函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱性.

1、函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱性函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)之一，對(duì)稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問(wèn)題之中，而且利用對(duì)稱性往往能更簡(jiǎn)捷的是問(wèn)題得到解決，對(duì)稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的之美。對(duì)稱性，在幾何中研究的較多，在代數(shù)中研究的較少。本文只探討函數(shù)的關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱性。I.函數(shù)自身關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱性命題1：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是(或者)證明：（必要性）設(shè)是圖像上任一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在圖像上，即故，必要性得證。（充分性）設(shè)點(diǎn)是圖像上任一點(diǎn)，則，即，故點(diǎn)也在圖像上，而點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，充分性得證。推論 1：奇

2、函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。證明：設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，則奇函數(shù)定義有f ( x)f (x)0 ，由命題 1 可得函數(shù)圖像關(guān)于源點(diǎn)對(duì)稱。推論 2：如果函數(shù)滿足,則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。（證明略）推論 3：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)。證明：，由命題 1 有函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。例1已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，如果且，則的值（）A. 恒小于 0B. 恒大于 0C. 可能為零D. 可正可負(fù)分析：先代替，使變形為，它的特征就是推論 2，因此函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上也單調(diào)遞增。我們可以把該函數(shù)想象成是奇函數(shù)的圖象向右平移了兩個(gè)單位。解：且在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，.所以

3、選 A例 2 如果函數(shù)滿足，求該函數(shù)的對(duì)稱中心。（因?yàn)樽宰兞考悠饋?lái)為 7 時(shí)函數(shù)值的和始終為 6，所以中點(diǎn)固定為（ 3.5，3），這就是它的對(duì)稱中心）如果為奇函數(shù)，并且，求該函數(shù)的所有對(duì)稱中心和對(duì)稱軸。（由周期性定義知周期為4，又，從而，按上例知 x=-1 為對(duì)稱軸，所以為對(duì)稱軸，為對(duì)稱中心其中 kZ）例 3 定義在上的函數(shù)滿足，則解：由命題1 可得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)圖象上，所以，即；同理可得，；于是.例 4已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，且、，則的值為（）。A.2B.-1C.0D.1解：由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，得，又，;令則,于是是

4、偶函數(shù)，且，即是以 3 為周期的函數(shù)，則，=1.例4函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則實(shí)數(shù).解：由推論3 可知圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱,所以，即.例5 函數(shù)的反函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則實(shí)數(shù).A.2B.3C.-2D.-4由推論3 可知圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱 ,又的反函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于直線,即.II.不同函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱性命題 1: 函數(shù)與的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱。證明：設(shè)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)， 則點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是,因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以函數(shù)與的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱。命題 2：設(shè)均為常數(shù)，函數(shù))與函數(shù)的定義域均為，那么函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱圖形的充要條件是：對(duì)一切,均有b.證明：（1）充分性：設(shè)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是,且.所以,即點(diǎn)是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，也即函數(shù)圖象上任意一關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上；同理可證，函數(shù)圖象上任意一關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也都在函數(shù)的圖象上。(2)于點(diǎn)必要性：設(shè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn), 即是函數(shù)在函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)， 則點(diǎn)關(guān)圖象上，也即對(duì)一切,均有.由（ 1）（2）證明可知：命題2 成立。推論 1 :設(shè)均為常數(shù)，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱。證明：令,則,對(duì)均成立。對(duì)均成立 .由命題2，函數(shù)與函數(shù)的圖象，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱。例 1 已知函數(shù)是定義在