矩形截面對稱板材彎曲成型和銑削成型出材率的解析分析

1、矩形截面對稱板材彎曲成型和銑削成型出材率的解析分析馬 巖 趙 輝(東北林業(yè)大學(xué)林業(yè)與木工機(jī)械工程技術(shù)中心 哈爾濱 150040)摘 要：彎曲成型和銑削成型是彎曲木加工的兩種主要方法，文中針對矩形截面對稱板材的彎曲木成型加工進(jìn)行了解析分析，對彎曲構(gòu)了數(shù)學(xué)描述，建立了數(shù)學(xué)模型，通過對數(shù)學(xué)模型的相關(guān)參數(shù)分析，確立了彎曲成型和銑削成型的出材率差異關(guān)系式。并針對彎曲度對出材率的影響作了詳細(xì)分析。文中提出的理論方法對于彎曲木工業(yè)化生產(chǎn)中的優(yōu)化設(shè)計有一定的指導(dǎo)意義。關(guān)鍵詞：彎曲木；數(shù)學(xué)模型；出材率；材積中圖分類號： 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1001-7488Optimal Theory of Bendin

2、g Wood Recovery Ratio with Analytical Mathematic ModelMa Yan Zhao Hui(Northeast Forestry University Harbin 150040 )Abstract: In this paper, the saw-timbers analytical model was applied. Considering the bending curvature, the optimal design for improving recovery ratio was applied to making bending w

3、ood and the mathematical model was initialized. Because this saw-timbers model is the optimal models based on continue analytical saw-timber model, which precise is better than traditional ways. The objective function is from continue function, especially with the analysis of continue function, ever

4、y parameters effect to optimal design is worked out, and these parameters are superior for initialing the optimal objective function and considering the best answer to the function with optimal designing, which is complied with in the industrialization of bending wood.Key words: Bending; Optimizatio

5、n；Recovery ratio由于彎曲材是非直線型中心線，所以，彎曲木出材率優(yōu)化的數(shù)學(xué)意義實際上就是在一個矩形體內(nèi)如何取一個最大的彎曲矩形柱體，或彎曲矩形柱體如何取一個最小的外包絡(luò)矩形體，并求出彎曲矩形柱體和包絡(luò)矩形體體積比的數(shù)學(xué)理論問題，這個問題在家具的彎曲材加工中有一定的實用意義，彎曲度每增加1%，優(yōu)化的結(jié)果就可以提高出材率5%10%（孫友富，1999）。因此，彎曲木出材率的優(yōu)化將產(chǎn)生很大的經(jīng)濟(jì)效益。1 彎曲木構(gòu)件的數(shù)學(xué)描述方法彎曲材的彎曲分為實木整體彎曲、單板分層彎曲和構(gòu)件的局布區(qū)域彎曲，整體彎曲有對稱彎曲、偏心彎曲、扭轉(zhuǎn)彎曲。實際上，本文僅討論實木整體彎曲中矩形截面木材在載荷和材料結(jié)

6、構(gòu)對稱情況下彎曲材的問題，因為這些彎曲可以簡化數(shù)學(xué)、力學(xué)和優(yōu)化方面的工作，其它類型可以參考矩形截面對稱彎曲進(jìn)行推導(dǎo)。用解析法截得的垂直于中心線的彎曲木截面被定義為矩形。假設(shè)彎曲構(gòu)件彎曲率為常數(shù)，圖1是表示矩形原料在坐標(biāo)系中的位置，圖2為彎曲原料在坐標(biāo)系中的位置，其X-Y截面的彎曲中心線為相對X方向上材料對稱截面內(nèi)的對稱曲線，彎曲木在X-Y平面內(nèi)的外廓線及該平面材料的對稱中心軸線是曲線，對稱于彎曲載荷作用中心線，原料其它缺陷忽略不計，這種彎曲木被定義為理想彎曲木（馬巖，1996）（見圖2）。 假設(shè)彎曲木的形狀為理想形狀，取彎曲木原料的寬度為b，厚度為h，長度為L，這幾個參數(shù)為彎曲木的實測參數(shù)，則

7、理想彎曲木未彎曲之前的原料數(shù)學(xué)模型將為： 式中，x、y、z為彎曲木原料描述方程中的變量參數(shù)。圖1 彎曲木原料示意圖Fig.1 Sketch map of material for bending wood式(1)(3)構(gòu)成理想彎曲木原料的形狀空間，彎曲木原料的材積是： (4)如果采用實木彎曲技術(shù)，圖1所示的原料彎曲后的體積和彎曲前的體積在不計彎曲損耗的情況下幾乎相等。如果不計彎曲過程由于曲率變化而引起的體積和厚度方向尺寸h的微小變化，見圖2所示彎曲木成型的示意圖，它的材積計算可以簡化，近似為： (5)式中：為彎曲木中性層長度。圖2 彎曲木成型示意圖Fig.2 Sketch map of ben

8、ded wood當(dāng)彎曲很小時，這時，材積的體積計算比較簡單。當(dāng)彎曲度太大時，L和以及的差值將增大，具體的選取應(yīng)根據(jù)產(chǎn)品要求的精度來確定，彎曲木的彎曲度可以由制材學(xué)的木材彎曲度的定義給出（孫友富，1999）： (6)式中：l為彎曲木內(nèi)曲長度。同前面原料的假設(shè)相同，彎曲木的形狀為理想形狀，按對稱彎曲定義，取b、h、H、L為彎曲木的實測參數(shù)，則彎曲木的數(shù)學(xué)模型將為： 式中：x、y、z為彎曲木原料描述方程中的變量參數(shù)。按這個方程的數(shù)學(xué)定義，彎曲木的數(shù)學(xué)模型是對稱橢圓曲線的形狀。式（7）（9）構(gòu)成的理想彎曲木的形狀空間。式（7）是x 的定義域，式（8）是彎曲材在X-Y平面內(nèi)和Z軸相交的上下截面的交線方程

