中考專題復(fù)習(xí)二二 動(dòng)態(tài)幾何綜合題

1、中考專題復(fù)習(xí)二二 動(dòng)態(tài)幾何綜合題【簡(jiǎn)要分析】函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的概念，加強(qiáng)對(duì)函數(shù)概念、圖象和性質(zhì)，以及函數(shù)思想方法的考查是近年中考試題的一個(gè)顯著特點(diǎn)，大量涌現(xiàn)的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，即建立幾何中元素的函數(shù)關(guān)系式問(wèn)題是這一特點(diǎn)的體現(xiàn).這類題目的一般解法是抓住變化中的“不變”，以“不變”為“向?qū)А?同時(shí)，要善于利用相似三角形性質(zhì)定理、勾股定理、圓冪定理、面積關(guān)系，借助方程這個(gè)橋梁，從而得到函數(shù)關(guān)系式.值得注意的是，在幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系式，問(wèn)題具一定的實(shí)際意義，因此，對(duì)函數(shù)解析式中自變量的取值范圍必須認(rèn)真考慮，一般需要有約束條件.【典型考題例析】CQBAPD圖2-4-43例1 如圖2-4-43，

2、在RtABC中，C90°，AC12，BC16，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊向點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PCQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱的圖形是PDQ設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).設(shè)四邊形PCQD的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；t為何值時(shí)，四邊形PQBA是梯形？是否存在時(shí)刻t，使得PDAB？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；通過(guò)觀察、畫(huà)圖或折紙等方法，猜想是否存在時(shí)刻t，使得PDAB？若存在，請(qǐng)估計(jì)t的值在括號(hào)中的哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)(0t1；1<t

3、2；2<t3；3<t4)，若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.APCQMBD圖2-4-44分析與解答 由題意知 CQ4t，PC123t，SPCQ =. PCQ與PDQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱，y=2SPCQ. 當(dāng)時(shí)，有PQAB，而AP與BQ不平行，這時(shí)四邊形PQBA是梯形，CA=12，CB=16，CQ4t， CP123t， ，解得t2. 當(dāng)t2秒時(shí)，四邊形PQBA是梯形.設(shè)存在時(shí)刻t，使得PDAB，延長(zhǎng)PD交BC于點(diǎn)M，如圖2-4-44，若PDAB，則QMD=B，又QDM=C=90°，RtQMDRtABC，從而，QD=CQ=4t，AC12，AB=20，QM=. 若PDAB，則，得

4、，解得t=.當(dāng)t秒時(shí)，PDAB. 存在時(shí)刻t，使得PDAB. 時(shí)間段為：2t3.BAPQOC圖2-4-45xy例2 如圖2-4-45，在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(18，0)，B(18，6)，C(8，6)，四邊形OABC是梯形.點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q沿OC、CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)這兩點(diǎn)有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).求出直線OC的解析式.設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了t秒，如果點(diǎn)O的速度為每秒2個(gè)單位，試寫(xiě)出點(diǎn)O的坐標(biāo)，并寫(xiě)出此時(shí)t的取值范圍.設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒鐘.當(dāng)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程之和恰好等于梯

5、形OABC周長(zhǎng)的一半，這時(shí)，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請(qǐng)求出t的值；如不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由. 分析與解答 設(shè)OC的解析式為y=kx，將C(8，6)代入，得k=.y =x.當(dāng)Q在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)Q(m，m)，依題意有：m2 +(m)2 =(2t)2，m=t. Q(t，t)，(0t5).當(dāng)Q在CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)所走過(guò)的路程為2t.BAPQOC圖2-4-46xy··MOC=10，CQ=2t-10.Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2t-10+8=2t-2.Q(2t-2，6)，(5<t10).易得梯形的周長(zhǎng)為44. 如圖2-4-46，當(dāng)Q點(diǎn)在OC上時(shí)，P運(yùn)動(dòng)的路程為t，

6、則Q運(yùn)動(dòng)的路程為(22-t).過(guò)Q作QMOA于M，則QM=(22-t)´. BAPQOC圖2-4-47xy··SOPQ =t(22-t)´， S梯形OABC=(18+10)´6=84. 假設(shè)存在t值，使得P、Q兩點(diǎn)同時(shí)平分梯形的周長(zhǎng)和面積.則有t(22-t)´=84´.整理，得t2 -22t +140=0.=222 -4´140<0，這樣的t不存在. 如圖2-4-47，當(dāng)Q點(diǎn)在BC上時(shí)，Q走過(guò)的路程為22-t，CQ的長(zhǎng)為：22-t-10 =12-t.S梯形OCQP =(CQ+OP)·AB=´

