圓錐曲線秒殺法

1、圓錐曲線秒殺法吳磊研究高考作文之余，本人也研究高考數(shù)學(xué)的秒殺方法，主要包括 隱函數(shù)求導(dǎo)、柯西不等式、仿射、參數(shù)方程、極點(diǎn)極線一、圓錐曲線部分小題用到的方法1、橢圓C: x2 /8+y2 /2=1與斜率K=1/2的直線l相切，則切點(diǎn)坐 標(biāo)為注：傳統(tǒng)方法我就不講了，講兩種秒殺法法一、隱函數(shù)求導(dǎo)_直接對(duì)C： x2 /8+y2 /2=1求關(guān)于X導(dǎo)數(shù)可得x/4+yy'=0,帶入K=1/2, x=-2y,帶入橢圓方程，很容易解出切點(diǎn)為 (-2,1)和(2,-1);法二、縮放坐標(biāo) 將橢圓縮放成圓利用圓的性質(zhì)快速解題，將 X軸壓縮為原來的1/2 ,即x=2x'(這里不是導(dǎo)數(shù)，只表示一個(gè)未知數(shù))

2、；斜率K'=2K=1,橢圓化為圓 C': x' 2 + y' 2 =2;很容易求得I'與C'相切 于(-1,1)和(1,-1),還原，可知I與C相切于(-2,1)和(2,-1)2、橢圓C: x2 /4+y2 /3=1上的點(diǎn)到直線L:x-2y-1=0距離的取值范圍為:法一、直接用柯西不等式橢圓和直線相交，最小距離為0,最大距離為橢圓C與l平行的切線1'與l的距離，1'= x-2y+b=0; 構(gòu)造柯西不等式可知 (x2/4+y2/3) (4+12) > (x- 2y)2 ;-4 wbW4;把4和-4代入l'再利用平行線距

3、離公式求I和 l'距離，最大距離為J5所以0wdw J5法二、縮放坐標(biāo)系橢圓和直線相交，最小距離為0,最大距離為橢圓C與l平行的切線1'與l的距離。1'= x-2y+b=0;縮放y=，3/2 y'橢圓C縮放后方程C為: x2 +y2 =4; 1'縮放后表達(dá)式為1''=x- ，3y+b=0, C與1''相切，利 用點(diǎn)到直線距離為半徑，容易求的 b=4和-4;再利用平行線距離公 式很容易求得范圍為0WdWj53、過定點(diǎn)(4、0)的直線1與橢圓C: x2 /4+y2 =1有公共點(diǎn)，則直 線1斜率K取值范圍為:法一、直接用柯西不等

4、式1:my=x-4,則 x-my=4;構(gòu)造柯西不等式，(x2 /4+y2 ) (22 + m2 ) > (x-my) 2可得，m2 A12,注意是反設(shè)斜率，故 k= 1/m;很容易解出k的范圍 為-V3/6 <k<V3/6法二、縮放坐標(biāo)1:my=x-4 , x=2x' C': x' 2 + y' 2 =1; I':m y'=2 x'-4, 用點(diǎn)到直線距離公式，d=4M/(4+ m 2 ) < 1;可解的m2 A12,注意 是反設(shè)斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范圍為-V3/6 <k<V3/6二、柯西

5、不等式柯西不等式在高中數(shù)學(xué)提升中非常重要，是高中數(shù)學(xué)研究內(nèi)容之一，是求某些 函數(shù)最值中和證明某些不等式時(shí)經(jīng)常使用的理論根據(jù)，技巧以拆常數(shù)，湊常值為主?？挛鞑坏瓤挛鞑坏仁?方和積不小于積和方22a1a2IM a2b2III b;a1bla2 b2I" an bn 2當(dāng)且僅當(dāng)b1 b2 I" bn 0或生b1a2b2id同時(shí)取等bn柯西不等式的主要變形公式變形公式ai bia2 b2| an bhai bia2 b2221a2b2取等條件同變形公式2III anb1b2IIIbn變形公式322 aia2-2-22bn ' a1b1a2b2變形公式42 ab12a2b2I

6、II2ana1a2b22工取等條件同 bnala2b2變形公式5lbana1a2111bna1 b1 a2 b22Ha取等條件同 an bn、仿射典型例題仿射變換159。女曲戲的林征方段W EI相比桶W的標(biāo)征方程5號(hào)M形式上極為接近網(wǎng)的標(biāo)注方程/;兒 這 講.我們?nèi)艄灾v述利用儕射殳畏將橢圓變拴為時(shí)再利用圓的12好幾為性質(zhì)解決問題 的方法.對(duì)桶網(wǎng)的和通力吟+/i.我們雷姿4卜軸進(jìn)行仙縮變換b ，和到方理J =v<r<r伸端攵換不公改交H線與闋他曲線的交點(diǎn)個(gè)故、也不公心支火找線儀K度的比例關(guān)系、下行和育線大 :.仰是何心小£線段的K度.這香要弓也Q【與注】仿射變換(AHinc

