第4章 實體三鉸拱課件

1、指桿的軸線為曲線，且指桿的軸線為曲線，且的結構。的結構。 (1) 拱的軸線為曲線，而梁一般為直線拱的軸線為曲線，而梁一般為直線（有時也有曲線的）；（有時也有曲線的）； (2) 拱在豎向荷載的作用下能產生水平推拱在豎向荷載的作用下能產生水平推力，而梁不能。例如：力，而梁不能。例如： 水平推力的存在，是拱結構區(qū)別于梁的一個重要標志。水平推力的存在，是拱結構區(qū)別于梁的一個重要標志。因此，通常又把拱結構因此，通常又把拱結構。直梁直梁曲梁曲梁拱拱工程中常見的拱結構形式有工程中常見的拱結構形式有 無鉸拱無鉸拱 在帶拉桿的三鉸拱中，在帶拉桿的三鉸拱中，代替了支座的水平代替了支座的水平推力，因此，在豎向荷載的

2、作用下支座只產生豎向反力，推力，因此，在豎向荷載的作用下支座只產生豎向反力，結構內部的受力與拱完全一樣。結構內部的受力與拱完全一樣。 三鉸拱三鉸拱二鉸拱二鉸拱帶拉桿的三鉸拱帶拉桿的三鉸拱帶拉桿的三鉸拱帶拉桿的三鉸拱拱趾拱趾 拱兩端支座稱為拱兩端支座稱為拱趾拱趾；拱頂拱頂 拱中間的最高點稱為拱中間的最高點稱為拱頂拱頂； 矢高矢高 拱頂到兩支座連線的拱頂到兩支座連線的豎向豎向距離距離 f 稱為稱為矢高矢高；矢跨比矢跨比 矢高矢高 f 與跨度與跨度 l 之比之比 f/l，稱為，稱為矢跨比矢跨比。矢跨比是。矢跨比是拱的基本參數，工程中大多數為拱的基本參數，工程中大多數為 f/l =（1 0.1）。）。

3、 需比梁更堅固基礎或支承結構，外形比梁復雜，需比梁更堅固基礎或支承結構，外形比梁復雜，施工難度較大。施工難度較大。 (1)較為省材料，自重減輕，能跨越較大的空間；較為省材料，自重減輕，能跨越較大的空間；(2)由于有水平推力的存在，其各個截面上的彎矩比由于有水平推力的存在，其各個截面上的彎矩比相應的曲梁或梁要小，因此可利用抗壓性能好、抗相應的曲梁或梁要小，因此可利用抗壓性能好、抗拉性能差的材料（如磚、石、混凝土等）來建造。拉性能差的材料（如磚、石、混凝土等）來建造。 fl 曲梁部分在材料力學中已講過，主要應注意曲梁部分在材料力學中已講過，主要應注意。這里主要介紹三鉸拱的有關計算。這里主要介紹三鉸

4、拱的有關計算。三鉸拱為靜定拱，下面以兩拱趾在同一水平線上的平拱三鉸拱為靜定拱，下面以兩拱趾在同一水平線上的平拱（兩拱趾不在同一水平線上方法一樣）為例介紹三鉸拱的（兩拱趾不在同一水平線上方法一樣）為例介紹三鉸拱的反力及內力計算。反力及內力計算。 如圖所示三鉸拱如圖所示三鉸拱 得由0FMBiipiAbFlV1 得由0FMAiipiBaFlV1由由X=0 得得HHHBAAClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHB由補充方程由補充方程MC =0得得(考慮左考慮左半部分拱半部分拱) 02121111fHalFalFlVAppAfalFalFlVHppA2121111得我們

5、來分析與之相對應的簡支梁我們來分析與之相對應的簡支梁對于簡支梁易得對于簡支梁易得 iipiAbFlV10iipiBaFlV10212111100alFalFlVMppAC比較可知比較可知 iipiAbFlV1iipiBaFlV1AClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHBVB0VA0ABFp1Fp2FpnCKK 由上式可知，推力等于相應由上式可知，推力等于相應簡支梁截面簡支梁截面C的彎矩的彎矩 MC0 除以除以矢矢高高f，在一定荷載作用下，推力只，在一定荷載作用下，推力只與三個鉸的位置有關，而與各鉸與三個鉸的位置有關，而與各鉸間的拱軸曲線形式無關。間的拱軸曲線形

6、式無關。fMHC0(4-1)00BBAAVVVV 由于推力與矢高由于推力與矢高 f 成成反比反比關系，因此，拱愈低推力關系，因此，拱愈低推力愈大，當愈大，當 f0時，推力時，推力H。此時。此時A、B、C三鉸在同三鉸在同一直線上，一直線上，。AClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHBVB0VA0ABFp1Fp2FpnCKK 用用截面法截面法可求出拱任一截面可求出拱任一截面的內力。對于任一截面的內力。對于任一截面K取研究取研究對象如圖對象如圖(b)所示。所示。K 拱的任一截面內力拱的任一截面內力符號規(guī)定符號規(guī)定為為：彎矩：彎矩M，使拱內纖維受拉的，使拱內纖維受拉的