7、;(22-t -10+t)´6=36¹84´.這樣的t值也不存在.綜上所述，不存在這樣的t值，使得P、Q兩點(diǎn)同時(shí)平分梯形的周長(zhǎng)和面積.例3 如圖2-4-48，RtPMN中，P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD的長(zhǎng)和寬分別為8cm和2cm，C點(diǎn)和M點(diǎn)重合，BC和MN在一條直線上.令RtPMN不動(dòng)，矩形ABCD沿MN所在直線向右以每秒1cm的速度移動(dòng)(如圖2-4-49)，直到C點(diǎn)與N點(diǎn)重合為止.設(shè)移動(dòng)x秒后，矩形ABCD與PMN重疊部分的面積為y cm2 .求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.PMNABCD2圖2-4-49ABCDP(M)N2圖2-4-4

8、8分析與解答 在RtPMN中，PM=PN，P=90°，PMN=PNM=45°.延長(zhǎng)AD分別交PM、PN于點(diǎn)G、H.過(guò)G作GFMN于F. 過(guò)H作HTMN于T.DC=2cm，MF=GF=2cm，TN=HT=2cm.MN=8cm，MT=6cm.因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由開(kāi)始向右移動(dòng)到停止，和RtPMN重疊部分的形狀可分為下列三種情況：PMNABCD2圖2-4-50GFxEHT當(dāng)C點(diǎn)由M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)的過(guò)程中(0x2)，如圖2-4-50所示，設(shè)CD與PM交于點(diǎn)E，則重疊部分圖形是RtMCE，且MC=EC=x.y=MC·EC=x2 (0x2).當(dāng)C點(diǎn)由F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到T

9、點(diǎn)的過(guò)程中(2<x6)，圖2-4-512PMNABCD2HTGFx如圖2-4-51所示，重疊部分圖形是直角梯形MCDG.MC=x，MF=2，F(xiàn)C=DG=x-2,且DC=2.ABCD2PMNQTFGx2H圖2-4-52y=(MC+GD)·DC=2x-2 (2<x6).當(dāng)C點(diǎn)由T點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中(6<x8)，如圖2-4-52所示，設(shè)CD與PN交于點(diǎn)Q，則重疊部分圖形是五邊形MCQHG.MC=x，CN=CQ=8-x，且DC=2，y=(MN+GH)·DC-CN·CQ = -(x-8)2+12 (6<x 8).說(shuō)明 此題是一個(gè)圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，解答的

10、方法是將各個(gè)時(shí)刻的圖形分別畫(huà)出，將圖形由“動(dòng)”變“靜”，再設(shè)法分別求解.這種分類畫(huà)圖的方法在解動(dòng)態(tài)幾何題中非常有效，它可幫助我們理清思路，各個(gè)擊破.【提高訓(xùn)練】BQABPOy··l圖2-4-53··1 如圖2-4-53，已知直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+8，且l與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)開(kāi)始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q、P移動(dòng)的時(shí)間為t秒.求出點(diǎn)A，B的 坐標(biāo)；當(dāng)t為何值時(shí)，APQ與AOB相似？求出中當(dāng)APQ與AOB相似時(shí)，線段PQ所在直線的函

11、數(shù)表達(dá)式.1. A、B的坐標(biāo)分別是(6，0)，(0，8). 由BO=8，AO=6，得AB=10.當(dāng)移動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，AP=t，AQ=10-2t. QAP=BAO，當(dāng)時(shí)，APQAOB.，t=(秒). QAP=BAO，當(dāng)時(shí)，AQPAOB.，t=(秒). t=秒或t=秒，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都符合題意，此時(shí)AQP與AOB相似. 當(dāng)t= 秒時(shí)，PQOB，PQOA，PA=，OP=，P(，0).線段PQ所在直線的函數(shù)表達(dá)式為x=.當(dāng)t=時(shí)，PA=，BQ=，OP=，P(，0).設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則有，x=.當(dāng)x=時(shí)，y=-´+8=，Q的坐標(biāo)為(，).設(shè)PQ的表達(dá)式為y=kx+b，則 PQ的表達(dá)式為y

12、=x-. 2 如圖2-4-54，有兩個(gè)形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起(點(diǎn)A與點(diǎn)E重合)，已知AC8cm，BC6cm，C90°，EG4cm，EGF90°，O 是EFG斜邊上的中點(diǎn).如圖2-4-55，若整個(gè)EFG從圖2-4-54的位置出發(fā)，以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移，在EFG 平移的同時(shí)，點(diǎn)P從EFG的頂點(diǎn)G出發(fā)，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，EFG也隨之停止平移設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），F(xiàn)G的延長(zhǎng)線交 AC于H，四邊形OAHP的面積為y（cm2)（不考慮點(diǎn)P與G、F重合的情況）當(dāng)x為何值時(shí)，OPAC ?