7、Transk)rE)是一種二穩(wěn)史標(biāo)到二推坐標(biāo)之同的統(tǒng)性交模.保掙二年因影 的，平近ri straightness工板后五線迂是近線不會(huì)力更.HI系還更圓瓠)和，¥行在譯注：parallchicss.其實(shí)是撲保二堆四形內(nèi)的相計(jì)便置關(guān)系不變.中行戰(zhàn)遼足平行 線.而立線上刈狗植置順序不支.另在別注為為量間失所可能會(huì)更生變化.傷由史旎”。 汨3一系叼的身手更換的復(fù)合來實(shí)現(xiàn)，也抬：平移(Translation ).有才氫Scale),圖轉(zhuǎn)(Flip). (Rotation)和ft 切(Shear ).【符注】在仲約更換下.性置方程無，十3=1變?yōu)轭?#163;“+，=/.黃回上的點(diǎn)尸(工,斯)

8、變力尸；天，巴乂因此過助£上一二戶的同的切殘方坡力= /加仁即1。 J謨直效逋過他搞W糧機(jī)可以仔回過峭圓£上一R戶的哺閹的S我才和八4r工二卜而；.-! I, '交換前交換后方心7fJw,橫坐標(biāo)XX -X融型標(biāo)ye a y -rJ斜率上=生 卜2 1Av(W=J=巴 kA/ Av b1 "S = - Ar * Ar 2S* = A/ - Ar, = S2' b弦匕，= + / Arr 二 7TF."二 jq乂二不戔出平打關(guān)系，具疑紋段比例關(guān)系，直分線段的:匕認(rèn)識(shí)仿射變狹愀120】04上海)己如椎圖的方理為。,點(diǎn)f的坐標(biāo)為(I)設(shè)有及h 3

9、 = £、/)4糊閱Tc,。西點(diǎn).y = hxT,O.若/產(chǎn)-/ Iff明：£為的中點(diǎn)：c J橢圓上附點(diǎn)0(acos0. Osin")(0<07 ),如果怖團(tuán)上存在不同的兩個(gè)交點(diǎn) ,以 滿足麗全成二風(fēng).寫出求作點(diǎn)兒§的步噱.【犀折】作仿豺交裝,照向方程天為則M.6=Iacuiae 機(jī)濕去徑定理，e是柒c的中點(diǎn) 于是E是CD的中點(diǎn).下斷術(shù)作點(diǎn)4,布步強(qiáng)為；I,以。力心.哦畫府長軸長為平?jīng)_作闌：2 .過。作射戰(zhàn)，伎0“正才向到詡H線的角力6,射山與8文于0;3 .過園與y軸正向M文點(diǎn)作J班的全戰(zhàn).過園與X軸/向巳文點(diǎn)作工拈/看找9百條垂戰(zhàn)文于上4 .走

10、拈70,取其中點(diǎn)V;5 .連結(jié)0V,過N作與。）金攵的立我.文N于在耳、（；6 . it點(diǎn)匕、（作'外力*線,丈構(gòu)明干電不幺卬力所正讓叨：這林作圖相當(dāng)于作了蟻她方向上的仲第支城j，=4,*易讓明墳段。0與R8互杷千 分.而生標(biāo)身才向上的體汨支換不收變段我妁比例.因此e與PE互粕平分.這樣就有 P0 = 2P.V = 2 1（ PP + PP, | = PP + PR【各注】知1）說明弦中方問題中由點(diǎn)美法導(dǎo)引料殆論可以看似看及國的”蠶徑攵視:莫利用伊打交橫完成燉何作海,注奇有13的未找方程在另鉆交枚因彩下獲許了碼切的幾何市 義.練習(xí)1 （2UI2年刈匕Hh設(shè)是小位同卜的仔拿 丸/是過立4

11、。沖停官的門線.是 直線，與工知的交點(diǎn)，點(diǎn)A/丸在戰(zhàn)人匕且滿比m0. Rm#l） ,當(dāng)點(diǎn)14Ml r.這動(dòng)時(shí).記點(diǎn)”的軌跡為由撥r.一白線c的力科.判斷曲線。為何科涮椎臼線，點(diǎn) 坐標(biāo).【解圻】曲線（的方粗力一-二二|.當(dāng)0加1時(shí)，曲線C力，色點(diǎn)任x州，的隔31，.點(diǎn)琲力,6加.。卜 當(dāng)小|仃,由線（,力伶比在）軸匕的糧周.點(diǎn)生-力卜，+J/|卜利用仿射攵換處理面積向例通過仿射交換可以mwa內(nèi)接三角即受為“內(nèi)紙向心以1.工同伊11,4的比例關(guān)系.而求解內(nèi) 按三角形的日向運(yùn)算鼠嬖低很多. 一 一 一 一 一 一 *MB 一一 一 一 一,他 （2O12 T JJf i| ,w dWiz： r-h

