基于矩形網(wǎng)格追蹤法的曲面主曲率等值線生成算法_圖文

1、收稿日期:2008209227; 修回日期:2008211207基金項(xiàng)目:國(guó)家“863/CI M S ”主題資助項(xiàng)目(2007AA04Z139 ; 國(guó)家“十五”科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(2007BAF27B02 ; 西北工業(yè)大學(xué)青年科技創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(W01622作者簡(jiǎn)介:張利(19842 , 男, 山東曹縣人, 碩士, 主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助技術(shù)(alex198476g mail . com ; 王俊彪(19622 , 男, 教授, 博士, 主要研究方向?yàn)轱w機(jī)數(shù)字化制造與集成制造技術(shù)、先進(jìn)塑性成形技術(shù)、航空制造工藝與裝備、管理科學(xué)與工程等航空制造與先進(jìn)制造技術(shù); 張賢杰(19762 , 男, 講

2、師, 博士, 主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助塑性成形技術(shù)、航空制造工藝與裝備.基于矩形網(wǎng)格追蹤法的曲面主曲率等值線生成算法3張利, 王俊彪, 張賢杰(西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院, 西安710072摘要:針對(duì)自由曲面在展開平面上的主曲率等值線生成問(wèn)題, 提出一種基于矩形網(wǎng)格追蹤算法的等值線生成算法。利用面積坐標(biāo)方法將曲面上的點(diǎn)及其極值曲率映射到優(yōu)化展開平面上, 在展開平面上采用遍歷法得出等值點(diǎn)序列; 利用矩形網(wǎng)格追蹤法將等值點(diǎn)序列劃分為連續(xù)無(wú)交叉的開等值線或連續(xù)封閉的閉等值線。最后以直紋面、錐形面和自由曲面為算例分別對(duì)算法進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證, 并與線性插值三角網(wǎng)格法進(jìn)行對(duì)比。計(jì)算結(jié)果表明, 基于矩形網(wǎng)格追蹤的等值

3、線生成算法具有計(jì)算速度快、精度高的特點(diǎn)。關(guān)鍵詞:自由曲面; 主曲率; 等值線; 網(wǎng)格追蹤中圖分類號(hào):TP391文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):100123695(2009 0823179203doi:10. 3969/j . issn . 100123695. 2009. 08. 113Generating algorith m of p L i, WANG Jun 2biao, Z HANG Xian 2jie(of M echatronics, N orthw estern Polytechnical U niversity, X i an 710072, China Abstract:This

4、 paper p r oposed a generati on algorith m f or p rinci p le curvature is olines of free surface based on rectangle meshtracking method . First, mapped points on the surface and the corres ponding curvatures t o op ti m al devel opment p lane . Then gained the point sequences of equivalent curvature

5、s by traversing method on the devel opment p lane . Partiti oned the point se 2quences t o continuing no 2cr oss open or cl osed is olines . Finally, tested and verified the algorith m with exa mp les of ruled sur 2face, cone 2shaped face and free surface, and compared with triangulati on linear int

6、er polati on method . The results show that the generati on algorith m is more efficient and accurate .Key words:free surface; p rinci p le curvature; cont our lines; mesh tracking在現(xiàn)代航空、汽車、船舶等工業(yè)生產(chǎn)中常有外形曲面為自由曲面的薄壁零件, 這些零件一般由平面板件經(jīng)塑性加工成形而來(lái)。成形時(shí)需根據(jù)零件形狀確定變形軌跡, 但由于成形件曲率比較復(fù)雜, 在平面板件上確定變形軌跡通常是相當(dāng)困難的。主曲率是曲面的一個(gè)重要

7、幾何性質(zhì), 可清晰地描述曲面的彎曲程度及彎曲走向。主曲率等值線能夠比較直觀地顯示曲面在空間中的彎曲狀態(tài)分布, 映射到平面板件上的主曲率等值線能夠?yàn)楸”诹慵冃畏治龊痛_定成形軌跡提供參考。等值線的生成有多種算法, 總體上可分為連續(xù)法和網(wǎng)格法兩大類15。連續(xù)法是直接求出等值線的方程, 或計(jì)算得到等值線上關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo), 然后通過(guò)曲線擬合生成等值線, 其特點(diǎn)是生成等值線的精度高, 但算法復(fù)雜、通用性較差; 網(wǎng)格法是通過(guò)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)將數(shù)據(jù)進(jìn)行網(wǎng)格化, 并采用追蹤算法進(jìn)行等值線生成, 其特點(diǎn)是算法程序編制簡(jiǎn)單、追蹤速度快, 但在由離散點(diǎn)到網(wǎng)格化的過(guò)程中會(huì)造成等值線精度的降低。本文結(jié)合兩種方法的特點(diǎn), 首先計(jì)

