函數(shù)恒成立存在性及有解問題.

1、函數(shù)恒成立存在性問題知識(shí)點(diǎn)梳理1、恒成立問題的轉(zhuǎn)化： a f x 恒成立a f x ；maxa f x 恒成立 a f xmin2、能成立問題的轉(zhuǎn)化： a f x 能成立a f x ；mina f x 能成立 a f xmax3、恰成立問題的轉(zhuǎn)化： a f x 在 M上恰成立 a f x 的解集為 Ma f x 在 M 上恒成立a f x 在C M 上恒成立R另一轉(zhuǎn)化方法： 若 x D, f ( x) A在 D上恰成立， 等價(jià)于 f (x) 在D上的最小值 fmin (x) A，若 x D, f (x) B在 D上恰成立，則等價(jià)于 f (x) 在 D上的最大值 f ( x) Bmax .4、設(shè)

2、函數(shù) f x 、 g x ，對(duì)任意的 x a ,b1 ，存在 x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，則 fmin x gmin x5、設(shè)函數(shù) f x 、 g x ，對(duì)任意的 x1 a ,b ，存在 x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，則 fmax x gmax x6、設(shè)函數(shù) f x 、 g x ，存在 x1 a , b ，存在 x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，則 f max x gmin x7、設(shè)函數(shù) f x 、 g x ，存在 x1 a , b ，存在 x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，則 f min x gmax x8、若不等式 f x

3、g x 在區(qū)間 D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間 D上函數(shù) y f x 和圖象在函數(shù) y g x 圖象上方；9、若不等式 f x g x 在區(qū)間 D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間 D上函數(shù) y f x 和圖象在函數(shù) y g x 圖象下方；例題講解：題型一、常見方法a2 ax1、已知函數(shù) f (x) x 2 1， g( ) ，其中 a 0 ， x 0 xx1）對(duì)任意 x 1,2 ，都有 f (x) g( x) 恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；2）對(duì)任意 1,2, 2,4x1 x ，都有 f (x1 ) g(x2 ) 恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；2a 1 12、設(shè)函數(shù) h( x) x b ，對(duì)任意 a ,2

4、，都有 h( x) 10 在 x ,1 恒成立，求實(shí)數(shù) b 的取值范圍x 2 43、已知兩函數(shù)x12f (x) x ， g( x) m ，對(duì)任意 x1 0,2 ，存在 x2 1,2 ，使得 f (x1) g x2 ，則實(shí)2數(shù) m的取值范圍為題型二、主參換位法 ( 已知某個(gè)參數(shù)的范圍，整理成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù) )1、對(duì)于滿足 p 2的所有實(shí)數(shù) p, 求使不等式2 1 2x px p x恒成立的 x 的取值范圍。2、已知函數(shù) ( ) ln( )(f x ex a a為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集 R上的奇函數(shù)，函數(shù) g x f (x) sin x 是區(qū)間 1,1 上的減函數(shù)，( ) 求 a 的值； ( ) 若2

5、g( x) t t 1在x 1,1 上恒成立，求 t 的取值范圍；題型三、分離參數(shù)法（欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)分離出來）1、當(dāng) x 1, 2 時(shí)，不等式 x2 mx 4 0恒成立，則 m 的取值范圍是 .題型四、數(shù)形結(jié)合（恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系（零點(diǎn)、根的分布法） ）1、若對(duì)任意 x R, 不等式 | x | ax 恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 _2、已知函數(shù)2 2 2f x x kx ，在 x 1恒有 f x k ，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍。題型五、不等式能成立問題（有解、存在性）的處理方法若在區(qū)間 D上存在實(shí)數(shù) x使不等式 f x A成立, 則等價(jià)于在區(qū)間 D上f x A；max