12、+ «ztti®y+y-l不同的兩點(diǎn)4、B. g/T坐標(biāo)力點(diǎn)。到ri我/的力4為求A/OB向積的耳大值.2L【解圻】生養(yǎng)原點(diǎn)。到變戰(zhàn)/的亞離力£.于艮克戰(zhàn)/是Eh' + ./=的切扎件仿射支換（ j . "立我r天網(wǎng)田/十二二上即三十；=1的切”.G3 4 7X 。設(shè)。到直及r的電喜為3 （,直線/聿今農(nóng)） 44161, 陣習(xí)2 （2UI0年郵H 依1）已知橢M二一5=1中，內(nèi)嫉 削憶4例,其頂由（的華胡（4.1）.6 .【斛折】若隹圓通過仿射變換<1 ,支成困/上尸=6,財(cái)坐標(biāo)為M.例.:復(fù)用0C "直林:“c =諛之線看夕的方

13、現(xiàn)為x-F喝=0,則。到五故/£約兆寓為，皿鴻軻-斜郎W）>*t,當(dāng)q- 3 即度 （1#才S 奴口晟火值3 此時(shí)近氣/W的方在為x-j 2# 0.因此$.3的最火伯為此時(shí)"的方方力"±#川.練習(xí)3 （2UII年順義,根）已知構(gòu)舊十 +/二1的左、右頂也分訓(xùn)記為力、H.過/斜車為I的日致交 檎圈十另一點(diǎn)S,在橘圈（、上的T滿足：AN4的面積為!.試信（也7"的個(gè)收.卜， ，【解析】將布畫通過仿時(shí)變塊，：1 ,茶或21亡，.則§3”一”、P7 5XV: y = 2（r+2）. r?2f-y'-4 = O，國心電直找4sg比

14、離力3,弦長4S- JS16：t9l1:0)"國，工_ = D .0 = 3,1+6一 '|一 = 不 ：夕小出”的+訴叫/D X P /XO = i+r-9 .i uig .()“g怔/與百r*吊耳下濘W F + uK*"*%g/¥手格/6。="9+戶用："下二萬既靜¥就,仙p號(hào)燈才彳有多卻而林 耶嚀明1地警也潴碣詢-38一 -切卻HR螞刈或口耳仟'目'罩依。、匕工二閉后外/筆草制（漱漸泌加no：）tPiiyjjvw g VX收國I二-7"口叫幽0 : 5<+"：魔旦（同一乂由OIO

15、C.1?黃。¥"?¥«“工可.丁群學(xué)？*比丁受*. *7年甲Y舉，少®7號(hào)丁呼邱7工羋正單 V IsA普十二二米*頁轉(zhuǎn)仔5(7D*3 4我。到/的距離力/ $”!/，d；26J d業(yè)(9卻 4，當(dāng)且僅當(dāng)/-9林.5八”.取學(xué)民大值;子又S,ur,Sw AA/I8C面根竹最大依為匚12，、利用仇見空拄處理就K間逆的 12011 i£?)M畝，白麗SZ；曲而旗近萬.至前12:恭而/，豆上航E扁百4： 的楊玨為WV. RCe G的離心率移為.直線，1AW.與C,交于兩點(diǎn)，i這網(wǎng)點(diǎn)按以坐標(biāo)從大“小鼠次為A.BX.D.U)設(shè)求wq 與卜qwjt

16、tfit -當(dāng)”變化時(shí),是含在A 使-5。/ 4V,并說明理凡時(shí)隔悶作仿射w搓=<.萬、elc；：4y=/；葉植S1G作仿射變換A二八 一f-二八財(cái)C；人-c：BO /fV o 斤.i =尢、0 Ji - Ukl(, - j ,K、設(shè) 44uc(k。nan"|1 0v0c尸必而夕CO50 I*：£ y = =-L A cosU-|=cos"，CO$B = w (-1.1)* cos®-y囪此產(chǎn)（f,0）U（2, + r）RO枷。占與此皿：0部缽利用偽射變換凸顯磨混幾何條件利用俏射殳換可以將一些這日中'T嚇的條件轉(zhuǎn)化為對(duì)釁取做仃月的“杼姝”條

