小波分析在圖像去噪中的應(yīng)用(共43頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上傅里葉分析與小波分析在圖像去噪中的應(yīng)用Application of fourier analysis and wavelet analysis in image denoising 總計 畢業(yè)設(shè)計（論文） 3 9 頁 表 格 2 個插 圖 1 1 幅專心-專注-專業(yè)摘 要圖像是人類傳遞信息的主要媒介。然而，圖像在生成和傳輸?shù)倪^程中會受到各種噪聲的干擾，對信息的處理、傳輸和存儲造成極大的影響。傅里葉變換是一種最常用最基本的頻域分析法，能很好地刻畫信號的頻率特性，且不具有局部化特征。小波分析是局部化時頻分析，它具有時域和頻域聯(lián)合表示信號的特征，通過伸縮、平移等運算功能對信

2、號進(jìn)行多尺度細(xì)化分析，能有效地從信號中提取信息，是分析非平穩(wěn)信號的有力工具。本文旨在研究傅里葉與小波理論去噪原理，首先簡要概述傅里葉和小波在圖像處理方面的發(fā)展現(xiàn)況；其次詳細(xì)討論了傅里葉和小波的基本理論，分別介紹了連續(xù)小波、離散小波、多分辨分析、二維小波分析。根據(jù)噪聲一般是高頻的特性，提出了通過傅里葉變換和低通濾波解決高頻噪音的方法。因傅里葉去噪的局部局限性，在去噪的同時造成了圖像的失真，結(jié)合小波時-頻局部特征的能力，而提出了小波閾值去噪的方法，通過仿真實驗結(jié)果分析，小波去噪能有效去除圖像的高斯噪聲，同時能很好的保留圖像的細(xì)節(jié)信息，得到圖像的最佳恢復(fù)。關(guān)鍵詞： 傅里葉變換 小波變換 多分辨分析

3、低通濾波 閾值去噪AbstractThe image is the main medium of the human convey information. However, there will be various noise in the process of images generation and transmission, having great impact on the process of information processing and transmission. Fourier transform is one of the most commonly used

4、and the most basic method of frequency domain, which can be very good to depict the frequency of the signal characteristics, and does not have localized features. Wavelet analysis is localized time-frequency analysis. It has the characteristics of the signal jointed by the time domain and frequency

5、domain. Through expansion, the translation and etc of the arithmetic functions to carefully analysis the different scales signals, it can effectively extract information from the signal, and it is a powerful tool to analysis the non-stationary signals.This paper aims to study fourier and wavelet den

6、oising theory. Firstly, the paper briefly summarizes the developing condition of the principle of fourier transformation and wavelet transformation in image processing. Secondly, it discusses the basic theory of fourier transformation and wavelet transformation in detail, and respectively analysiss

7、continuous wavelet, discrete wavelet, multi-resolution analysis, two-dimensional wavelet. According to the characteristics of high frequency of noise, a method of solving high frequency noise has been put forward through the Fourier transform and low pass filter. Because of Fourier denoising local l

8、imitations in denoising which, at the same time, caused the distortions. But combined with wavelet time-frequency local characteristics, the method of wavelet threshold denoising has been put forward which through the simulation experiment result analysis of wavelet denoising ,can effectively remove

9、 the Gaussian noise image, and at the same time can well reserve the detail of the image information, getting the best image recovery . Key words：Fourier transform; Wavelet Transform; Multiresolution analysis; Low-pass filter; Threshold denoising目 錄第一章 引 言1.1傅里葉分析與小波分析的發(fā)展過程1.1.1 傅里葉分析發(fā)展背景17世紀(jì)和18世紀(jì)，在

10、牛頓和萊布尼茨等科學(xué)巨人的推動下，數(shù)學(xué)獲得了飛速的發(fā)展。隨著函數(shù)、極限、微積分和級數(shù)理論的創(chuàng)立，法國數(shù)學(xué)家傅里葉在1822年發(fā)表了題為熱的解析理論的論文。在該論文中，傅里葉提出以為周期的周期函數(shù)可展開成無限多個正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的和，即 (1.1)式中 (1.2) (1.3) (1.1)式就是著名的傅里葉級數(shù)。在以后的工作中，傅里葉將傅里葉級數(shù)從以為周期的周期函數(shù)推廣到任意周期的周期函數(shù)，又從周期函數(shù)推廣到非周期函數(shù)，并提出了傅里葉積分。傅里葉級數(shù)與傅里葉積分的提出，奠定了傅里葉變換的基礎(chǔ)。我們知道，傅里葉級數(shù)就是連續(xù)傅里葉級數(shù)的反變換，傅里葉積分則是連續(xù)傅里葉變換的反變換。作為早期的傅里葉變

11、換之一，必須提到拉普拉斯變換，拉普拉斯也是一種傅里葉變換，事實上，在18世紀(jì)末和19世紀(jì)初的法國，拉普拉斯在數(shù)學(xué)界的地位高于傅里葉。早在傅里葉級數(shù)提出的40年前，即1782年，拉普拉斯就提出了拉普拉斯變換。傅里葉級數(shù)、傅里葉積分和拉普拉斯變換形成了早期傅里葉變換家族的三種變換。傅里葉變換是源于數(shù)學(xué)研究的，早期的傅里葉變換是數(shù)學(xué)分析的一個分支。隨著電磁理論地和技術(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展，尤其是電子通信與電信號理論和技術(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展，傅里葉級數(shù)、傅里葉變換和拉普拉斯變換在電子理論和技術(shù)、電信號理論和技術(shù)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在模擬信號傳輸和模擬信號處理的時代，傅里葉變換只是一種用于分析連續(xù)時間信號和系統(tǒng)的