6、若在區(qū)間 D上存在實(shí)數(shù) x使不等式 f x B 成立, 則等價(jià)于在區(qū)間 D上的f x B .min1、存在實(shí)數(shù) x ，使得不等式2x 3 x 1 a 3a 有解，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 _。2、已知函數(shù)12f x x ax x a 存在單調(diào)遞減區(qū)間，求 a的取值范圍ln 2 0 2小結(jié)：恒成立與有解的區(qū)別恒成立和有解是有明顯區(qū)別的，以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考，甄別差異，恰當(dāng)使用，等價(jià)轉(zhuǎn)化，切不可混為一體。不等式 f x M 對(duì) x I 時(shí)恒成立f x M?， x I 。即 f x 的上界小于或等于 M ；max ( )不等式 f x M 對(duì) x I 時(shí)有解f x M ?， x I 。 或 f x

7、 的下界小于或等于 M ；min ( )不等式 f x M 對(duì) x I 時(shí)恒成立 fmin ( x) M?， x I 。即 f x 的下界大于或等于 M ；不等式 f x M 對(duì) x I 時(shí)有解 fmax (x) M ， x I . 。 或 f x 的上界大于或等于 M ；課后作業(yè)：1、設(shè) a 1，若對(duì)于任意的 x a,2 a ，都有 y a, a2 滿足方程 log log 3 a x a y ，這時(shí) a的取值集合為 （ ）（A） a |1 a 2 （B） a |a 2 （C） a| 2 a 3 （D）2,3x y 02、若任意滿足的實(shí)數(shù) x , y ，不等式 a( x2 y2 ) ( x

8、y)2 恒成立，則實(shí)數(shù) a 的最大值是 _ .x y 5 0 y 3 02、若任意滿足3、不等式sin 2 x 4sin x 1 a 0 有解，則 a 的取值范圍是4、不等式 ax x 4 x 在 x 0,3 內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。5、已知兩函數(shù)2f x 7x 28x c，3 2g x 2x 4x 40x 。（1）對(duì)任意 x 3,3 ，都有 f x g x ) 成立，求實(shí)數(shù) c 的取值范圍；（2）存在 x 3,3 ，使 f x g x 成立，求實(shí)數(shù) c 的取值范圍；（3）對(duì)任意 x1 , x2 3,3 ，都有 f x1 g x2 ，求實(shí)數(shù) c 的取值范圍；（4）存在x1 , x2

9、3,3 ，都有f x g x ，求實(shí)數(shù) c 的取值范圍；1 26、設(shè)函數(shù)13 2 2f (x) x 2ax 3a x b (0 a 1, b R) . 3（）求函數(shù) f x 的單調(diào)區(qū)間和極值；（）若對(duì)任意的 x a 1,a 2, 不等式 f x a 成立，求 a 的取值范圍。 7、已知 A、B、C是直線 上的三點(diǎn)，向量 O A，OB，O C滿足： OA y 2f 1 OB ln x 1 OC 0.（1）求函數(shù) yf(x) 的表達(dá)式；2x（2）若 x0，證明： f(x) x2；1 2 2 2（3）若不等式 x f x m 2bm 3時(shí)， x 1, 1 及 b 1 ,1 都恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值

10、范圍2q p8、設(shè) 2ln xf x px ，且 f e qe 2 （e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）x e (I) 求 p 與 q 的關(guān)系；(II) 若 f x 在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求 p 的取值范圍；(III) 設(shè)2eg x ，若在 1, e 上至少存在一點(diǎn) x 0 ，使得 f x0 g x 0 成立, 求實(shí)數(shù) p 的取值范圍 .x函數(shù)專題 4：恒成立問題參考答案：題型一、常見方法1、分析： 1）思路、等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù) f (x) g(x) 0恒成立，在通過分離變量，創(chuàng)設(shè)新函數(shù)求最值解決2 ）思路、對(duì)在不同區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù) f (x) 和 g( x) 分別求最值，即只需滿足 fmin(x) g (