17、件，比如：利用仿用交換可以改交斛率.從而可以使得某些與怖園相關(guān)的平行四邊形特化為矩形,從面筒化 何瑟您利用仿射變化可以將林風(fēng)變?yōu)橛?從而可以使某些與楷M關(guān)的平行網(wǎng)邊杉轉(zhuǎn)化為菱形.從而簡 化日思.知 soil年型灰）已妞悔同上一二二|.4 2L（理科設(shè)動(dòng)/P法匕 而=而+萬，其中M、N是楠國上勤上 醵。"與（W的知；率之機(jī)力W：足否存在而個(gè)不 勺佚陰PFj，|Pg|為定值？心存色求小E的坐2標(biāo)；若不存在，說到理由.j（文稈）口切點(diǎn)?滿足：麗二麗+ 2麗內(nèi)卜”、M是楠螂上的點(diǎn). fl錢。M與（W的豺率之積為同：是合。在點(diǎn)尸.住范點(diǎn)P到電尸的收高與到直線x = 2而的小聲之比為.定值？若存

18、6,求F的坐標(biāo)：若不存在,說明一由.【解折】作份財(cái)交帙.博£方程變?yōu)橐?+/一，SLOKfLOK.（愛科）立期OMPN為正方一,十走|。川邛小k20。點(diǎn)的軋城方在為3/ +/=8.因此P點(diǎn)的1如$方程為y、（6“=S,即+? = |.4位符合費(fèi)克的人£.E更好為（£.0）.（印與圖竹而個(gè)笈點(diǎn)（W科）四邊影。MPN為護(hù)影.P =|wy|=?Js，P熱的收方埴為喧/ + :八=20 .因此R&g軌透方分為t：+（JL=20,即1+匕=1.' "20 104在符合題點(diǎn)的點(diǎn)尸，生后知而.0）.（即粕司的右角友 練習(xí)1 non年海淀,理）設(shè)力戰(zhàn)J：

19、y=K+即W4!）。椅儀相交丁4 8兩點(diǎn).以俄167段。8為轉(zhuǎn)邊行四邊后久P8 .其巾項(xiàng)點(diǎn)砸HIC匕。為”標(biāo)原點(diǎn).求|OP|J取 做近除【解析】用仿封變換唏間轉(zhuǎn)化為N,十是手阡國力彩。霜喟全為乏形。f8'.由卜丁用卜“|<4 根博支彩的葉角代互相主五，于走上/為因此匕|<1 2 小也丈是說 H|,|wi于a。zf = x； +y/ =V+3U-卜?t3d 3用©此|?！钡娜≈当葒?#163; 5®.練習(xí)2（2012年海淀一校,）已知自線k > =觸+副與反慣小 三尸=1交J .4、B兩苴自攻小 4y=b+嗎（叫才叫）與機(jī)弱G交十C、/）西點(diǎn)，叫叫=

20、口不 如圖所不.證明：mjtfflj =0；求四邊形的面積$的信人（L【解析】號(hào)志用仿將變換.IBC。方橢圓為福平行日造杉,作交換后支為圓內(nèi)接平行W邊野,力一物因比©角發(fā)力立在，也段是說佬31內(nèi)接44H邊力的葉兩級(jí)互相f分子現(xiàn)總、于亞叫+的：=0；因?yàn)獒骈_彩當(dāng)且女當(dāng)拒彩為正方也時(shí)為片最大最大依為4,于是戰(zhàn)團(tuán)內(nèi)福半行四邊影自租 的聶大值為=28，忑【專注】也可以看作相關(guān)直我向近設(shè)A線5,:依加與岬向義于兩點(diǎn)/. 8, ”我幺直找6年理，育:必+ :、/+2*»«-/-1=0*二“如5M匕+生蟀K.|,州| 二 |(訓(xùn)等價(jià)于堀二外，又鳥W孫,，犯=-鞏,即弭十叫二。(

21、2)由.4B與CD關(guān)于唇上對(duì)it蜜也杉/犯。為秋中心本片占地千斤四邊彩不布邊小、0“”"F舒可話鼻否22m； +(2it:+ !-/<)W%，2石(當(dāng)艮僅當(dāng)配二升取環(huán)等號(hào)).好, M22迪招HBCD的Z伙S的良大僅是入5.貨已如M為仃找!=4演?+三=1在第象網(wǎng)內(nèi)的交點(diǎn)1找八jOM TfTJrjWzT A.。兩點(diǎn).求證%線M4.比線卜”獨(dú)僧成的三角形是芍腰二角般.【解析】如圖.將怖司二工=1透過仿射變操&國產(chǎn)-V=R.獅W(2.2) 8 2lv=2y' '過"作")好4或'4X為.文固/r:8千點(diǎn)N.則易如'(2,-2