12、數(shù)學(xué)工具。為了獲得各種復(fù)雜信號實際中的特定頻率的分量，工程師們應(yīng)用由電阻、電容、電感等模擬元器件為基礎(chǔ)構(gòu)成特定的模擬濾波器。通過不同頻率的窄帶濾波，人們得到由傅里葉變換所預(yù)計的信號中頻率分量的幅度和相位。這種用模擬濾波器給出傅里葉變換數(shù)值的方法不僅麻煩，而且由于窄頻帶信號是由多個頻率分量組成的，因此所得到的數(shù)值很不準(zhǔn)確。隨著大規(guī)模集成電路和超大規(guī)模集成電路的發(fā)展以及計算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，模擬信號變?yōu)閿?shù)字信號，從20世紀(jì)60年代開始，產(chǎn)生和發(fā)展了由計算機(jī)和各種數(shù)字硬件處理信號的理論和方法。在這些理論和方法的產(chǎn)生及發(fā)展過程中，傅里葉變換家族出現(xiàn)了新的成員。這些新的成員是離散周期信號的離散傅里葉級數(shù)變換

13、、離散時間信號的序列傅里葉變換、離散時間信號的Z變換和典型有限序列的離散傅里葉變換。1.1.2 小波分析發(fā)展背景 小波的起源可以追溯到20世紀(jì)初。1910年，Haar提出了規(guī)范正交小波基的思想，構(gòu)造了緊支撐的正交函數(shù)系Haar函數(shù)系。1936年，Littlewood和Paley對Fourier級數(shù)建立了二進(jìn)制頻率分量分組理論，構(gòu)造了一組Littlewood-Paley基，這為小波后來的發(fā)展奠定了理論基礎(chǔ)。1946年，Gabor提出了加窗Fourier變換(Gabor變換)理論，使得對信號的表示具有時頻局部化性質(zhì)。人們真正研究小波是在80年代。1982年，Stromberg構(gòu)造了一組具有指數(shù)衰減

14、且有限次連續(xù)導(dǎo)數(shù)的小波基。1984年，Grossman和Morlet首次提出了小波的概念，給出了按一個確定函數(shù)的伸縮平移系展開函數(shù)的新方法和進(jìn)行信號表示的新思想。隨后，Mallat和Meyer提出了多分辨分析的理論框架，為小波基的構(gòu)造提供了一般的途徑。多分辨分析的思想是小波的核心，它是理論與應(yīng)用的結(jié)晶。之后，人們構(gòu)造出了大量的小波，其中包括具有指數(shù)衰減的Battle-Lemarie小波和第一個雙正交小波Tchamitchian小波等，比較引人注目的是Daubechies與1988年構(gòu)造的一類具有緊支集的有限光滑正交小波函數(shù)，該小波得到了非常廣泛的應(yīng)用。1989年，隨著小波理論的進(jìn)一步發(fā)展，Ma

15、llat提出了實現(xiàn)小波變換的快速算法Mallat塔式算法，它的地位相當(dāng)于傅里葉變換中的FFT。1990年，崔錦泰和王建忠構(gòu)造了基于樣條的雙正交小波函數(shù)，并討論了具有最好局部化性質(zhì)的尺度函數(shù)和小波函數(shù)。與此同時，Wickerhauser和Coifman等人通過對母小波函數(shù)進(jìn)行伸縮、平移和調(diào)制運算，提出了小波包的概念，并將Mallat算法進(jìn)一步深化，得到了小波包算法。在信號處理中，傅里葉分析一直是最重要和最常用的工具之一，它可以把復(fù)雜的信號展開成許多正弦或余弦波譜分量之和，而這種信號或者實現(xiàn)起來簡單或者分析起來簡單，或者二者兼而有之。但它是從出發(fā)來構(gòu)造空間上的一個正交展開，由于它不是局部化的，所以

16、傅里葉分析不能做局部分析，這正是傅里葉的不足之處，也是它的應(yīng)用范圍受到了一定的限制。由于局部化分析在信號處理中同樣具有十分重要的地位，因此科學(xué)家們一直希望找到一種新的數(shù)學(xué)理論，它既保持傅里葉分析的優(yōu)點，又能彌補(bǔ)其局部化分析方面的不足，這便是小波分析理論。小波分析作為一種新興理論已經(jīng)在科學(xué)技術(shù)界掀起了軒然大波。在數(shù)學(xué)家們看來，小波分析是一個新得數(shù)學(xué)分支，它是泛函分析、傅里葉分析、樣條分析、調(diào)和分析、數(shù)值分析的最完美結(jié)晶：在應(yīng)用領(lǐng)域，特別是在信號處理、圖像處理、語言分析以及眾多非線性科學(xué)領(lǐng)域，它被認(rèn)為是繼傅里葉分析之后又一有效的時頻分析方法。從原則上講，凡是傳統(tǒng)上能使用傅里葉分析的地方，都可用小波

