2011中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)幾何篇25圓與圓二

1、25.圓與圓（二）知識(shí)考點(diǎn)：1、掌握兩圓的內(nèi)外公切線長(zhǎng)的性質(zhì)和求切線長(zhǎng)的方法（轉(zhuǎn)化為解直角三角形）。2、掌握有關(guān)兩圓的內(nèi)、外公切線的基本圖形，以及這類問題添加輔助線的方法，會(huì)結(jié)合圓的切線的性質(zhì)解決有關(guān)兩圓公切線的問題。精典例題：【例1】如圖，O1與O2外切于P，AB是兩圓的外公切線，切點(diǎn)為A、B，我們稱PAB為切點(diǎn)三角形，切點(diǎn)三角形具有許多性質(zhì)，現(xiàn)總結(jié)如下：（1）PAB是直角三角形，并且APB900；（2）PAB的外接圓與連心線O1O2相切；（3）以O(shè)1O2為直徑的圓與RtPAB的斜邊AB相切；（4）斜邊AB是兩圓直徑的比例中項(xiàng)；（5）若O1、O2的半徑為、，則PAPBAB；（6）內(nèi)公切線PC

2、平分斜邊AB；（7）CO1O2為直角三角形。這些結(jié)論雖然在證題時(shí)仍需證明，但有了這些基本結(jié)論作基礎(chǔ)，可幫助你迅速找到解題思路，可以提高解題速度，下面用一個(gè)具體的例子來說明。 如圖2，A和B外切于P，CD為兩圓的外公切線，C、D分別為切點(diǎn)，PT為內(nèi)公切線，PT與CD相交于點(diǎn)T，延長(zhǎng)CP、DP分別與兩圓相交于點(diǎn)E、F，又A的半徑為9，B的半徑為4。（1）求PT的長(zhǎng)；（2）求證：；（3）試在圖中找出是線段PA和PB比例中項(xiàng)的線段，并加以證明。分析：圖中的基本圖形是切點(diǎn)三角形，易證T為CD的中點(diǎn)，CPD900，PT即為外公切線長(zhǎng)的一半，CF、DE分別為兩圓直徑，且互相平行，問題就解決了。略解；（1）作

3、BGAC于G，則CDBGPTCTTDCD6證明（2）PTCD，CPD900CF、DE分別是A和B的直徑 又CD切兩圓于C、D，F(xiàn)CCD，EDCDCFDE，（3）圖中是PA和PB比例中項(xiàng)的線段有PT、CT、DT（證明略）【例2】如圖，O和內(nèi)切于點(diǎn)B，經(jīng)過O，O的弦AE切于點(diǎn)C，AB交于D。（1）求證：；（2）設(shè)AB10cm，DCcm，求AC和BC的長(zhǎng)。分析：兩圓相切，常見輔助線是作兩圓公切線，作連心線，本題添了這兩種輔助線，問題便迎刃而解了。（1）證明：過B作兩圓的公切線BT，證BCDBEC即可；（2）解：連結(jié)并延長(zhǎng)，連結(jié)OD O與內(nèi)切，O、B三點(diǎn)共線 BO為的直徑 ODBD，ADBDAB5 c

4、m AC切于C，45，又AA ACDABC， ，cm探索與創(chuàng)新：【問題一】如圖，AB為半O的直徑，O1與半圓內(nèi)切于，與AB相切于，O2與半圓內(nèi)切于，與AB相切于，請(qǐng)比較AC1D1與AC2D2的大小。分析：顯然O、O1、共線，O、O2、共線，又O1D1AB，O2D2ABA1C1D1AC1OOC1D1（OO1BOOD1）O1D1O×900450；AC2D2AC2OOC2D2（C2OBOO2D2）×900450，故AC1D1AC2D2。 【問題二】如圖，已知圓心A（0，3），A與軸相切，B的圓心在軸的正半軸上，且A與B外切于點(diǎn)P，兩圓的公切線MP交軸于點(diǎn)M，交軸于點(diǎn)N。（1）若s