13、求y與x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍是否存在某一時(shí)刻，使四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324？若存在，求出x的值；若不存在，說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：1142 12996，1152 13225，1162 13456或4.42 19.36，4.52 20.25，4.62 21.16）圖2-4-55BCFOBAH· ·PGA(E)GCBFO·圖2-4-542. RtEFGRtABC ，=.FG3cm.當(dāng)P為FG的中點(diǎn)時(shí)，OPEG ，EGAC ，OPAC. x ×31.5(s).當(dāng)x為1.5s時(shí)，OPAC.在RtEFG 中，由勾股定

14、理得：EF 5cm.EGAH ，EFGAFH.=. AH( x 5)，F(xiàn)H(x+5). 過(guò)點(diǎn)O作ODFP ，垂足為 D .點(diǎn)O為EF中點(diǎn)，ODEG2cm.FP3x ，S四邊形OAHP SAFH SOFP·AH·FH·OD·FP·（x5）·（x5）×2×（3x ）x2x3 (0<x<3)假設(shè)存在某一時(shí)刻x，使得四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324.則S四邊形OAHP×SABC，x2x3××6×8.6x285x2500.解得 x1， x2 （舍去）.0x3，當(dāng)

15、x（s）時(shí)，四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324.3 在梯形ABCD中，ABCD，AB=8cm，CD=2cm，AD=BC=6cm，M、N為同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M沿ADCB的方向運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/秒；點(diǎn)N沿AB的方向運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/秒.當(dāng)M、N其中一點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形的面積為y cm2.試求出當(dāng)0 < x < 3時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；試求出當(dāng)4 < x < 7時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；DMANBC圖2-4-56當(dāng)3 < x < 4時(shí)，以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與

16、以B、M、N為頂點(diǎn)的三角形是否有可能相似？若相似，試求出x的值. 若不相似，試說(shuō)明理由.過(guò)D作DEAB，垂足為E，過(guò)C作CFAB，垂足為F.CD=EF=2.AD=BC，DE=CF，RtADERtBCF.AE=BF=3.在RtADE中，AD=6，AE=3，ADE=30°，A=60°.在AMN中，AN=x，高為2x sin60°=x.y=·x·x.即y=x2. 過(guò)點(diǎn)M作MGAB，垂足為G，MGCF，MGBCFB，GM：CF=BMBC.CF=DE=3，GM3=(6+2+6-2x)6，GM=(7-x). y=x·(7-x). 即y=.當(dāng)3&l

17、t;x<4時(shí)，以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與以B、M、N為頂點(diǎn)的三角形不可能相似.當(dāng)x=3時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，動(dòng)點(diǎn)N恰好與點(diǎn)E重合，此時(shí)MNA=90°.當(dāng)3<x<4時(shí)，MNA必為鈍角，則MNA¹MNB，而MNA=NMB+MBN，因此AMN與BMN不可能相似 4 如圖2-4-57，在等腰梯形ABCD中，ABDC，A=45°，AB=10cm，CD=4cm.等腰直角三角形PMN的斜MN=10cm，A點(diǎn)與N點(diǎn)重合，MN和AB在一條直線上，設(shè)等腰梯形ABCD不動(dòng)，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動(dòng)，直到點(diǎn)N與點(diǎn)B重合為止.等腰直角

18、三角形PMN在整個(gè)移動(dòng)過(guò)程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由于 形變化為 形；設(shè)當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳MN移動(dòng)x(s)時(shí)，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積為y(cm2)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x=4(s) 時(shí)，求等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積.MANPDCB圖2-4-58A(N)PMBCD圖2-4-57等腰直角三角形；等腰梯形 等腰直角三角形PMN在整個(gè)移動(dòng)過(guò)程中與等腰梯形ABCD重疊部分圖形的形狀可分為以下兩種情況：ANMPDCBGFEANMPDCBHE圖3-9圖3-8 當(dāng)0<x6時(shí)，重疊部分的形狀為等腰直角三角形EAN（如圖3-8）.此時(shí)

19、AN=x(cm)，過(guò)點(diǎn)E作EHAB于點(diǎn)H，則EH平分AN，EH=AN=x，y=SANE=AN·EH=x·x=. 當(dāng)6<x10時(shí)，重疊部分的形狀是等腰梯形ANED（如圖3-9）. 此時(shí)，AN=x(cm)，PNM=B=45°，ENBC，CEBN，四邊形ENBC是平行四邊形，CE=BN=10-x，DE=4-(10-x)=x-6.過(guò)點(diǎn)D作DFAB于F，過(guò)點(diǎn)C作CGAB于G，則AF=BG，DF=AF=(10-4)=3，y=S梯形ANED=(DE+AN)·DF=(x-6+x)´3=3x-9.當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳MN移動(dòng)到PN邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，移動(dòng)時(shí)間為6(s)，當(dāng)x=4(s)時(shí)，y=x2 =´42 =4.當(dāng)x=4(s)時(shí)， 等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積是4cm25 如圖2-4-59所示, 在平面直角坐標(biāo)系xOy中, 正方形OABC的邊長(zhǎng)為2cm, 點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上, 拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B, 且12a+5c=0.求拋物線的解析式. 如果點(diǎn)P由點(diǎn) A開(kāi)始沿AB邊以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng), 同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊以1cm/