17、分析來代替。小波分析在時域和頻域同時具有良好的局部化特性，克服了傳統(tǒng)傅里葉分析的不足，而且由于它對高頻采取逐漸精細(xì)的時域步長，從而可以聚焦到信號的任意細(xì)節(jié)，因此小波分析具有數(shù)學(xué)顯微鏡的美稱。隨著小波理論的不斷完善，它的應(yīng)用領(lǐng)域也越來越廣泛。從數(shù)學(xué)的角度看，小波實際上是在特定空間內(nèi)按照稱之為小波的基函數(shù)對數(shù)學(xué)表達(dá)式的展開與逼近，作為一種快速高效、高精度的近似方法，小波理論的構(gòu)成是調(diào)和分析領(lǐng)域中傅里葉分析的重要發(fā)展，與傅里葉變換有三角基函數(shù)構(gòu)成相對照，小波函數(shù)大多為具有快速衰減、能量集中的函數(shù)經(jīng)過伸縮、平移得到的函數(shù)集合，其中起到平移的作用，而為伸縮因子，作為一種尺度在變化時產(chǎn)生多分辨的特性。小波

18、分析與傅里葉分析的本質(zhì)區(qū)別在于：傅里葉分析只考慮時域和頻域之間的一對一映射，它以單個變量(時間或頻率)的函數(shù)表示信號，小波分析則聯(lián)合利用時間-尺度函數(shù)分析非平穩(wěn)信號。在小波分析中，人們可以在不同尺度上來觀察信號，這種對信號分析的多尺度分析是小波分析的基本特征。在小波理論發(fā)展的同時，小波應(yīng)用的研究工作也在不斷地開展，主要集中在以下幾個方面：(1)小波在數(shù)學(xué)其它分支中的應(yīng)用，如求微分方程、積分方程，函數(shù)逼近，分形、混沌問題，概率小波，非線性分析等等。1988年，Arneodo和Grasseau把小波理論運用于混沌力學(xué)及分形理論以研究分形生成現(xiàn)象;1990年，Beylkin和Coifman把小波用于

19、算子理論；1991年，Jaffard與Laureneot把小波變換運用于微分方程的數(shù)值解。(2)小波在信號處理中的應(yīng)用，包括信號檢測、目標(biāo)識別以及去噪等，比如語言信號、雷達(dá)信號、醫(yī)學(xué)信號、天文信號、地震信號、機(jī)械故障信號等等。(3)小波在圖像處理中的應(yīng)用，其中包括圖像數(shù)據(jù)壓縮、去噪、數(shù)字水印、指紋鑒別、模式識別等。(4)小波在通信中的應(yīng)用，如在CDMA、自適應(yīng)均衡、擴(kuò)頻通信和分形調(diào)制等方面的應(yīng)用。1.2 傅里葉分析與小波分析在圖像中的應(yīng)用一般來說，現(xiàn)實中的信號都是帶噪信號，在對信號做進(jìn)一步分析之前，需要將有效的信號提取出來，如生物醫(yī)學(xué)中的心電、腦電、胃電等各種生理電信號，以及其他由非電生理信號

20、(如動脈波等)轉(zhuǎn)換成的電信號通常被淹沒在強(qiáng)大的噪聲中。由于干擾噪聲的影響，這些生理信號可能產(chǎn)生嚴(yán)重畸變，甚至面目全非，從而失去醫(yī)學(xué)診斷價值，因此，去噪和濾波就成了生物醫(yī)學(xué)信號處理的一個重要內(nèi)容。再如，在機(jī)械設(shè)備的狀態(tài)檢測和故障診斷中，通常要對測得的震動信號進(jìn)行分析處理，以提取信號的特征：然而這些震動信號往往容易受到噪聲的干擾，使得信號中的故障信息也常被淹沒在強(qiáng)大的噪聲之中，從而給故障信息的特征提取帶來很大困難。因此從強(qiáng)噪聲中恢復(fù)原來信號的波形，做到信噪分離是十分必要的。為了有效和快速地對圖像進(jìn)行處理和分析，常常需要將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到其他空間，并且利用圖像在這個空間的特有性

21、質(zhì)進(jìn)行處理，然后通過逆變換操作轉(zhuǎn)換到圖像空間。目前，人們已根據(jù)噪聲的統(tǒng)計特征和頻譜分布的規(guī)律，開發(fā)了多種多樣的信號去噪方法。其中最為直觀的一種方法是：根據(jù)噪聲能量一般集中于高頻，而信號頻譜分布于一個有限區(qū)間的特點，用傅里葉變換將含噪信號變換到頻域，然后采取低通濾波器進(jìn)行濾波。當(dāng)信號和噪聲的頻帶相互分離時這種方法比較有效，但當(dāng)信號和噪聲的頻帶相互重疊時(比如當(dāng)信號中混有白噪聲時)，則效果較差。因為低通濾波器在抑制噪聲的同時也將信號的邊緣部分變得模糊，而高通濾波器可以使邊緣更突出，背景噪聲也同時被加強(qiáng)。因此，基于傅里葉變換的去噪方法存在著保護(hù)信號局部性和抑制噪聲之間的矛盾。小波變換具有良好的時頻局