22、).v>(2.-2h /.awr±av-入()W"AK, ；ONL/B出招奎任定理，X平分孤/外,于是M"是N/M?妁半分我.于是鼠=246二乂近二.義,仙1"。.41伊0是等埠三編影.立畢【備注】(2012年密云一根理)加田所市,已知性H的中心在原點(diǎn),羔點(diǎn)在x軸上,長軸大是雄軸長的3倍.JL«iiAA/(3.l.卜行于OM打攵為/衣，料上的松花為加(州，0),見文埒©于4, B行不 AA.術(shù)目的方值；求加的取值范圖；求汪：立我M5與x岫始終四成一人多將三角形.2【解析】£+21-1：IS 2設(shè)立我，：+加（mwO），

23、更me（-2.O：U（O,2）;視為連坎奎克利迪的推廣式用份針變換功可解決.練習(xí)6（2011年四中高二明中考試）己知士M（2J）是附目； +三=1上 點(diǎn)J'讖尸匕+川”0） M相交于4、2兩點(diǎn).求業(yè)41的內(nèi)心的橫坐標(biāo).【解析】考正手圖今的掙點(diǎn)與求解綺同題.考忐火用今射文城杼械國*，匕為4加以鮮大 在同也，年當(dāng)證明W。是/平分我；子£“0是乙83。竹平分我. 為此AW.世晌內(nèi)2的埃士林為”的現(xiàn)生依.也林芝2.舞令鍬12011年山東）己如動(dòng)前“與骸C：交"U J），如?）兩桿岫，且3 2or。的面積2的二，其中。為坐標(biāo)原點(diǎn).證明：s'+ 4'租）：

24、9;+）；均為定值：設(shè)筑段&的中成為M,求|0叫|也|的最大加：相AIC上M否"生.點(diǎn)，E.G.使和S&e-L松”*0fJ?心也nDEC的形狀：若不僅在,請(qǐng)說現(xiàn)理由.【解析】依圖，作仿射殳按1=/,左=戈、則啼國C爻力國C / + /=3.5 與2：談O利立線“°的距離力/，畤邛-/"=4,端塔二£ 222于甩尸0二27r7二#.”1打.因北匕”二：1二j）r l» ”! II .而否r”,9r，3.,4+,+' =3, Jf .# F3沒P。的斜率力匕則。”的卦率為二.|網(wǎng).聞:3.、，在me中.ae. dg、sc即時(shí)

25、的圄心角均為9（r 因此.不存&用足題志的三角彩.練習(xí)7（2013北京己平段理）如田,已卻新時(shí)二-214的長知力彳4.過中8的白線，。1軸而,桶陽的費(fèi)心丁卜"冬尸為驪國的左偉道,周/小陽7.求此怖國的方程;設(shè)是此桃川上舁1，5O.fi A. Flx 一 0 一 一 ” O » 一 一 一 一 , 9*M7 已皿鬧咖?-9 = 1上的兩直二夕關(guān)J x%對(duì)林.網(wǎng)4,0）是|圜長知斯在直線上的一定;"線內(nèi)與NBI相交于。4 直段"T過二' ，1;”，為 維定,延長尸到中。黃用，尸=少,連按WP4延長交 餞/于點(diǎn)M.N為A僧的卬點(diǎn),判定魚心0Vl

26、i以/2為貪徑。的純程關(guān)系.【務(wù)上】及0與好30文于點(diǎn)心用Mt與桶回捫切，比題與片可以匕川何旬又換用丸利用傷射變換將向題轉(zhuǎn)化為幾何向越【解析】釬M圓趣過仲縮文換為國,則需證明:苦點(diǎn).B為美于血的五金心討林的曲A.HG所在紅線上的一點(diǎn)戶與8點(diǎn)的逢稅交閩十D.則）與P文于定點(diǎn)£.證明和下：如困、連結(jié)1G, GD，設(shè)P.45用文于C.: G為XCD*韓AB的件缸：.AG、M 分別是/和初G的平分線 而火? 10"，'OGXNEOP的中分坎.江二必AP DP哥.4E DE-EG EH （相交總定理） MP OP-CP-PG P（切羽歧定理， EG EH EG EG 3 &#

27、163;G PG：i,= , =.PG PH PG PG EH PH,/£為£仇（衣木何中力Lh 里力定位，E力定,二，工木例中E（1.O）.3 EH編習(xí)8激有線/： 一匕+小。桶!十產(chǎn)=1相交于M、N兩點(diǎn)，尸是橢圓的才準(zhǔn)點(diǎn),宜我FMq百 戰(zhàn)EV的斜生"為相反數(shù).求證：直線/H定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】小戰(zhàn)/過££（2, 0）.本質(zhì)與例想相同繪習(xí)9 Hfflo年H姆 如圖，杵平面直角睪標(biāo)東iQv中，（2知蜀隔著+?=1的%、制I點(diǎn)為4、£f. 右熊立為廣.發(fā)過點(diǎn)7（9,制的直線以，7人加稚網(wǎng)分別交于點(diǎn)，口，）小M（£，