11、x)即可max簡(jiǎn)解：（1）由3a x x2x 2ax 1 0 a 成立，只需滿足2x 2x 13x x( )x 的最小值大于 a 即可對(duì)22x 1( 4 23 2x x 1x xx 求導(dǎo)， (x) 0，故 (x) 在 x 1,2 是增函數(shù)，) 2 22(2x 1)2x 12 ( ) ( 1)min x ，所以 a的min x ，所以 a的3取值范圍是20 a 32、分析：思路、解決雙參數(shù)問題一般是先解決一個(gè)參數(shù)，再處理另一個(gè)參數(shù)以本題為例，實(shí)質(zhì)還是通過函數(shù)求最值解決方法 1：化歸最值， ( ) 10 hmax ( x) 10h x ；a2方法 2：變量分離， 10 ( x)b 或 a x (1

12、0 b)xx1 1方法 3：變更主元， 10 0(a) a x b a ,2 ，x 2；a簡(jiǎn)解：方法 1: 對(duì) x b h( x) g(x) x b 求導(dǎo)，xa (x a)(x a)h(x) 1 ，2 2x x1 1由此可知， h( x) 在 ,1 上的最大值為 h( ) 與 h(1) 中的較大者4 41h( )4h (1)10104a114a bb1010bb39494 1a，對(duì)于任意 ,2a ，得 b 的取值范圍是 2a7b 4x13、解析：對(duì)任意 x 0,2 ，存在 x2 1,2 ，使得 f (x1 ) g x2 等價(jià)于 g(x m 在 1, 2 上的最小值) 1214m不大于12f (

13、x) x 在 0,2 上的最小值 0，既 m 0 ，4m14題型二、主參換位法 ( 已知某個(gè)參數(shù)的范圍，整理成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù) )1、解：不等式即2x 1 p x 2x 1 0, 設(shè)2f p x 1 p x 2x 1，則 f p 在-2,2 上恒大于 0，故有：2f 2 0 x 4x 3 0 x 3或x 12f 2 0 x 1 0x 1 x 1或x 1 或 x 32、 ( ) 分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母： 及t , 關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將 視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在 , 1 內(nèi)關(guān)于 的一次函數(shù)大于等于 0 恒成立的問題。 ( )略解： 由(

14、) 知： f ( x) x ， g( x) x sin x ， g( x) 在 1，1 上單調(diào)遞減， g ( x) cos x 0 cosx 在 1，1 上恒成立， 1，g( x) g( 1) sin1 ， 只需 sin1 t2 t 1 ，max(t 1) t sin1 1 0 （其中 1）恒成2立 ， 由 上 述 結(jié) 論 ： 可 令2f ( t 1) t s i n 1 1 0 ( ）, 則1t 1 02t 1 t sin1 1 0，t2t t1sin1 0， 而2 s i n 1 0t t 恒成立， t 1。題型三、分離參數(shù)法（欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)分離出來）y | x |yy

15、| x |1、當(dāng) x 1, 2 時(shí)，不等式 x2 mx 4 0恒成立，則 m 的取值范圍是 .y ax y ax解析: 當(dāng) x (1,2) 時(shí)，由 x2 mx 4 0得m2 4xx. m 5 .Ox題型四、數(shù)形結(jié)合（恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系（零點(diǎn)、根的分布法） ）1、解析：對(duì) x R, 不等式 | x| ax 恒成立、則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知 1 a 1，即 1 a 1。2、分析：為了使 f x k 在 x 1, 恒成立，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù) F x f x k ，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間 1, 時(shí)恒大于等于 0 的問題，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討論，使問題得到圓滿解決。解：令2 2

16、 2F x f x k x kx k ，則 F x 0 對(duì) x 1, 恒成立，而 F x 是開口向上的拋物線。當(dāng)圖象與 x 軸無交點(diǎn)滿足 0 ，即24k 2 2 k 0 ，解得 2 k 1。當(dāng)圖象與 x 軸有交點(diǎn)，且在 x 1, 時(shí) F x 0 ，則由二次函數(shù)根與系數(shù)的分布知識(shí)及圖象可得：0F 1 0 解得 3 k 2，故由知 3 k 1。2k21小結(jié)：若二次函數(shù)2 0y ax bx c a 大于 0 恒成立，則有a00，同理，若二次函數(shù)2 0y ax bx c a 小于 0恒成立，則有a00。若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解。題型五、不等式能

