中考專題復習二二 動態(tài)幾何綜合題

1、中考專題復習二二 動態(tài)幾何綜合題【簡要分析】函數是中學數學中的一個重要的概念，加強對函數概念、圖象和性質，以及函數思想方法的考查是近年中考試題的一個顯著特點，大量涌現的動態(tài)幾何問題，即建立幾何中元素的函數關系式問題是這一特點的體現.這類題目的一般解法是抓住變化中的“不變”，以“不變”為“向導”.同時，要善于利用相似三角形性質定理、勾股定理、圓冪定理、面積關系，借助方程這個橋梁，從而得到函數關系式.值得注意的是，在幾何圖形中建立函數關系式，問題具一定的實際意義，因此，對函數解析式中自變量的取值范圍必須認真考慮，一般需要有約束條件.【典型考題例析】CQBAPD圖2-4-43例1 如圖2-4-43，

2、在RtABC中，C90°，AC12，BC16，動點P從點A出發(fā)沿AC邊向點C以每秒3個單位長度的速度運動，動點Q從點C出發(fā)沿CB邊向點B以每秒4個單位長度的速度運動P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動在運動過程中，PCQ關于直線PQ對稱的圖形是PDQ設運動時間為t(秒).設四邊形PCQD的面積為y，求y與t的函數關系式；t為何值時，四邊形PQBA是梯形？是否存在時刻t，使得PDAB？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；通過觀察、畫圖或折紙等方法，猜想是否存在時刻t，使得PDAB？若存在，請估計t的值在括號中的哪個時間段內(0t1；1<t

3、2；2<t3；3<t4)，若不存在，請簡要說明理由.APCQMBD圖2-4-44分析與解答 由題意知 CQ4t，PC123t，SPCQ =. PCQ與PDQ關于直線PQ對稱，y=2SPCQ. 當時，有PQAB，而AP與BQ不平行，這時四邊形PQBA是梯形，CA=12，CB=16，CQ4t， CP123t， ，解得t2. 當t2秒時，四邊形PQBA是梯形.設存在時刻t，使得PDAB，延長PD交BC于點M，如圖2-4-44，若PDAB，則QMD=B，又QDM=C=90°，RtQMDRtABC，從而，QD=CQ=4t，AC12，AB=20，QM=. 若PDAB，則，得

4、，解得t=.當t秒時，PDAB. 存在時刻t，使得PDAB. 時間段為：2t3.BAPQOC圖2-4-45xy例2 如圖2-4-45，在直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A(18，0)，B(18，6)，C(8，6)，四邊形OABC是梯形.點P、Q同時從原點出發(fā)，分別作勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動，當這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動.求出直線OC的解析式.設從出發(fā)起運動了t秒，如果點O的速度為每秒2個單位，試寫出點O的坐標，并寫出此時t的取值范圍.設從出發(fā)起，運動了t秒鐘.當P、Q兩點運動的路程之和恰好等于梯

5、形OABC周長的一半，這時，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請求出t的值；如不可能，請說明理由. 分析與解答 設OC的解析式為y=kx，將C(8，6)代入，得k=.y =x.當Q在OC上運動時，設Q(m，m)，依題意有：m2 +(m)2 =(2t)2，m=t. Q(t，t)，(0t5).當Q在CB上運動時，Q點所走過的路程為2t.BAPQOC圖2-4-46xy··MOC=10，CQ=2t-10.Q點的橫坐標為2t-10+8=2t-2.Q(2t-2，6)，(5<t10).易得梯形的周長為44. 如圖2-4-46，當Q點在OC上時，P運動的路程為t，

6、則Q運動的路程為(22-t).過Q作QMOA于M，則QM=(22-t)´. BAPQOC圖2-4-47xy··SOPQ =t(22-t)´， S梯形OABC=(18+10)´6=84. 假設存在t值，使得P、Q兩點同時平分梯形的周長和面積.則有t(22-t)´=84´.整理，得t2 -22t +140=0.=222 -4´140<0，這樣的t不存在. 如圖2-4-47，當Q點在BC上時，Q走過的路程為22-t，CQ的長為：22-t-10 =12-t.S梯形OCQP =(CQ+OP)·AB=´