28、k）.其中 m>（）. yO. r:<0.設(shè)f = 9.求訐：17線MN必過抽的一定立（K坐標(biāo)。加無關(guān)）.#【解析】如下左閉所示 H用生標(biāo)文提！“可以把代困二二一1 £徒問/ 尸。,由于伸修文丁丁 一撰不改交其找以及伐改長尺的比.寸是同地政蚱化力加下右蟲”不的： 匕如以4/J力且花閱O, 丁力與48#且的囪夕卜a代上任意一2,度結(jié)4了、87與度分制?于 “、N 笈證"A歸江定點(diǎn)。.法1北站/n.、，是太史十上廠.二務(wù)如Wr與r在同一條吃!于的直線上（“力/，/的 金心）時(shí)/*'的aNMV ,根收梅浮蓉斯W班有二f 二 | DR VF NA而as. n x

29、-r-A.-I.“F NA CB于是亞0=i,即亞江為之便.回此力力之a(chǎn).DB AC DB BC法2niH AC - 4a ZT4C - a Z V4C，0 P： 7 - , AM - Lcusa BT - , AY - 2aig0 cosacos。AJDN 心|DBn 八-I MB MD 1 =AD AD DM AN AM而一而而-而而和 LAWs4BfT=里二.=BN BT4M MDB "隊(duì)"彳.ADM sMB =里岑 B DB,波/A/OC-%, ZNOC 二邛,NOC 到 OP 尤為為以0為如兒 8為儀任.邢么支我MVg才也為cb, (a川卜J(O,"N)

30、，即8s。(a 3)卜/8 C05(a + P)x ./8 Cg(a 4 例 coacos/? sinrrsin/? 1- tanrrtan/9T 定.3? Ao- Aoa)Ma-。) C6ucz + $inasin 夕 1-t-Uiialan/?ZTACZMlBZMOB-a ZXAbJ/NOBM TC 0/BC. tana , Unp = Un Zo7(=ACTC. B(因比。="一條.于是息。為定點(diǎn). .BC 十AC172四、參數(shù)方程橢圓參數(shù)方程 吳磊一、沒吃過豬肉，你還沒見過豬跑x=acos8； y=bsin 9是一組我們熟悉而又陌生的方程，可問題是你真懂他們的含義嗎9究竟是個(gè)

31、什么東東，和圓參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程中9是一個(gè)意思嗎1、從一道百分之九十以上人都做錯(cuò)的簡單題展開例1、P是橢圓C上一點(diǎn)：x= 4 cos 0 ;y=2 ，3sin 0且在第一象限0（ O為原點(diǎn)）P的傾斜角為九/3,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為經(jīng)典錯(cuò)法：因?yàn)閮A斜角為冗/3 , x= 4 cos 0 ; y=2，3sin 0 ,所以x= 4cos 兀 /3=2;y=2V3sin 兀 /3 =3求得 P 坐標(biāo)（2、3）正解：橢圓參數(shù)方程 e是旋轉(zhuǎn)而成的圓心角而不是傾斜角因?yàn)?P的傾斜角為冗/3,故0P的斜率K=tan冗/3=，3;V3=y/x2 V3sin 9 /4 cos 9 =，3 （1）聯(lián)立二式，P在第一象點(diǎn)

32、坐標(biāo)為（4,5/5、4sin 0 2 +cosa 0 2 =1 (2)限，可解 cos 0 =，5/5sin 0 =2V5/5，15/5 )2、橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)和含義解釋r 3住L k乂 h；£工乜 JZj 拈11 *0 * 5A »J I乂土- Ik t H- -i»- -4k > yj .”三彳堂1rtM 4I網(wǎng)* VL n 足人團(tuán)I TT王 >、J J -J -宙M 口勺攵*工 , £1人H a z J-Tft ZlL z * jztlRn 竹 *IV1 _ AZ *中才 f <，,、*足* “命 4< »i r

33、 ?rxrrj 為九 1 江便一若“ zj tv小手： iUthi ' n也 ly*%門& . < > x 4Ztrrj iH況。為觸收，她小#3、橢圓參數(shù)方程的設(shè)法可能有的同學(xué)會(huì)按照焦點(diǎn)在 X軸：x=acos8； y=bsin 9焦點(diǎn)在 Y 軸:x=bcos8 ； y=asin 0去記憶，老師告訴你別這么理解，你只要記住 cos 9對(duì)應(yīng)的系數(shù)是a和b中大 的，cos和擴(kuò)大諧音，參數(shù)方程還原主要看 cos 9前的系數(shù)，它一定是大的，焦點(diǎn)在哪個(gè)軸，他在哪個(gè)下面二、橢圓參數(shù)方程妙用1、橢圓內(nèi)內(nèi)接面積問題例1:解:可設(shè) A( 10cos 8 ; 8sin 9),利用對(duì)稱性