5、inOAB，求直線MP的解析式及經(jīng)過M、N、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）若A的位置大小不變，B的圓心在軸的正半軸上移動(dòng)，并使A與B始終外切，過M作B的切線MC，切點(diǎn)為C，在此變化過程中探究：四邊形OMCB是什么四邊形？對(duì)你的結(jié)論加以證明；經(jīng)過M、N、B三點(diǎn)的拋物線內(nèi)是否存在以BN為腰的等腰三角形？若存在，表示出來；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：（1）提示：先求出M（0，2）、N（，0），再用待定系數(shù)法易得直線MP的解析式：，過M、N、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為；（2）四邊形OMCB是矩形，證明如下： 在A不動(dòng)，A運(yùn)動(dòng)變化過程中，恒有BAOMAP，OAAP，AOBAPM900，AOBAPM，PBPM

6、，ABAM，PBOM，而PBBC，OMBC。由切線長(zhǎng)定理知MCMP，MCOB，四邊形MOBC是平行四邊形，又MOB900，四邊形MOBC是矩形。存在，由上證明可知，RtMONRtBPN，BNMN。因此存在過M、N、B三點(diǎn)的拋物線內(nèi)有以BN為腰的等腰三角形MNB存在。由拋物線的軸對(duì)稱性可知，在拋物線上必有一點(diǎn)與M關(guān)于其對(duì)稱軸對(duì)稱，BN，這樣得到滿足條件的三角形有兩個(gè)，MNB和。跟蹤訓(xùn)練：一、選擇題：1、如果兩圓的半徑分別為、，外公切線長(zhǎng)為，那么這兩個(gè)圓（ ） A、相交 B、外切 C、外離 D、外切或外離2、兩圓外切，它們的兩條外公切線互相垂直，大圓的半徑是，小圓的半徑是，則等于（ ） A、 B、

7、 C、2 D、3、已知O1和O2外切于點(diǎn)P，過點(diǎn)P的直線AB分別交O1、O2于A、B。已知O1和O2的面積比為31，則APPB（ ） A、31 B、61 C、91 D、14、如圖，O1和O2外切于點(diǎn)A，外公切線BC與O1、O2分別切于B、C，與連心線O1O2交于P，若BPO1300，則O1和O2的半徑之比為（ ） A、12 B、31 C、23 D、34二、填空題：1、兩圓的外公切線長(zhǎng)為，內(nèi)公切線長(zhǎng)為，若圓心距是20，則兩圓的半徑分別是 。2、如圖，O1和O2外切于點(diǎn)C，AB是外公切線，A、B是切點(diǎn)，若AB5，BC3，則O1的半徑為 。3、如圖，O1和O2外切于點(diǎn)C，AB是外公切線，A、B是切點(diǎn)

8、，兩圓半徑分別為9cm、4 cm，則ACBC 。 4、如圖，O1與O2相交于A、B兩點(diǎn)，現(xiàn)給出四個(gè)命題：若AC是O2的切線，且交O1于C，AD是O1的切線，且交O2于D，則：；連結(jié)AB，O1O2，若O1 A15 cm，O2 A20 cm，AB24 cm，則O1O225 cm；若CA是O1的直徑，DA是O2的一條非直徑的弦，且點(diǎn)D、B不重合，則C、B、D三點(diǎn)不在同一條直線上；若過點(diǎn)A作O1的切線交O2于點(diǎn)D，直線DB交O1于點(diǎn)C，直線CA交O2于點(diǎn)E，連結(jié)則。則正確命題的序號(hào)是 （填序號(hào)）。5、兩外切，其半徑分別為4和3，這兩個(gè)圓的連心線與一條外公切線所夾銳角的正切值為 。6、如上頁圖，O1與O

9、2外切于A，O1的弦BC延長(zhǎng)切O2于D，BA交O2于E，若BDE1100，則BAC 。三、計(jì)算或證明題：1、如圖，已知矩形ABCD，O1與O2外切，O1與AD、AB、AC相切，O2與BC、CD相切。（1）若AB18，BC25，求O2的半徑；（2）若連心線O1O2與BC的夾角為300，O1O212，求矩形ABCD的面積。2、如圖，已知O1與O2外切于P，外公切線AB分別切O1于A，切O2于B，且AB，A O1O2600，求兩圓的半徑及O1O2的長(zhǎng)。 3、如圖，已知O與P相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在O上，O的弦AC切P于點(diǎn)A，CP及其延長(zhǎng)線交P于D、E，過點(diǎn)E作EFCE交CB的延長(zhǎng)線于F。（1）求證：BC是P的切線；（2）若CD2，CB，求EF的長(zhǎng)；（3）若設(shè)PECE，是否存在實(shí)數(shù)，使PBD恰好是等邊三角形？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。跟蹤訓(xùn)練參考答