17、成立問題（有解、存在性）的處理方法若在區(qū)間 D上存在實(shí)數(shù) x使不等式 f x A成立, 則等價(jià)于在區(qū)間 D上f x A；max若在區(qū)間 D上存在實(shí)數(shù) x使不等式 f x B 成立, 則等價(jià)于在區(qū)間 D上的f x B .min1、解：設(shè) f x x 3 x 1 ，由2 3f x a a 有解，2a 3a f x ，min又 x 3 x 1 x 3 x 1 4 ，a 2 3a 4 ，解得 a 4或a 1。2、解： 因?yàn)楹瘮?shù) f x 存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以2 ' 1 ax 2x 1f x ax 2 0x x0, 有解 . 即1 2a x2xx0,能成立 , 設(shè)u x1 22xx.由u x1

18、2 12xx x2得, umin x 1. 于是, a 1,1 1由題設(shè) a 0, 所以 a 的取值范圍是 1,0 0,課后作業(yè)：1、B。解析：由方程 loga x loga y 3可得y3ax，對(duì)于任意的 x a,2 a ，可得2 3a a2 x2a，依題意得2 aa22 2a aa2。2513。解析：由不等式2 2 2a(x y ) (x y) 可得a 12x yy x，由線性規(guī)劃可得1yx322、 答案：。3、解：原不等式有解22a sin x 4sin x 1 sin x 2 3 1 sin x 1 有解，而2sin x 2 3 2 ，所以 a 2。min4、解：畫出兩個(gè)凼數(shù) y ax

19、 和 y x 4 x 在 x 0,3yy ax上的圖象如圖知當(dāng) x 3時(shí) y 3， 3a3當(dāng) 33a ， x 0,3 時(shí)總有 ax x 4 x 所以a0 3 x3 33 25、解析：（1）設(shè) h x g x f x x x x c ，問題轉(zhuǎn)化為 x 3,3 時(shí)， h x 0 恒成立，故 hmin x 0 。令2 3 122h x 6x 6x 12 6 x 1 x 2 0 ，得 x 1或 2 。由導(dǎo)數(shù)知識(shí)，可知 h x 在 3, 1 單調(diào)遞增，在 1,2 單調(diào)遞減，在 2,3 單調(diào)遞增，且h 3 c 45 ，h x 極大值 h 1 c 7 ，h x 極小值 h 2 c 20 ，h 3 c 9 ，

20、 hnim x h 3c 45 ，由 c 45 0 ，得 c 45 。（2）據(jù)題意：存在 x 3,3 ，使 f x g x 成立，即為： h x g x f x 0 在 x 3,3 有解，故hmax x 0 ，由（1）知 hmax x c 7 0 ，于是得 c 7。（3）它與（ 1）問雖然都是不等式恒成立問題，但卻有很大的區(qū)別，對(duì)任意 x1 , x2 3,3 ，都有 f x1 g x2 成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同， x1 ，x2 的取值在 3,3 上具有任意性， 要使不等式恒成立的充要條件是：fmax (x) gmin (x ),?x 3?,3 。2f x x c x f x ma

21、x f 3 147 c ，7 2 28, 3,3g x x x 2 3x 10 x 2 ， g x 0 在區(qū)間 3,3 上只有一個(gè)解 x 2 。6 8 402g x min g 2 48 ， 147 c 48，即 c 195.（4）存在x1 , x2 3,3 ，都有 f x1 g x2 ，等價(jià)于f x g x ，由(3) 得min 1 max 2f x f c ，min 1 2 28gmax x2 g 3 102， c 28 102 c 130點(diǎn)評(píng)：本題的三個(gè)小題，表面形式非常相似，究其本質(zhì)卻大相徑庭，應(yīng)認(rèn)真審題，深入思考，多加訓(xùn)練，準(zhǔn)確使用其成立的充要條件。6、解：（）2 4 3 2f (