22、部化性質(zhì)，為解決這一問題提供了強(qiáng)有力的工具，當(dāng)前，小波技術(shù)在去噪中得到了廣泛的研究并獲得了非常好的應(yīng)用效果，已經(jīng)成為信號去噪的主要方法之一。小波去噪之所以取得成功是因為小波變換具有以下的重要特點：1、低熵性。小波系數(shù)的稀疏分布，使得信號變換后的熵降低。2、多分辨率性質(zhì)。由于采用了多分辨率的方法，可以非常好的刻畫信號的非平穩(wěn)特征，如邊緣、尖峰、斷點等，以便于特征提取和保護(hù)。3、去相關(guān)性。因為小波變換可以對信號進(jìn)行去相關(guān)，且噪聲在變換后有白化趨勢，所以在小波域比在時域更利于去噪。4、小波基選擇的多樣性。由于小波變換可以靈活的選擇變換基，所以針對不同的應(yīng)用場合選用不同的小波函數(shù)，以獲得最佳的處理效果

23、。第二章 傅里葉與小波分析的基礎(chǔ)知識2.1傅里葉分析的基本原理2.1.1連續(xù)傅里葉變換首先介紹傅里葉變換，設(shè)為變量的連續(xù)可積函數(shù)，則定義的傅里葉變換為 (2.1)式中，為虛數(shù)單位，為頻率域變量，為空間域變量。從恢復(fù)稱為傅里葉變換，定義為 (2.2)實函數(shù)的傅里葉變換，其結(jié)果多為復(fù)函數(shù)。令和分別為的實部和虛部，則 (2.3)式中，稱為的傅里葉譜，譜的平方稱為的能量譜。稱為變換域變量，也叫頻率域變量。應(yīng)用歐拉公式，指數(shù)項可展開為 (2.4)從歐拉公式可以看出，指數(shù)函數(shù)可以表達(dá)為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的代數(shù)和，利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶特性可以簡化式(2.1)傅里葉變換的計算。可以證明，傅里葉變換是正

24、交的，也是完備的。2.1.2 離散傅里葉變換 對于一個連續(xù)函數(shù)等間隔采樣可以得到一個離散序列。設(shè)采樣點數(shù)為，則這個離散序列可表示為。令為離散實變量，為離散頻率變量，則可以將離散傅里葉變換對定義為. (2.5). (2,6)離散傅里葉變換的矩陣形式為 (2.7) (2.8)式中，稱為變換核。在數(shù)字圖像處理系統(tǒng)上實現(xiàn)離散傅里葉變換，利用可分離性，傅里葉變換對可表示為,. (2.9) ,. (2.10)由式(2.5)可知，圖像離散傅里葉變換的具體計算過程為：對圖像的每一行進(jìn)行一維傅里葉變換后得到個值，對其排在同一行位置，再對由逐行變換獲得的矩陣的每一列進(jìn)行一維傅里葉變換，離散傅里葉變換可以用快速傅里

25、葉變換(FFT)實現(xiàn)。圖像數(shù)據(jù)在計算機(jī)中存放的格式為按行存放，一維傅里葉變換執(zhí)行后，得到個值按行放回。在執(zhí)行第二個一維傅里葉變換時，需要按列進(jìn)行，取數(shù)速度減慢。因此，在執(zhí)行變換后要進(jìn)行圖像數(shù)據(jù)矩陣的轉(zhuǎn)置，大矩陣的快速轉(zhuǎn)置算法是二維圖像FFT的一個關(guān)鍵。目前，已經(jīng)出現(xiàn)用芯片進(jìn)行圖像FFT,使得運算具有更高速度，具有實時處理功能。從分離形式可知，一個二維傅里葉變換可以由連續(xù)兩次運用一維傅里葉變換來實現(xiàn)。例如，式(2.9)可以分成如下兩式： ,. (2.11),. (2.12)對于每個值，式(2.11)方括號中是一個一維傅里葉變換，所以可以由按的每一列求變換再乘以得到。在此基礎(chǔ)上，再對每一行求傅里葉

26、變換就可以得到。上述過程可以表示為行變換列變換 注意到圖像是非負(fù)實數(shù)矩陣，即=，因此對式兩邊取共軛有 . (2.13)因為,所以. (2.14)因此，求逆變換可以調(diào)用正交變換程序執(zhí)行，只要以代替位置即可。對于坐標(biāo)中心點位置需圖像矩陣做FFT，得到。通常希望將移到，以得到傅里葉變換及其功率譜的完整顯示。利用傅里葉變換的移頻特性可以證明，對進(jìn)行傅里葉變換可以得到將中心移動到的傅里葉變換結(jié)果，即 (2.15),.上式表明， 進(jìn)行傅里葉變換后得到了將中心移到的傅里葉變換。2.2小波分析的基本原理2.2.1 從傅里葉變換到小波變換小波分析屬于時頻分析的一種，傳統(tǒng)的信號分析是建立在傅里葉變換的基礎(chǔ)上的，由