7、;(22-t -10+t)´6=36¹84´.這樣的t值也不存在.綜上所述，不存在這樣的t值，使得P、Q兩點同時平分梯形的周長和面積.例3 如圖2-4-48，RtPMN中，P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD的長和寬分別為8cm和2cm，C點和M點重合，BC和MN在一條直線上.令RtPMN不動，矩形ABCD沿MN所在直線向右以每秒1cm的速度移動(如圖2-4-49)，直到C點與N點重合為止.設移動x秒后，矩形ABCD與PMN重疊部分的面積為y cm2 .求y與x之間的函數關系式.PMNABCD2圖2-4-49ABCDP(M)N2圖2-4-4

8、8分析與解答 在RtPMN中，PM=PN，P=90°，PMN=PNM=45°.延長AD分別交PM、PN于點G、H.過G作GFMN于F. 過H作HTMN于T.DC=2cm，MF=GF=2cm，TN=HT=2cm.MN=8cm，MT=6cm.因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由開始向右移動到停止，和RtPMN重疊部分的形狀可分為下列三種情況：PMNABCD2圖2-4-50GFxEHT當C點由M點運動到F點的過程中(0x2)，如圖2-4-50所示，設CD與PM交于點E，則重疊部分圖形是RtMCE，且MC=EC=x.y=MC·EC=x2 (0x2).當C點由F點運動到T

9、點的過程中(2<x6)，圖2-4-512PMNABCD2HTGFx如圖2-4-51所示，重疊部分圖形是直角梯形MCDG.MC=x，MF=2，FC=DG=x-2,且DC=2.ABCD2PMNQTFGx2H圖2-4-52y=(MC+GD)·DC=2x-2 (2<x6).當C點由T點運動到N點的過程中(6<x8)，如圖2-4-52所示，設CD與PN交于點Q，則重疊部分圖形是五邊形MCQHG.MC=x，CN=CQ=8-x，且DC=2，y=(MN+GH)·DC-CN·CQ = -(x-8)2+12 (6<x 8).說明 此題是一個圖形運動問題，解答的

10、方法是將各個時刻的圖形分別畫出，將圖形由“動”變“靜”，再設法分別求解.這種分類畫圖的方法在解動態(tài)幾何題中非常有效，它可幫助我們理清思路，各個擊破.【提高訓練】BQABPOy··l圖2-4-53··1 如圖2-4-53，已知直線l的函數表達式為y=-x+8，且l與x軸，y軸分別交于A、B兩點，動點Q從B點開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，同時動點P從A點開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，設點Q、P移動的時間為t秒.求出點A，B的 坐標；當t為何值時，APQ與AOB相似？求出中當APQ與AOB相似時，線段PQ所在直線的函

11、數表達式.1. A、B的坐標分別是(6，0)，(0，8). 由BO=8，AO=6，得AB=10.當移動時間為t時，AP=t，AQ=10-2t. QAP=BAO，當時，APQAOB.，t=(秒). QAP=BAO，當時，AQPAOB.，t=(秒). t=秒或t=秒，經檢驗，它們都符合題意，此時AQP與AOB相似. 當t= 秒時，PQOB，PQOA，PA=，OP=，P(，0).線段PQ所在直線的函數表達式為x=.當t=時，PA=，BQ=，OP=，P(，0).設Q點的坐標為(x，y)，則有，x=.當x=時，y=-´+8=，Q的坐標為(，).設PQ的表達式為y=kx+b，則 PQ的表達式為y

12、=x-. 2 如圖2-4-54，有兩個形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起(點A與點E重合)，已知AC8cm，BC6cm，C90°，EG4cm，EGF90°，O 是EFG斜邊上的中點.如圖2-4-55，若整個EFG從圖2-4-54的位置出發(fā)，以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移，在EFG 平移的同時，點P從EFG的頂點G出發(fā)，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點F運動，當點P到達點F時，點P停止運動，EFG也隨之停止平移設運動時間為x（s），FG的延長線交 AC于H，四邊形OAHP的面積為y（cm2)（不考慮點P與G、F重合的情況）當x為何值時，OPAC ?