34、可知 B( 10cos 8 ;-8sin 0 )C( -10 cos 8 ; - 8 sin 9 ) ; D( -10 cos 9 ; 8sin 9 )AB長度為16 sin 8; AD長度為20 cos 8 , 矩形面積S=160sin2 9 ,由三角函數(shù)知識(shí)可知，面積最大為 160例2:設(shè)抑圓工十=1和x的正半軸的交點(diǎn)為A, b2和y的正半軸的交點(diǎn)為B, P為第一象限內(nèi)橢網(wǎng)上的點(diǎn),則四邊形OAPB面積的最大值為X解：要使Soap跟大，由圖可知SOAB為定值，需求出P到直線AB距離，距離最大 時(shí)Sbpa大，從而SoapbJ大，用橢圓參數(shù)方程設(shè) P為 x=acos 8 ； y=bsin 0直線

35、AB的方程為:x/a+y/b=1用P到AB的距離公式可以求得距離最大為 ab(，2-1)2, SoAPB=ab V2/22、橢圓相關(guān)距離問題例1:，點(diǎn):P在樣有【同二十/=1上對(duì)，點(diǎn)Q保 圓 一+(,一3)一： 上.運(yùn)云小 求 PQ白勺瑯大任I解：用橢圓參數(shù)方程設(shè)P為 x=2cos8; y=sin 8 ; A(0,3/2)由點(diǎn)到距離公式可知AP最大為5/2,所以PQ最大值為3例2:橢圓約束下二次型最值問題2廠VF若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在曲線 + yv = 1 (b > 0)上運(yùn)動(dòng)，4 片則x2+2y的最大值為解：用橢圓參數(shù)方程解，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)最值問題。由于 b2和4大小未知， 顯然需要分類

36、討論0<b<2,時(shí) P( x=2cos 8 ; y=bsin 0 ),轉(zhuǎn)化成求 4cos2 9 + 2b sin 9最大值可求得最大值為(b2 /4)+4b >2 P( x=bcos 8 ; y=2sin 0 ),轉(zhuǎn)化成求 b2 cos2 9 + 4sin 9最大值可求得最大值為2b3、橢圓與向量求范圍、求值問題已知橢圓E：,A在E上(1,1/2 ),若點(diǎn)P在E上滿足(1)求t的范圍(2)過原點(diǎn)。的直線交E于BC求SJA BCA的最大值解:(1尸(2 cos 白,gin.二(V3-2cos siti &)FF： = (一 2 cos 8三一sin F)D。= cos

37、2 22m. az< = L mi n = - 2(2)與(2 cossin sjn b(2 cos d - sin與工 = (1 2cos 9 sin=1+2 cos 口口+ sin(a b、&w=l , |=|-灰| H d)一、 1.1 - 2cos a sin ccI 11=2 + 2 cos Of + sinSmax=，2五、極點(diǎn)極線圓錐曲線的極點(diǎn)與極線理論在高考中應(yīng)用較多，原因有二：其一，有高等數(shù) 學(xué)背景，結(jié)論非常完美；其二，運(yùn)用高中知識(shí)解決問題，能夠考查學(xué)生思維、計(jì) 算多方面能力。掌握有關(guān)極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)，才能“識(shí)破”試題中蘊(yùn)含的有 關(guān)極點(diǎn)與極線的知識(shí)背景，做題

38、事半功倍。1.從幾何角度看極點(diǎn)與極線定義1如圖1,設(shè)P是不在圓錐曲線上的一點(diǎn)，過 P點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn) E,F,G, H ,連接EH ,FG交于N ,連接EG,FH交于M ,則直線MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.若P為圓錐曲線上的點(diǎn)，則過 P點(diǎn)的切線即為極線.由圖1同理可知， PM為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線，PN為點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的極線.因而將MNP稱為自極三點(diǎn)形.設(shè)直線MN交圓錐曲線于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，則PA,PB恰為圓錐曲線的兩條切線定理1 (1)當(dāng)P在圓錐曲線上時(shí)，則點(diǎn)P的極線是曲線在P點(diǎn)處的切線;A, B ,則點(diǎn)P的極(2)當(dāng)P在 外時(shí)，過點(diǎn)P作 的兩條切線，設(shè)其切點(diǎn)分別為 線是直線AB (即切點(diǎn)弦所