27、于傅里葉分析使用的是一種全局的變換，要么完全在時域，要么完全在頻域，因此無法變大信號的時頻局域性質(zhì)，而這種性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號最根本、最關(guān)鍵之處。為了分析和處理非平穩(wěn)信號，人們對傅里葉分析進(jìn)行了推廣乃至根本性的革命，提出并發(fā)張了一系列新的信號分析理論：短時傅里葉變換、Gabor變換、時頻分析、小波變換、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換、線調(diào)頻小波變換、循環(huán)統(tǒng)計量理論和調(diào)幅-調(diào)頻信號分析等。其中，短時傅里葉變換分析的基本思想是：假定非平穩(wěn)信號在分析窗函數(shù)的一個短時間間隔內(nèi)是平穩(wěn)的，并移動分析窗函數(shù)使在不同的有限時間寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號，從而計算出各個不同時刻的功率譜。但從本質(zhì)上將，短時傅里葉變換是一種單一分辨率的信

28、號分析方法，因為它使用一個固定的短時窗函數(shù)。因而短時傅里葉變換在信號分析上還是存在不可逾越的缺陷。小波變換是一種信號的時間-尺度分析方法，它具有多分辨率的特點，而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探索正常信號中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分，所以被譽(yù)為分析信號的顯微鏡，利用連續(xù)小波變換進(jìn)行動態(tài)的系統(tǒng)故障檢測與診斷具有良好的效果。2.2.2 連續(xù)小波變換先介紹小波變換的含義：把一個稱為基本小波的函數(shù)做位移后，再在不

29、同尺度下與待分析信號做內(nèi)積： (2.16)等效的頻域表示是： (2.17)上式中分別是的傅里葉變換。由以上定義，可以看出小波變換和傅里葉變換一樣，也是一種積分變換，為小波變換系數(shù)。但它不同于傅里葉變換的地方是，小波基具有尺度和平移兩個參數(shù)，所以函數(shù)一經(jīng)小波變換，就意味著將一維時間函數(shù)投影到二維的時間尺度平面上，這樣有利于提取信號函數(shù)的某些本質(zhì)特征。小波函數(shù)的確切定義為：設(shè)為一平方可積函數(shù)，即，若其傅里葉變換滿足條件 ， (2.18)則稱為一個基本小波或小波函數(shù)，上式稱為小波函數(shù)的可容許條件。由小波的定義，可知有兩個特點：一是“小”，即在時域都具有緊支集或近似緊支集。二是正負(fù)交替的“波動性”，也

30、即直流分量為零。將小波母函數(shù)進(jìn)行伸縮和平移，就可以得到函數(shù) (2.19)式中為伸縮因子，為平移因子，稱為依賴于參數(shù)的小波基函數(shù)。由于尺度因子和平移因子是連續(xù)變化的值，因此稱為為連續(xù)小波函數(shù)基。它們是同一母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)序列?？梢宰C明，若采用的小波滿足容許條件，則連續(xù)小波變換存在著逆變換，逆變換公式為 (2.20)式中為對提出的容許條件。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì):(1) 線性性：一個多分量信號的小波變換等于各個分量的小波變換之和。(2) 平移不變性：若的小波變換為，則的小波變換為。(3) 伸縮共變性：若的小波變換為，則小波變換。(4)自相似性：對應(yīng)不同尺度參數(shù)和不同平移參數(shù)

31、的連續(xù)小波變換之間是自相似的。(5)冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度。小波變換的冗余性事實上也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)以下兩個方面： (1)由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號的重構(gòu)公式不是唯一的。也就是說，信號的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅里葉反變換是一一對應(yīng)的。(2)小波變換的核函數(shù)即小波函數(shù)存在許多可能的選擇(例如，它們可以是非正交小波、正交小波、雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的)。小波變換在不同的之間的相關(guān)性增加了分析和解釋小波變換結(jié)果的困難，因此，小波變換的冗余度應(yīng)盡可能減少，它是小波分析中的主要問題之一。2.2.3 離散小波變換在實際應(yīng)用中，尤其

32、是在計算機(jī)上實現(xiàn)，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必要討論下連續(xù)小波和連續(xù)小波變換的離散化。需要強(qiáng)調(diào)指出的是，這一離散化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù)和連續(xù)平移參數(shù)的，而不是針對時間變量的，這一點與我們以前習(xí)慣的時間離散化不同。在連續(xù)小波中，考慮函數(shù) (2.21)這里，且，是容許的，為方便起見，在離散化中，總限制只取正值，這樣相容性條件就變?yōu)?(2.22)通常，把連續(xù)小波變換中的尺度參數(shù)和連續(xù)平移參數(shù)離散化公式分別取作這里，擴(kuò)展步長是固定值，為方便起見，總是假定(由于可取正也可取負(fù)，所以這個假定無關(guān)緊要)。所以對應(yīng)離散小波變換即可寫作 . (2.23)而逆運算算小波變換系數(shù)則可表示為 . (2.24)