8、算得出按規(guī)則排列的曲面點(diǎn)及曲面在該點(diǎn)處的主曲率值; 然后利用映射算法得到包含主曲率信息的平面四邊形網(wǎng)格, 并采用矩形網(wǎng)格追蹤算法進(jìn)行等值線生成, 最終得到自由曲面在展開平面上的主曲率等值線。等值點(diǎn)計(jì)算設(shè)空間參數(shù)化曲面r (u, v 具有2階以上的連續(xù)偏導(dǎo)函數(shù)。p i , j (i =0, 1, , m -2; j =0, 1, , n -2 是曲面上的點(diǎn)陣, 其中p i , j 、p i +1, j 、p i , j +1、p i +1, j +1構(gòu)成四邊形, 如圖1所示。設(shè)曲面在這些點(diǎn)處的極大(或極小 曲率值分別為C i , j 、C i +1, j 、C i , j +1、C i +1,

9、j +1。由于工程中通常需要在零件未成形時(shí)的平面狀態(tài)分析對(duì)應(yīng)成形件的彎曲狀態(tài), 本文首先采用面積坐標(biāo)法6將空間曲面的點(diǎn)p i , j (i =0, 1, , m -1; j =0, 1, , n -1 映射到由優(yōu)化展開算法得到的展開平面上7, 并將曲面上點(diǎn)的主曲率值C i , j 作為一種屬性值賦予對(duì)應(yīng)的平面映射點(diǎn), 根據(jù)該值計(jì)算空間曲面r (u, v 在映射平面上對(duì)應(yīng)的主曲率等值線。設(shè)通過(guò)上述曲面點(diǎn)映射過(guò)程, 得到有序平面點(diǎn)陣p i , j (i =第26卷第8期2009年8月計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究App licati on Research of Computers Vol . 26No . 8A

10、ug . 20090, 1, , m -1; j =0, 1, , n -1 , p i , j 及與其相鄰的三個(gè)節(jié)點(diǎn)p i +1, j 、p i , j +1、p i +1, j +1組成四邊形網(wǎng)格, 如圖2所示。各節(jié)點(diǎn)p i , j被賦予其在空間對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的主曲率屬性值C i , j 。設(shè)需生成極大(或極小 曲率值為C 的主曲率等值線。首先需要判斷出等值點(diǎn)的位置。其算法為遍歷網(wǎng)格中所有的 邊, (設(shè)點(diǎn)p i , j 與p i , j +1組成的邊為橫向邊l i , j +1, p i , j 與p i +1, j 組成的邊為縱向邊l i , j +1 , 若邊上存在等值點(diǎn)則將等值點(diǎn)定位出來(lái)。

11、下面以橫向邊l i , j +1為例說(shuō)明等值點(diǎn)計(jì)算的算法如下:a 邊l i , j +1上兩端點(diǎn)處曲率值為C i , j 、C i , j +1, (C -i j (C -C i , j +1 。b 若(C -C i , j -i , j , c 若(C -C i , j C -i , j +1 0, 則對(duì)曲率值等于C 的端點(diǎn)曲率值進(jìn)行微調(diào)并回步驟a 。d 若(C -C i , j (C -C i , j +1 <0, 則邊上存在等值點(diǎn)并采用下面方程進(jìn)行等值點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算: Cpx i , j =x i , j +(c i , j -c /(c i , j -c i , j +1 (x i

12、, j +1-x i , j Cpy i , j =y i , j +(c i , j -c /(c i , j -c i ,j +1(y i ,j +1-y i , j e 判定下一邊。f 所有邊判定完畢, 計(jì)算結(jié)束。這樣就得到了所有橫向等值點(diǎn)Cp i , j 。其中i 、j 為等值點(diǎn)所在邊的序號(hào)。同理進(jìn)行縱向邊的等值點(diǎn)計(jì)算, 得到所有縱向等值點(diǎn)Cp i , j 。算法流程如圖3所示 。等值線追蹤所謂等值線追蹤即為對(duì)于等值點(diǎn)計(jì)算得出的等值點(diǎn)序列Cp i , j 和Cp i , j , 按照一定的搜索規(guī)則將其中的等值點(diǎn)按照所屬等值線依次提取出來(lái), 最終得到與每條等值線對(duì)應(yīng)的等值點(diǎn)列表。搜索的基

13、本步驟都是首先選擇遍歷起始點(diǎn); 然后依次尋找該點(diǎn)所屬邊所屬網(wǎng)格其他三個(gè)邊中的等值點(diǎn); 再?gòu)男碌牡戎迭c(diǎn)出發(fā)尋找下一等值點(diǎn)直到網(wǎng)格邊界或搜索起始點(diǎn)。根據(jù)等值線遍歷的終點(diǎn)與起始點(diǎn)重合與否, 可將等值線分為閉等值線(終點(diǎn)與起始點(diǎn)重合 和開等值線(終點(diǎn)與起始點(diǎn)不重合 。1開等值線追蹤開等值線等值點(diǎn)追蹤的思想為, 首先找到等值線起始點(diǎn), 起始點(diǎn)必在曲面網(wǎng)格的邊界邊上, 稱為邊界等值點(diǎn), 如圖4所示。假設(shè)起始點(diǎn)為Cp i , 0, 從Cp i , 0出發(fā)開始等值點(diǎn)遍歷。遍歷的規(guī)則為從起始點(diǎn)Cp i , 0所屬網(wǎng)格出發(fā), 找到該網(wǎng)格中其他三個(gè)邊l i , 0、l i +1, 0、l i , 1中存在等值點(diǎn)的邊