9、，2個方程限定了y的變化范圍，如果變成等式相當(dāng)彎曲材在X-Y平面內(nèi)和Z軸相交的任意截面的交線方程。在壓縮彎曲的構(gòu)件加工中，是采用高溫高壓蒸煮形成的軟化和皺折的方法，彎曲之后，其它參數(shù)按圖2所示。如果要精確計算彎曲木的體積，則必須精確計算，由于l、L、h是實測參數(shù)，通過幾何關(guān)系，可以求得： (10)式中：為彎曲木中性層中心線長度。嚴(yán)格的講，式（10）是近似的，它相當(dāng)用2次曲線近似模擬彎曲變形的曲線。木材彎曲后有一定的變形和缺陷，所以加工余量很大，取為考慮損耗對出材率的影響系數(shù)，假設(shè)h為常量，則彎曲木的精確材積公式簡化為： (11)2 彎曲木解析法的出材率分析解析法的最大優(yōu)點是很好地利用了矩形截面

10、彎曲木的特性導(dǎo)出出材率和彎曲木幾何尺寸的相對關(guān)系，這種通過數(shù)學(xué)模型導(dǎo)出的解析模式的出材率關(guān)系式能夠方便地作為彎曲木出材率理論分析工具，并將銑削法浪費的木材定量計算出來。通過數(shù)學(xué)模型可以精確的分析簡化產(chǎn)生的誤差，本文限于篇幅和考慮文章的實用性，沒有討論誤差的精確分析。在第二作者的博士論文中將詳細(xì)討論。相應(yīng)的方程還可以作為彎曲木出材率優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)。通過這個目標(biāo)函數(shù)可以證明實木彎曲的經(jīng)濟(jì)效益。對于實木彎曲的出材率在不考慮表面損耗時接近100%，同樣的彎曲構(gòu)件，如果采用整塊木材銑削而成，由彎曲木數(shù)學(xué)模型求出它的材積和包絡(luò)它的原料材積相比就可以精確計算出來彎曲木的出材率為： (12) 分別表示各種

11、加工方法下的出材率。 (12)式的體積是實木彎曲原料的體積，當(dāng)vx為v1時，(12)式變成下列形式： (13)如果采用銑削加工的方法，將一塊矩形的板材銑削成一個要求的彎曲形狀，原來厚度是h的板材已經(jīng)不能勝任，原料的厚度相當(dāng)將原來為h厚的板材換成厚度為圖2所示的H厚的板材，我們定義銑削法加工的近似出材率為2，這時的vx為v2，(12)式變成下列形式： （14）上式中的vx是精確材積v2的出材率，為了更明了的了解各個參數(shù)之間相互影響重要與否的關(guān)系，當(dāng)取時，不考慮損耗對出材率的影響，可以將上式簡化： (15) 為了更好的分析銑削法加工時彎曲度和各個參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，結(jié)合公式(6)，將(15)式化成

12、下列形式： (16) 從（16）式可以分析出銑削法加工時彎曲度與出材率的相應(yīng)關(guān)系，具體見圖3所示。 對于銑削法加工時，h將小于H，隨著彎曲度的加大，h和H的差值加大，的數(shù)值下降。圖3 銑削法彎曲木彎曲度與出材率關(guān)系曲線Fig.3 Correlative graph between camber and recovery ratio in milling process3 應(yīng)用實例分析為了驗證本文提出的理論，以搖椅下面的彎曲腿為例，當(dāng)彎曲這個彎曲件時，測量相應(yīng)參數(shù)為：H=160 mm；h=46 mm；l=94 0mm；b=60 mm。采用一塊16060木塊銑削加工的出材率： 當(dāng)我們采用彎曲法加工

13、此件時，理論出材率是100%，根據(jù)實際加工計算，去除加工余量后出材率在95%左右，節(jié)約木材66.25%。對于成批銑削生產(chǎn)時，往往采用復(fù)合下料（圖4），此時銑削法出材率： (17)式中：n為復(fù)合加工的數(shù)量；h0為復(fù)合加工中間鋸口寬度。 當(dāng)n無窮大時，出材率接近100%，實際加工中由于受到板材寬度的限制，n的值很難取得太大，所以取n=2，h0=8mm，上例的出材率：通過計算說明，即使采用復(fù)合下料，可以提高一定的出材率，通常彎曲加工較銑削加工也可以提高30%60%以上出材率。圖4 復(fù)合下料法的排料圖Fig.4 disposition of multi process4 結(jié)論 依據(jù)本文提出的理論，一個相當(dāng)簡單的實木彎曲出材率的計算方法可以準(zhǔn)確分析彎曲法相對銑削法加工的效益，出材率可以提高30%60%。此理論有助于彎曲木在工業(yè)化的生產(chǎn)中得以廣泛應(yīng)用。解析法很好地利用了各個參數(shù)之間的各種數(shù)學(xué)關(guān)系，定量解析分析彎曲產(chǎn)品經(jīng)濟(jì)效益，這些分析將在木材工業(yè)中獲得更高的價值。本文豐富了彎曲木成型的理論分析方法，提出了復(fù)合下料可以提高出材率的具體定量值，為彎曲木加工提供了適用的方法。參 考 文 獻(xiàn)馬巖.原木和鋸材建模及求積理論，哈爾濱，東北林業(yè)大學(xué)出版社，1996.10：205-206Lick Sandberg and Marti