同濟六版上冊高數(shù)總結(一些重要公式及知識點)

1、同濟六版上冊高數(shù)總結微分公式與積分公式(tgx)(ctgx)(secx)(cscx)(ax )sec2 x(arcsin x)1csc xsecx tgx cscx ctgxax ln a21x2(arccos x)11x2( arctgx )1(log1x21ax)1x ln a( arcctgx )1x2tgxdxln cosxccsecxdxln secxtgxcdxcos2 x dxsinxsec2 xdxtgxcctgxdxln sin x2csc xdx2ctgxccscxdxdxln cscxctgxcsecx tgxdxsecxca2xdx21acscx ctgxdxcscxc

2、arctgx2a2dxxaa a xxcx1 ln x 2ax1 ln aaxdxaccshxdxln achxca2x2dx2aacchxdxdxshxca2x2arcsin xacln( xx2a 2 )x2a222insinn xdxcosn xdxn1 i00nn 2x2a2 dxx2a2 dxx2x 2x2x2a2a 22ln( xx2a2 )cx2a2a2ln xx2a2ca 2x2 dxa2x22a2arcsin2xacc三角函數(shù)的有理式積分：sin x2u2 ， cos x1u 22 ，utg x，dx2 du21u1u21u兩個重要極限：公式 1 limsin x1公式 2

3、lim (1x)1 / xex0xx0有關三角函數(shù)的常用公式和差角公式：和差化積公式：sin(cos()sincoscoscoscossinsinsinsinsin2sin2cos2tg()tg1tgtgtgsinsin2 cos2sin2ctg()ctg ctgctgctg1coscoscoscos2cos2sin22cossin22三倍角公式 :半角公式：sin(3 )=3sin-4sin3()sin( /2)±=(1- cos )/2cos(3 )=4cos3(-3c)os cos( /2)=±(1+cos )/2降冪公式 :萬能公式：sin2( )=-(c1os(2

4、 )/2=versin(2 )/2 sin=2tan( /2)/1+tan2(/2) cos2( )=(1+cos(2 )/2=covers(2c)o/2s =1-tan2( /2)/1+tan2(/2) tan2( )=(-1cos(2 )/(1+cos(2 )tan =2tan( /2)-/ta1n2( /2)推導公式tan +cot =2/sin2 tan -cot =-2cot2 1+cos2 =2cos2 1-cos2 =2sin2 1+sin =(sin /2+cos /2)2正弦定理：余弦定理：a sin ac2a 2b sin bb 2c2 rsin c2ab cos c反三角

5、函數(shù)性質 ： arcsin xarccos x2arctgxarcctgx2(特別要注意這兩個恒等式，證明的話，只需做出左邊的函數(shù)的導數(shù)為0 即可）高階導數(shù)公式萊布尼茲（ leibniz ）公式：(uv) ( n)nnc ku (nk 0k ) v(k )( n)uv( n 1)nuvn( n2!1)( n 2 )uvn(n1) nk k!1)(nuk )(k )v( n)uv中值定理與導數(shù)應用：拉格朗日中值定理：f (b)f (a)f ( )(ba)柯西中值定理： f (b)f (a)f ( )f (b)f (a)f ( )當f( x)x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式

6、： ds1y 2 dx, 其中ytg平均曲率：k.: 從m 點到 ms點，切線斜率的傾角變化量；s： mm弧長。m 點的曲率： klimds 0sdsy(1y.2 ) 3直線： k0;半徑為a的圓： k1 . a定積分的近似計算：bf ( x)a bba( y0ny1lyn 1 )f ( x)aba 1n2( y 0yn )y1lyn 1 定積分應用相關公式：功： wf s水壓力： fp a引力： fk m1m2,k為引力系數(shù)r 2b函數(shù)的平均值：y1ba af ( x)dx均方根：1bba af 2 (t )dt微分方程的相關概念：一階微分方程： yf (x, y)或p( x, y)dxq(

7、x, y)dy0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為g( y)dyf (x)dx的形式，解法：g( y)dyf (x)dx得： g( y)f (x)c稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方程可以寫成 dydxf (x, y)( x, y)，即寫成y的函數(shù)，解法： x設uy，則 dyxdxux du， ududxdx(u)， dxxdu (u)分離變量，積分后將uy 代替u， x即得齊次方程通解。一階線性微分方程：1、一階線性微分方程： dydxp(x) yq( x)當q( x)0時,為齊次方程， yp( x)dxce當q( x)0時，為非齊次方程，y( q(x)ep( x )dxdxc)ep

8、 ( x) dx2、貝努力方程： dydx全微分方程：p(x) yq (x) yn，(n0,1)，如果p(x, y) dxq( x, y) dy0中左端是某函數(shù)的全微分方程，即：du(x, y)p( x, y) dxq( x, y)dy0，其中： uxp( x, y)u yq( x, y)u( x, y)c應該是該全微分方程的通解。二階微分方程：d 2 ydx 2p(x) dydxq( x) yf ( x)f ( x)，f ( x)0時為齊次0時為非齊次二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*) ypyqy0，其中 p, q為常數(shù)；求解步驟：1、寫出特征方程： ()r 2prq0，其中 r 2， r的系數(shù)及常數(shù)項恰好是(*) 式中 y , y2、求出 ()式的兩個根 r1 ,r23、根據(jù) r1 ,r2的不同情況，按下表寫 出(*) 式的通解：r ，r 的形式(*) 式的通解12兩個不相等實根( p 24q0)yc er x11c er x22兩個相等實根( p 24q0)y(cc x)er x112一對共軛復根( p 24q0