7、為正；剪力為正；剪力FQ，對隔離體產生順，對隔離體產生順時針矩的為正（時針矩的為正（與梁相同與梁相同），），軸軸力力F FNN，受壓為正，受壓為正。 得由0FMKKKpKAKyHaxFxVM111100axFxVMKpKAK11axFxVKpKAKKKyHMM0(4-2) MKyKxKVAHxyFp1FQKFNK KK圖圖(b)VA0Fp1F0QK0KMAClBl1l2Fp1Fp2Fpna1a2anb1b2bnfVBVAHAHB1100pApAQKFVFVFKKQKQKKKQKNKHFFHFFsincoscossin00(4-3) 有了上述任意截面的內力方程，不難畫出其內力圖。有了上述任意截面

8、的內力方程，不難畫出其內力圖。與梁剛架類似，與梁剛架類似，在集中力作用處在集中力作用處，FNK和和FQK圖將圖將突變突變，在集中力偶作用處在集中力偶作用處，M圖將圖將突變突變。由于拱軸為曲線，可。由于拱軸為曲線，可采用描點法來作內力圖。采用描點法來作內力圖。下面舉例說明。下面舉例說明。 所有的力向所有的力向FNK方向投影得方向投影得KKpANKHFVFcossin1所有的力向所有的力向FQK方向投影得方向投影得KKpAQKHFVFsincos1圖圖(c)VA0Fp1F0QKMKyKxKVAHxyFp1FQKFNK KK 三鉸拱及受載如圖示，求支反力并作內力圖。三鉸拱及受載如圖示，求支反力并作內

9、力圖。)(42xlxlfy拱軸線為拋物線 (1)求支座反力求支座反力kN7162412810AAVVkN5161244810BBVVkN648822100ACVfMH(2)求內力方程求內力方程AC段：段：yxxHyqxxVyHMMA6217212200sin6cos7sincos0 xHFFQQcos6sin7cossin0 xHFFQN4mxAC4mB8m4mq=1kN/mFp=4kNDyHVBVAHABFpCqD相應簡支梁相應簡支梁VB0VA0CD段：段：yxxHyxqxVyHMMA6) 4( 87) 4( 800sin6cossincos0HFFQQcos6sincossin0HFFQN

10、DB段：段：yHMM0sin6cos5sincos0HFFQQcossin0HFFQN上述各式中上述各式中 16161616442xxxxy88arctanarctanxdxdyyxHyxVB6)16(5)16(0cos6sin5kN7162412810AAVVkN5161244810BBVVkN648822100ACVfMH610HFQ650HFQ4mxAC4mB8m4mq=1kN/mFp=4kNDy 利用上述方程可以求出任一截面的內力，為了方便繪利用上述方程可以求出任一截面的內力，為了方便繪圖，圖，通常列表通常列表求出有限個截面的內力數值，然后根據表中求出有限個截面的內力數值，然后根據表中

11、數據，采用數據，采用描點法描點法即可得到內力圖（有限個截面選取時要即可得到內力圖（有限個截面選取時要注意，有些注意，有些關鍵截面關鍵截面內力突變截面不要漏掉）。若八內力突變截面不要漏掉）。若八等分，則計算結果如下表所示。等分，則計算結果如下表所示。 123456789M圖（圖（kN.m）1.521.50.520.5FQ 圖（圖（kN）0.710.40.491.00.491.791.790.40.70 FN 圖（圖（kN）9.197.86.76.066.06.065.817.67.87.78注意：注意：在在FQ=0處，處，M圖有極值圖有極值; 在集中力作用處，在集中力作用處，FQ圖和圖和FN圖均

12、發(fā)生突變。圖均發(fā)生突變。 在固定荷載作用下，使拱處于無彎矩狀態(tài)時在固定荷載作用下，使拱處于無彎矩狀態(tài)時的拱軸線，稱為的拱軸線，稱為。 因此，若拱軸為合理拱軸線，根據定義，因此，若拱軸為合理拱軸線，根據定義，則任一截面有則任一截面有00yHMM即即 HxMy)(0(4-4) 這就是這就是。下面舉例說明如何確定合理拱軸線。下面舉例說明如何確定合理拱軸線。 xy 對稱三鉸拱受載如圖示，求其合理拱軸線。對稱三鉸拱受載如圖示，求其合理拱軸線。 建立如圖所示坐標系建立如圖所示坐標系 相應簡支梁任一截面相應簡支梁任一截面的彎矩方程為的彎矩方程為 2021xlxqxM820qlMCfqlfMHC820代入（代