13、求y與x 之間的函數關系式，并確定自變量x的取值范圍是否存在某一時刻，使四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由（參考數據：1142 12996，1152 13225，1162 13456或4.42 19.36，4.52 20.25，4.62 21.16）圖2-4-55BCFOBAH· ·PGA(E)GCBFO·圖2-4-542. RtEFGRtABC ，=.FG3cm.當P為FG的中點時，OPEG ，EGAC ，OPAC. x ×31.5(s).當x為1.5s時，OPAC.在RtEFG 中，由勾股定

14、理得：EF 5cm.EGAH ，EFGAFH.=. AH( x 5)，FH(x+5). 過點O作ODFP ，垂足為 D .點O為EF中點，ODEG2cm.FP3x ，S四邊形OAHP SAFH SOFP·AH·FH·OD·FP·（x5）·（x5）×2×（3x ）x2x3 (0<x<3)假設存在某一時刻x，使得四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324.則S四邊形OAHP×SABC，x2x3××6×8.6x285x2500.解得 x1， x2 （舍去）.0x3，當

15、x（s）時，四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324.3 在梯形ABCD中，ABCD，AB=8cm，CD=2cm，AD=BC=6cm，M、N為同時從A點出發(fā)的兩個動點，點M沿ADCB的方向運動，速度為2cm/秒；點N沿AB的方向運動，速度為1cm/秒.當M、N其中一點到達B點時，點M、N運動停止.設點M、N的運動時間為x秒，以點A、M、N為頂點的三角形的面積為y cm2.試求出當0 < x < 3時，y與x之間的函數關系式；試求出當4 < x < 7時，y與x之間的函數關系式；DMANBC圖2-4-56當3 < x < 4時，以A、M、N為頂點的三角形與

16、以B、M、N為頂點的三角形是否有可能相似？若相似，試求出x的值. 若不相似，試說明理由.過D作DEAB，垂足為E，過C作CFAB，垂足為F.CD=EF=2.AD=BC，DE=CF，RtADERtBCF.AE=BF=3.在RtADE中，AD=6，AE=3，ADE=30°，A=60°.在AMN中，AN=x，高為2x sin60°=x.y=·x·x.即y=x2. 過點M作MGAB，垂足為G，MGCF，MGBCFB，GM：CF=BMBC.CF=DE=3，GM3=(6+2+6-2x)6，GM=(7-x). y=x·(7-x). 即y=.當3&l

17、t;x<4時，以A、M、N為頂點的三角形與以B、M、N為頂點的三角形不可能相似.當x=3時，動點M與點D重合，動點N恰好與點E重合，此時MNA=90°.當3<x<4時，MNA必為鈍角，則MNA¹MNB，而MNA=NMB+MBN，因此AMN與BMN不可能相似 4 如圖2-4-57，在等腰梯形ABCD中，ABDC，A=45°，AB=10cm，CD=4cm.等腰直角三角形PMN的斜MN=10cm，A點與N點重合，MN和AB在一條直線上，設等腰梯形ABCD不動，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動，直到點N與點B重合為止.等腰直角

18、三角形PMN在整個移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由于 形變化為 形；設當等腰直角三角形PMN移動x(s)時，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積為y(cm2)，求y與x之間的函數關系式；當x=4(s) 時，求等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積.MANPDCB圖2-4-58A(N)PMBCD圖2-4-57等腰直角三角形；等腰梯形 等腰直角三角形PMN在整個移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分圖形的形狀可分為以下兩種情況：ANMPDCBGFEANMPDCBHE圖3-9圖3-8 當0<x6時，重疊部分的形狀為等腰直角三角形EAN（如圖3-8）.此時

19、AN=x(cm)，過點E作EHAB于點H，則EH平分AN，EH=AN=x，y=SANE=AN·EH=x·x=. 當6<x10時，重疊部分的形狀是等腰梯形ANED（如圖3-9）. 此時，AN=x(cm)，PNM=B=45°，ENBC，CEBN，四邊形ENBC是平行四邊形，CE=BN=10-x，DE=4-(10-x)=x-6.過點D作DFAB于F，過點C作CGAB于G，則AF=BG，DF=AF=(10-4)=3，y=S梯形ANED=(DE+AN)·DF=(x-6+x)´3=3x-9.當等腰直角三角形PMN移動到PN邊經過點D時，移動時間為6(s)，當x=4(s)時，y=x2 =´42 =4.當x=4(s)時， 等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積是4cm25 如圖2-4-59所示, 在平面直角坐標系xOy中, 正方形OABC的邊長為2cm, 點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上, 拋物線y=ax2+bx+c經過點A、B, 且12a+5c=0.求拋物線的解析式. 如果點P由點 A開始沿AB邊以2cm/s的速度向點B移動, 同時點Q由點B開始沿BC邊以1cm/