33、其重構(gòu)公式為 (2.25)其中是一個與信號無關(guān)的常數(shù)。然而，怎樣選擇和才能夠保證重構(gòu)信號的精度呢？顯然，網(wǎng)絡(luò)點應(yīng)盡可能密(即和盡可能小)，因為如果網(wǎng)格點越稀疏，使用的小波函數(shù)和離散小波系數(shù)就越少，信號重構(gòu)的精確度也就會降低。2.2.4 多分辨率分析小波變換中的伸縮參數(shù)實質(zhì)上描述了觀測信號的范圍，也就是尺度，在圖像處理中稱之為分辨率。所以小波變換也可以理解為信號的多分辨率分析。在小波多分辨率分析中，將引出與小波函數(shù)緊密相連的另一個分析函數(shù)尺度函數(shù)。一般認(rèn)為，法國數(shù)學(xué)家Meyer與信號處理專家Mallat是多分辨率分析理論的主要創(chuàng)立者。多分辨分析的基本思想是先在的某個子空間中建立基底，然后利用簡單

34、的伸縮和平移變換，把子空間的基底擴(kuò)充到中，下面給出多分辨分析的概念：定義2.1 設(shè)是空間的一個閉子空間列，被稱為的一個多分辨分析，如果滿足下面的條件：(1)單調(diào)性：；(2)逼近性：(3)伸縮性：(4)平移不變性：(5)Riesz基存在性：存在，使構(gòu)成的Risez基。 對如此定義的多分辨率分析，Mallat證明了下述結(jié)論。 定理 2.1 設(shè)是的一個多分辨率分析，那么存在唯一的函數(shù)稱為尺度函數(shù)，是的構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 根據(jù)以及，建立尺度函數(shù)方程的關(guān)系式。 定理 2.2 假設(shè)為一個具有尺度函數(shù)的正交多分辨率分析，則下列尺度關(guān)系式成立： (2.26)其中，并且有 (2.27)此式可等價的表示為 (2.

35、28)其中 (2.29) 上式表示了和的關(guān)系，稱為尺度關(guān)系或雙尺度關(guān)系。因為當(dāng)足夠大時，的支撐在的之外，則當(dāng)是緊支撐，僅有有限個非零。因此(2.27)中的和式是有限的。通常是實的，此時也是實的。因為是的子空間，為了實現(xiàn)分解，需要把表示為及正交補(bǔ)的直和，因此還需要構(gòu)建一個函數(shù)。 定理 2.3 設(shè)是一個多分辨率分析，相應(yīng)的尺度函數(shù)為：。令是有由生成的，這里 (2.30)那么是在中的正交補(bǔ)。而且，是的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。這樣我們就可以得到對空間的一個分解。定理 2.4 令是一個依尺度函數(shù)的多分辨率分析，令是中的正交補(bǔ)，則有 (2.31)特別地，對任一，可唯一的表示為一個和式，這里，而且相互正交。2.2.

36、5 正交小波的Mallat算法 1989年Mallat提出了信號的塔式多分辨分解與重構(gòu)算法，俗稱Mallat算法，Mallat算法的基本思想可以歸納如下：設(shè)為能量有限信號在分辨率為下的近似，則可進(jìn)一步分解為在分辨率下的近似(通過低通濾波器得到)，以及位于分辨率和之間的細(xì)節(jié)(通過高通濾波器得到)之和，其分解過程如圖所示： 低頻分解高頻分解圖2.1 信號Mallat分解示意圖設(shè)和分別為尺度和小波函數(shù)，則信號在分辨率下近似和細(xì)節(jié)可分別假設(shè)為 (2.32) (2.33)上式中的與分別為分辨率下近似系數(shù)與細(xì)節(jié)系數(shù)。而分辨率下信號的近似可以直接表示為 (2.34)其中 (2.35)從前面兩個表達(dá)式不難看出

37、，研究信號與以及的關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為找出系數(shù)與以及的關(guān)系 (2.36)其中 . (2.37)(2.34)式被稱為信號的分解，構(gòu)成Mallat著名的塔式分解算法。上述分解過程的逆過程(重構(gòu))，如圖所示 圖2.2 信號Mallat分解示意圖 上述流程圖相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 (2.38)稱為信號的重構(gòu)，構(gòu)成Mallat著名的塔式重構(gòu)算法。2.2.6 二維小波分析假定信號函數(shù)，為二維母小波函數(shù)，其構(gòu)造可由一維母小波的張量積形成。(1)二維連續(xù)小波變換： (2.39)(2)二維離散小波變換： (2.40)其中。假定對應(yīng)于二維母小波的對偶小波為， (2.41)則逆小波變換，即重構(gòu)公式為 (2.42) 二維多分辨

38、分析是由一維多分辨分析的有關(guān)張量積形成的，假定一維多分便分析為，則相應(yīng)的二維多分辨分析應(yīng)該為，下面我們推導(dǎo)出其具體形式。已知 是的一組規(guī)范正交基。 因為 (2.43) .其中。上式說明 (2.44)而是的一組規(guī)范正交基，是的一組規(guī)范正交基。 記是從分別到子空間的投影算子，則有 (2.45) 其中 , , , (2.46) , ,因為 從而有 (2.47) 其系數(shù)由下面的迭代公式確定 (2.48)引入無窮矩陣，其中，下標(biāo)、分別表示矩陣的行操作和列操作。于是可簡化為 . (2.49)設(shè)，則經(jīng)過步(為正整數(shù))分解后有 (2.50)對應(yīng)的重構(gòu)算法為. (2.51)其中和分別是和的對偶算子(在中)，或被