13、入（4-4）式即得合理拱軸線為）式即得合理拱軸線為 xlxlfHxMy204HxMy)(0(4-4) qACBlf 求圖示對稱三鉸拱的合理拱軸線。其上所受的分布荷求圖示對稱三鉸拱的合理拱軸線。其上所受的分布荷載為載為q=qd+ .y（ 為填料的容重）。為填料的容重）。 由于荷載由于荷載 q 也與拱軸的形狀也與拱軸的形狀有關，故此時無法直接應用有關，故此時無法直接應用（4-4）式。）式。 HxMy)(0202)(1dxxMdHy ： 也與拱軸形狀有關，即也是也與拱軸形狀有關，即也是x的函數，的函數，這里僅是近似處理，形狀的微小改變，對水平推力的影這里僅是近似處理，形狀的微小改變，對水平推力的影響

14、較小，忽略不計。響較小，忽略不計。 fqMHC)(0qdxMd22 HyqHxqyd (a)HxMy)(0(4-4) fACBlxyqqdq=qd+ .y(x)整理可得整理可得 (b)式的解可由式的解可由表示為表示為 Hqykyd 2(b) 其中其中 Hk(c) 2shchkHqkxBkxAyd或或 dqkxBkxAyshch(d) 邊界條件為：邊界條件為： 00 xy00 xy由邊界條件得：由邊界條件得： dqA0B1chxHqyd代回代回(d)式得式得 上式表明，三鉸拱在上式表明，三鉸拱在的作用下，合理拱軸線為的作用下，合理拱軸線為一一。 圖示三鉸拱沿拱軸的法向受均布壓力，試圖示三鉸拱沿拱

15、軸的法向受均布壓力，試證明證明合理合理拱軸線為圓弧線。拱軸線為圓弧線。因為因為q不是豎向荷載，不能不是豎向荷載，不能直接應用（直接應用（4-4）式。設拱軸）式。設拱軸的曲率半徑為的曲率半徑為 ，取出為段，取出為段ds為研究對象。如圖示為研究對象。如圖示FN FQMFN+dFNFQ+dFQM+dMoxyd 由由X=0 得得 d 很小很小 ,22sindd12cosd2cos2cosddFFqdsdFQQQ02sinddFFFNNN(a)因此因此(a)式整理可得式整理可得 qFdsdFNQ(b)HxMy)(0(4-4) ACqB由由Y=0得得 02sin2cos2cosddFFFddFFdFQQQ

16、NNN(c)上式整理可得上式整理可得QNFdsdF(d) 0oFM由由 得得02cos22cos2ddsdFFddsFMdMMQQQ(e)上式整理可得上式整理可得QFdsdM(f)分析分析：當拱軸為合理軸線時，有當拱軸為合理軸線時，有M=0，由，由(f)式式知，知， FQ =0；將其代回將其代回(d)式式知，知， FN =常數；常數；由由(b)式式知，知， =FN /q=。故當拱軸為合理軸線時，其曲率半徑故當拱軸為合理軸線時，其曲率半徑 為為。 qFdsdFNQ(b)FN FQMFN+dFNFQ+dFQM+dMoxyd 三鉸剛架是桿軸線為折線形式的三鉸剛架是桿軸線為折線形式的。它的支座。它的支

17、座反力計算與三鉸拱一樣，而內力的計算與剛架相同。下面反力計算與三鉸拱一樣，而內力的計算與剛架相同。下面舉例說明。舉例說明。 如圖示對稱剛架，作如圖示對稱剛架，作M圖。圖。：可把此結構視為由虛鉸：可把此結構視為由虛鉸A 和和B 實鉸實鉸C相連的三鉸剛架。相連的三鉸剛架。kN386410AAVVkN182410BBVVkN4 . 2474tan4741430fMHC利用所求虛鉸的約束反力，可求利用所求虛鉸的約束反力，可求出虛鉸中各鏈桿的內力。出虛鉸中各鏈桿的內力。 B VA A fHHVB FE11ABCDGH33331q=1kN/m (長度單位長度單位m)圖圖(a)VA 0VB 0圖圖(b)VA

18、 A HVA FNDE圖圖(c)由圖由圖(c)得得kN4534 . 2sinHFNDEkN2 . 65443cosNDEAAFVVB HVB VBFNDF圖圖(d)由圖由圖(d)得得 kN4534 . 2sinHFNDFkN2 . 45441cosNDFBBFVV這樣可求得剛架的受力如圖這樣可求得剛架的受力如圖(e)所示。所示。ABCEFGq=1kN/mVA VB FNDEFNDE圖圖(e)H：0GEGAMMkN.m7 . 512112qVMMAECEG0HFHBMMkN.m2 . 41BFCFHVMMkN3AVkN1BVkN4 . 2H：如圖如圖(f)所示。所示。5.7 4.2 ：求約束反力時，也可取：求約束反力時，也可取AC、BC兩剛片分別作為研究對兩剛片分別作為研究對象如圖象如圖(g)所示。所示。 考慮圖考慮圖(g)左半部分左半部分,由由MA =0得得考慮圖考慮圖(g)右半部分右半部分,由由MB =0得得8435CCVH(a)0435CCVH(b)聯立聯立(a)和和(b)解得解得kN4 . 2CHkN1CVM圖圖(kN.m) 圖圖(f)112/8=0.125 132/8=1.125 ABCEFGq=1kN/mVA VB FNDEFNDE圖圖(g)HCVC VC HC