，可得543DD'4.如圖4，正方形ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點(diǎn)，DAE30°，M為AE的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q若PQAE，則AP的長等于_cm答案 1或2思路如下：如圖2，當(dāng)PQAE時，可證PQ與AE互相垂直在RtADE中，由DAE30°，AD

20、3，可得AE在RtAPM中，由PAM30°，AM，可得AP2在圖3中，ADF30°，當(dāng)PQDF時，DP2，所以AP1 圖2 圖35. 將四根長度相等的細(xì)木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉(zhuǎn)動這個四邊形，使它形狀改變當(dāng)B90°時，如圖5-1，測得AC2當(dāng)B60°時，如圖5-2，AC等于（ ）(A)； (B)2； (C) ； (D) 2圖5-1 圖5-2 圖6答案 (A)思路如下：拖動點(diǎn)A繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)B90°時，ABC是等腰直角三角形；當(dāng)B60°時，ABC是等邊三角形（如圖3）6.如圖6，在矩形ABCD中，AD8，E是AB邊上一

21、點(diǎn)，且AEAB，O經(jīng)過點(diǎn)E，與邊CD所在直線相切于點(diǎn)G（GEB為銳角），與邊AB所在直線相交于另一點(diǎn)F，且EGEF2當(dāng)邊AD或BC所在的直線與O相切時，AB的長是_答案 12或4思路如下：拖動點(diǎn)B運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，O的大小是確定的，O既可以與BC相切（如圖3），也可以與AD相切（如圖4）如圖2，在RtGEH中，由GH8，EGEF2，可以得到EH4在RtOEH中，設(shè)O的半徑為r，由勾股定理，得r242(8r)2解得r5設(shè)AEx，那么AB4x如圖3，當(dāng)O與BC相切時，HBr5由ABAEEHHB，得4xx45解得x3此時AB12如圖4，當(dāng)O與AD相切時，HAr5由AEAHEH，得x541此時AB4圖2 圖3 圖47.如圖所示,在RtABC中,C=90°,BAC=60°,AB=8.半徑為的M與射線BA相切,切點(diǎn)為N,且AN=3.將RtABC順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到RtADE,點(diǎn)B,C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D,E(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的RtADE； (2)求出R