39、理解成和的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。第三章 圖像去噪的研究3.1噪聲與去噪3.1.1 圖像系統(tǒng)中的常見噪聲 1、按噪聲幅度分布形狀而分成高斯分布的高斯噪聲，主要由阻性元器件內(nèi)部產(chǎn)生。 2、按噪聲和信號之間的關(guān)系分為加性噪聲和乘性噪聲。 加性噪聲，此類噪聲與輸入圖像信號無關(guān)，含噪圖像可表為。圖像在傳輸過程中的信道噪聲及光導(dǎo)攝像管的攝像機(jī)掃描圖像時產(chǎn)生的噪聲就屬這類噪聲。 乘性噪聲，此類噪聲與圖像信號有關(guān)，往往隨圖像信號的變化而變化。含噪圖像可表示為。飛點掃描器掃描圖像時的噪聲，電視圖像中的相干噪聲，膠片中的顆粒噪聲就屬于此類噪聲。3、椒鹽噪聲：主要是圖像切割引起的黑圖像上的白點噪聲或光電轉(zhuǎn)換過程中產(chǎn)生泊松噪

40、聲。4、量化噪聲：此類噪聲與輸入圖像信號無關(guān)，是量化過程存在量化誤差，再反映到接受端而產(chǎn)生，其大小顯示出數(shù)字圖像和原始圖像差異。3.1.2 噪聲的數(shù)學(xué)模型 在圖像數(shù)據(jù)的采集和傳輸過程中都有可能受到噪聲污染，例如，紅外圖像，安全監(jiān)控圖像等。如何消除圖像中噪聲是圖像處理領(lǐng)域中的一個重要內(nèi)容，簡稱圖像去噪，即基于噪聲和信號有不同的特性，通過某種濾波操作以盡可能減少噪聲功率并同時使信號功率不受大的影響。 一般噪聲用平穩(wěn)guassian隨機(jī)過程來描述。 其瞬間值(隨機(jī)變量)的概率密度函數(shù)可以表示為： ， (3.1)式中為噪聲平均功率。噪聲的功率為： ； (3.2)式中 . (3.3)為噪聲的自相關(guān)函數(shù)。

41、噪聲功率譜一般表現(xiàn)為平坦的寬帶特性，故常常假定為常數(shù)，即 (3.4)這時相關(guān)函數(shù)為 (3.5)這一特殊情況稱為Gaussian白噪聲。自然圖像的頻譜表現(xiàn)為豐富的低頻成分。隨著頻率的增大，功率譜的值迅速減小。故圖像信號的功率譜?？梢杂锰匦詠斫?。圖3.1給出了一個典型的圖像功率譜和譜聲功率譜的曲線。0圖3.1圖像功率譜與噪聲功率譜W噪聲對于信號的污染方式可以有兩種不同的數(shù)學(xué)模型描述，一是所謂的加性噪聲。這時被污染的信號表達(dá)為 (3.6)其中是未受污染的真實信號。另一類模型稱之為乘性噪聲，這時 (3.7)當(dāng)然在一個具體的實例中可能既有加性噪聲也有乘性噪聲。不過本文考慮的僅是加性高斯噪聲。3.2傅里

42、葉分析應(yīng)用于圖像去噪根據(jù)噪聲能量一般集中于高頻，而信號頻譜分布于一個有限區(qū)間的特點，用傅里葉變換將含噪信號變換到頻域，然后采取低通濾波器進(jìn)行濾波。在分析圖像信號的頻譜特性時，一幅圖像的邊緣，跳躍不分以及顆粒聲代表圖像信號的高頻分量，而大面積的背景區(qū)則代表圖像信號的低頻分量。用濾波的方法濾除其高頻部分就能去掉噪聲使圖像得到平滑由卷積定理可知： 式中，是含噪圖像的傅里葉變換，是平滑后的圖像的傅里葉變換，是低通了濾波器傳遞函數(shù)。利用使的高頻分量得到衰減，得到后再經(jīng)過反變換得到所希望的圖像了。低通濾波平滑圖像的系統(tǒng)框如下圖 傅里葉變換傅里葉反變換低通濾波器圖3.23.2.1 理想低通濾波器一個理想的低

43、通濾波器(LIPF)的傳遞函數(shù)由下式表示： （3.8）式中是一個規(guī)定的非負(fù)的量，稱為理想低通濾波器的戒指頻率。代表從頻率平面的原點到的點的距離，即： . (3.9)理想低通濾波器平滑處理的概念是清楚的，但它在處理過程中會產(chǎn)生較嚴(yán)重的模糊和振鈴現(xiàn)象。這是由于在處由1突變到0。這種理想的對應(yīng)的沖激相應(yīng)在空域中的表現(xiàn)為同心環(huán)的形式，并且此同心環(huán)半徑與成反比。越小，同心環(huán)半徑越大，模糊程度越厲害。正是由于理想濾波器存在此振鈴現(xiàn)象，使其平滑效果下降。3.2.2 巴特沃斯低通濾波器巴特沃斯低通濾波器(BLPF)又稱作最大平坦濾波器。與理想濾波不同，它的通帶與阻帶之間沒有明顯的不連續(xù)性，因此它的空域相應(yīng)沒有