14、(假設(shè)為l i , 1 中的等值點(diǎn)Cp i , 1; 然后再?gòu)腃p i , 1出發(fā)進(jìn)行下一等值點(diǎn)搜索, 依次直至搜索到的等值點(diǎn)為邊界等值點(diǎn)。這樣就完成了一條等值線的搜索, 如圖4所示。然后再?gòu)南乱贿吔绲戎迭c(diǎn)出發(fā)搜索, 直至等值點(diǎn)序列中沒(méi)有邊界等值點(diǎn)。開等值線追蹤算法流程如圖5所示。開等值線等值點(diǎn)追蹤結(jié)束后, 等值點(diǎn)序列Cp i , j 和Cp i , j 中未追蹤到的點(diǎn)均為閉等值線上的點(diǎn), 下面對(duì)剩余等值點(diǎn)進(jìn)行閉等值線追蹤。1閉等值線追蹤下面對(duì)等值點(diǎn)序列Cp i , j 和Cp i , j中剩余等值點(diǎn)進(jìn)行開等值線追蹤。追蹤方法為從任意等值點(diǎn)Cp 出發(fā), 按照開等值線搜索的方法進(jìn)行搜索, 直至搜

15、索到起始等值點(diǎn), 如圖6所示。然后從等值點(diǎn)列表中剩余的等值點(diǎn)中選擇任意點(diǎn)作為起始點(diǎn)開始下一閉等值線的追蹤, 直至列表中所有等值點(diǎn)均被追蹤完畢。閉等值線追蹤算法流程如圖7所示。經(jīng)過(guò)開等值線和閉等值線的遍歷, 得到一條或多條等值線序列, 將每條等值點(diǎn)序列中的點(diǎn)用三次B 樣條曲線擬合即可得到光順的等值線。通過(guò)改變C的取值可生成不同主曲率值的等值線, 完成整張曲面的主曲率等值線生成。 算例圖8所示為直紋面A 1及錐形曲面B 1, 經(jīng)過(guò)極小曲率計(jì)算、曲面點(diǎn)映射和等值線生成, 分別得到曲面在展開平面上的極小曲率等值線, 如圖8(A 4, B 4 所示。 由計(jì)算結(jié)果可以看出, 直紋面A 1在展開平面上的極小

16、曲率等值線為相互平行的直線, 如圖8(A 4 所示, 與曲面曲率分布圖(A 2, A 3 相符。錐形曲面B 1在展開平面上的主曲率等值線為同心圓環(huán), 如圖8(B 4 所示, 與曲面曲率分布圖(B 2, B 3 相符。圖9(C 1 所示是某型飛機(jī)翼型曲面, 經(jīng)過(guò)極大曲率值計(jì)算、曲面點(diǎn)映射和等值線生成, 得到曲面在展開平面上的極大曲率等值線, 如圖9(C 4 所示。由計(jì)算結(jié)果可以看出, 翼型曲面C 1在展開平面上的極大曲率等值線的分布與原曲面極大曲率的分布是一致的。利用Surfer 軟件的各種插值算法8對(duì)平面點(diǎn)陣數(shù)據(jù)進(jìn)行網(wǎng)格化并生成等值線。其中效果最好的為線性插值三角網(wǎng)法(triangulati

17、on with linear inter polati on , 利用該算法生成的直紋面、錐形曲面和翼型曲面的線分別如圖10(A 5、B 5、C 5 所示。從圖10中可以看出, 本文所提出的等值線生成算法能夠更為精確地反映曲面曲率的分布情況, 生成的等值線更為光順, 并且在邊界處沒(méi)有出現(xiàn)圖10(A 5、B 5 中的等值線集中現(xiàn)象。在計(jì)算效率上, Surfer 軟件網(wǎng)格化(100×100網(wǎng)格 所用時(shí)間約為11s, 本文所用算法對(duì)100×100點(diǎn)陣進(jìn)行20個(gè)曲率值的等值線追蹤, 所用時(shí)間不超過(guò)1s, 效率較高。結(jié)束語(yǔ)基于矩形網(wǎng)格追蹤法的等值線生成算法能夠以較高的精度和效率計(jì)算生成展開平面上的主曲率等值線, 從而能夠在展開平面上對(duì)空間曲面形狀進(jìn)行對(duì)應(yīng)的彎曲狀態(tài)分析。計(jì)算實(shí)例表明, 該等值線生成算法具有精度高、計(jì)算速度快的特點(diǎn)。參考文獻(xiàn):1張小望. 基于點(diǎn)的構(gòu)網(wǎng)算法及等值線追蹤方案設(shè)計(jì)J .測(cè)繪通報(bào), 1998, 44(9 :21224.2劉永軍, 范維澄, 姚斌. 繪制等值線的一種離散方法J .計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究, 2004, 21(8 :1262127.3成建梅, 陳崇希, 孫紅林. 三角網(wǎng)格等值線自動(dòng)生成方法及程序?qū)崿F(xiàn)J .水利學(xué)報(bào), 1998(10 :23226.4林毅, 金燁, 馬登哲,