22、x) x ax a （1 分）令 f (x) 0, 得 f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為（ a,3a ）令 f (x) 0, 得 f (x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ，a）和（ 3a，+ ） （4 分）3 3當(dāng) x=a 時(shí)， f ( x) 極小值 = ;a b 4當(dāng) x=3a 時(shí)， f (x) 極小值 =b. （6 分）（）由 | f (x) | a，得 ax2+4ax 3a2a. （7 分）0<a<1，a+1>2a.2 ax a2 a a f (x) x 4 3 在 1, 2 上是減函數(shù) . （9 分） ( x)max f (a 1) 2a 1.f (x) f (a 2) 4a 4

23、.fmin于是，對(duì)任意 x a 1,a 2 ，不等式恒成立，等價(jià)于aa4a2a1.4,44解得 a 1. 又0 a 1, 1.a5 5 7、解： (1) O Ay 2f /(1)OB ln(x 1)OC0，O Ay 2f /(1)OB ln(x 1)OC由于 A、B、C三點(diǎn)共線 即y 2f /(1) ln(x 1) 1 2 分yf(x) ln(x 1) 12f /(1)1 1f /(x) x1，得 f /(1) 2，故 f(x) ln(x 1) 4 分2x 1 2(x 2) 2x（2）令 g(x) f(x) x2，由 g/(x) x1 (x 2)2 x2(x 1)(x 2)2x0，g/(x)

24、0，g(x) 在(0 ， ) 上是增函數(shù) 6 分故 g(x) g(0) 02x 即 f(x) x2 8 分（3）原不等式等價(jià)于12x2f(x2) m22bm 3令 h(x) 12x2f(x2) 1 2x2x2ln(1 x2) ，由 h/(x) x1x2x3x1x2 10 分當(dāng) x 1，1 時(shí)，h(x)max 0， m22bm3 0令 Q(b) m22bm3，則Q(1) m22m30Q(1) m22m30得 m3 或 m3 12 分8、解： (I) 由題意得 q p 1f e pe 2ln e qe 2 p q e 0 e e e而 e1e0，所以 p qp(II) 由 (I) 知 2lnf x

25、 px xx，f x p2p 2 px 2x p2 2x x x 4 分令2 2h x px x p，要使 f x 在其定義域 (0,+ ) 內(nèi)為單調(diào)函數(shù)， 只需 h(x) 在 (0,+ ) 內(nèi)滿足： h(x)0 或 h(x) 0 恒成立 . 5 分 當(dāng) p 0時(shí)，2 0 , 2 0 0px x h x ，所以 f x 在 (0,+ ) 內(nèi)為單調(diào)遞減，故 p 0； 當(dāng) p 0時(shí)，2 2h x px x p，其圖象為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x1p0， ，1 1h x h pminp p，只需p1p0，即 p1 時(shí)， h(x) 0， f x 0， f (x) 在 (0,+ ) 內(nèi)為單調(diào)遞增，故

26、p 1 適合題意 . 綜上可得， p1 或 p 0p另解： (II) 由 (I) 知 f (x) = px x 2ln x f (x) = p +px 2 2x = p (1 +1 2x 2 ) x要使 f (x) 在其定義域 (0,+ ) 內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需 f (x) 在 (0,+ ) 內(nèi)滿足： f (x) 0 或 f (x) 0恒成立 .由 f (x) 0 p (1 +1 2 2x 2 ) x 0 p x +1xp (2x +1x)max ，x > 02 2 2x +1x2 x·1x= 1 ，且 x = 1 時(shí)等號(hào)成立，故 (x +1x)max = 1 p1由 f (x) 0 p