44、振鈴現(xiàn)象發(fā)生，模糊程度減少。一個n階巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)為： . （3.10）或 與理想低通相比，它保留有較多的高頻分量，所以對噪聲的平滑效果不如低通濾波器。一般情況下，常采用下降到最大值那一點為低通濾波器的截至頻率點。3.2.3 指數(shù)低通濾波器指數(shù)低通濾波器的傳(ELPF)遞表示為：或 （3.11）當(dāng),時，以上兩式的傳遞函數(shù)分別為和，所以兩者的衰減特性仍有不同。由于指數(shù)低通具有比較平滑的過濾帶，經(jīng)過平滑后的圖像沒有振鈴現(xiàn)象，而指數(shù)低通濾波與巴特沃斯低通濾波相比，它具有更快的衰減特性，因此指數(shù)低通濾波后的圖像比巴特沃斯處理的圖像稍微模糊些。除了上述濾波方法，學(xué)者們還提出了其他基于頻率域

45、濾波的圖像去噪方法，如Wiener濾波等。綜上所述，圖像基于頻域的處理方法主要使用濾波器，把有用的信號和干擾信號分開，它在有用信號和干擾信號的頻譜沒有重疊的前提下，才能把有用的信號和干擾信號完全區(qū)別開來。但在實際的情況下，有用的信號和干擾信號的頻譜往往是重疊的，因為無論是高斯白噪聲還是脈沖干擾，它們的頻譜幾乎都是分布在整個頻域。而圖像的像素灰度一般是光滑的，只有在圖像的輪廓細(xì)節(jié)才會突變，所以可以用具有低通的濾波對圖像進(jìn)行平滑，不過在平滑的同時也會使圖像變得模糊。這是用低通濾波器對圖像進(jìn)行平滑難于解決的矛盾。如果要噪聲平滑效果好，必然會引起圖像的模糊，要圖像輪廓清晰，噪聲平滑效果必然不好。在使用

46、時，必須權(quán)衡得失，在兩者中選擇其一。3.3實驗結(jié)果分析為了驗證上述去噪方法的效果，在驗證進(jìn)行算法的有效性之前，先來討論圖像質(zhì)量的評價方法。目前常用的圖像質(zhì)量評價方法主要有兩種，即主觀質(zhì)量評價和客觀質(zhì)量評價。主觀評價方法就是讓觀測者對一幅圖像按視覺效果的好壞進(jìn)行打分，并對其進(jìn)行加權(quán)平均。該方法勞動強(qiáng)度太大，且不能應(yīng)用于圖像實時傳輸?shù)膱龊??？陀^方法是恢復(fù)圖像偏離原始圖像的誤差，來衡量圖像恢復(fù)的質(zhì)量，最常用的有均方誤差(MSE)、信噪比(SNR)、峰值均方誤差(PMSE)和峰值信噪比(PNSR)?？陀^評價方法從總體上反映原始圖像和恢復(fù)圖像的灰度差別。以上兩種圖像去噪質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn)都有各自的特點。由于人

47、眼視覺特性的準(zhǔn)確性沒法通過定量的方式來描述，因此主觀評價法不能定量描述，它受人為因素的影響較大，但卻能反映人眼的視覺特性。而峰值信噪比PSNR能夠?qū)D像去噪質(zhì)量進(jìn)行定量的描述，但卻不能反映人眼的真實感覺。下面的仿真中，我給出了去噪后的圖像和去噪后的峰值信噪比，通過這種方式對實驗結(jié)果進(jìn)行討論。以大小為512*512的boat圖、lenna圖，采用不同方差的噪聲，利用matlab進(jìn)行仿真實驗，分別對四種方法進(jìn)行比較：傅里葉變換去噪、理想低通濾波、巴特沃斯低通濾波和指數(shù)低通濾波，以PSNR值作為衡量算法結(jié)果的客觀標(biāo)準(zhǔn)。PSNR的定義如下： (3.12)其中，B為去噪后的圖像，A為原圖像。 本實驗采用

48、的平臺為：Intel(R) Core(TM)2 Duo CPU T5550 1.83GHz Matlab7.0。 程序代碼(見3.6)圖3.3表3.1 各方法去噪PSNR值對比(單位：dB)含噪圖像傅里葉去噪理想低通去噪巴特沃斯去噪指數(shù)低通去噪Boat=1019.7418.9021.2322.3522.10=1517.8018.7020.3122.9020.47=2017.3518.0319.4020.3319.80=2517.0017.7919.3419.8820.11Lena=1022.3021.8024.6024.9824.78=1519.9021.0023.4023.5924.99=2019.7920.3120.0821.3321.14=2519.0019.9820.0121.1720.90 圖3.3是方差為10的lena去噪后的圖像，從PSNR值數(shù)據(jù)和lena圖可以看出，傅里葉去噪后的圖像，視覺效果不好，模糊嚴(yán)重，低通去噪方法比較傅里葉去噪均有明顯的去噪效果。噪聲方差越低，各種算法的有效性越明顯，噪聲的細(xì)節(jié)模糊都有所改良。下圖是噪聲為15的boat圖去噪對比。圖3.4因此實驗可以說明上述傅里葉去噪方法，