39、在的直線); 當(dāng)P在 內(nèi)時(shí)，過點(diǎn)P任作一割線交 于A, B ,設(shè) 在A, B處的切線交于點(diǎn)Q ,則點(diǎn)P的極線是動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡.定理2如圖2,設(shè)點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線的極線為l ,過點(diǎn)P任作一割線交PAA, B ,交l于Q ,則AQPB 一一 ；反之，若有成立，則稱點(diǎn) P,Q調(diào)和分割線段BQPAB ,或稱點(diǎn)P與Q關(guān)于調(diào)和共食，或稱點(diǎn) P （或點(diǎn)Q）關(guān)于圓錐曲線的調(diào)和共輾點(diǎn)為點(diǎn) Q （或點(diǎn)P ）.點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線的調(diào)和共食點(diǎn)是一條直線，這條直線就是點(diǎn) P的極線.推論1如圖2,設(shè)點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線 的調(diào)和共輾, 一，2點(diǎn)為點(diǎn)Q ,則有PQ1PA1一、_, ；反之，若有成立,PB則點(diǎn)P與Q關(guān)于調(diào)和共食.可以證明

40、與是等價(jià)的.事實(shí)上，由有AQPABQPBPQ PAPAPB PQPBPQPA1 1型PBPQ11()2PA PB2PQPA PB特別地，我們還有推論2如圖3,設(shè)點(diǎn)P關(guān)于有心圓錐曲線（設(shè)其中心為O）的調(diào)和共食點(diǎn)為點(diǎn)Q, PQ連線經(jīng)過圓錐曲線的中心，則有OR2OP OQ,反之若有此式成立，則點(diǎn)P與Q關(guān)于調(diào)和共食.證明：設(shè)直線PQ與的另一交點(diǎn)為PR PRRQ RQOP OROR OQOP OROR OQ即可得OR2 OPOQ .反之由此式可推出R圖3PR PRPR工，即點(diǎn)P與Q關(guān)于調(diào)和共食.RQ RQ推論3如圖4, A, B圓錐曲線的一條 對(duì)稱軸l上的兩點(diǎn)（不在 上），若A, B關(guān)于 調(diào) 和共食，過

41、B任作 的一條割線，交 于P,Q兩點(diǎn)，則 PAB QAB .證明：因關(guān)于直線l對(duì)稱，故在上存在P,Q的對(duì)稱點(diǎn)P , Q .若P與Q重合，則Q與P也重合，此時(shí)P,Q關(guān)于l對(duì)稱，有 PAB QAB ； 若P與Q不重合，則Q與P也不重合，由于A, B關(guān)于調(diào)和共食，故A, B為上完全四點(diǎn)形PQ QP的對(duì)邊交點(diǎn)，即Q在PA上，故AP,AQ關(guān)于直線l對(duì)稱，也有 PAB QAB .定理3 （配極原則）點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線 的極線p經(jīng)過點(diǎn)Q 點(diǎn)Q關(guān)于 的極線q經(jīng)過點(diǎn)P ;直線p關(guān)于 的極點(diǎn)P在直線 q上 直線q關(guān)于 的極點(diǎn)Q在直線p上.由此可知，共線點(diǎn)的極線必共點(diǎn)；共點(diǎn)線的極點(diǎn)必共線.以上未加證明的定理，可參閱有

42、關(guān)高等幾何教材，如【1】，其中定理1的初等證法可參閱文【2】.2.從代數(shù)角度看極點(diǎn)與極線定義2 已知圓錐曲線 ：Ax2Cy2 2Dx 2Ey F 0 ,則稱點(diǎn) P(x°, y°)和直線l:Ax0x Cy0y D(x x0) E(yy0) F 0是圓錐曲線 的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以x°x替換x2,以xx替換x,以yoy替換2y2 ,以 包一y替換y即可得到點(diǎn)P(xo,y°)的極線方程.2特別地：22(1)對(duì)于橢圓與、1,與點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為 警邛 1; a ba b22(2)對(duì)于雙曲線與 當(dāng)1,與點(diǎn)P(x0,y。)對(duì)應(yīng)

43、的極線方程為 安卑 1; a ba b(3)對(duì)于拋物線y2 2 px ,與點(diǎn)P(x0, y0)對(duì)應(yīng)的極線方程為y0y p(x° x).22(4)如果圓錐曲線是橢圓 占 41 ,當(dāng)P(x0,y°)為其焦點(diǎn)F(c,0)時(shí)，極線恰為 a b22橢圓的準(zhǔn)線；如果圓錐曲線是雙曲線與 當(dāng)1 ,當(dāng)P(x0,y°)為其焦點(diǎn)F(c,0)時(shí)，極a b線恰為雙曲線的準(zhǔn)線；如果圓錐曲線是拋物線y2 2px,當(dāng)P(x0,y0)為其焦點(diǎn)F(-p,0)時(shí)，極線恰為拋物線的準(zhǔn)線.3.從極點(diǎn)與極線角度看圓錐曲線試題【例1】(2010江蘇卷文理18)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓22 以

44、1的左右頂點(diǎn)為A, B ,右焦點(diǎn)為F .設(shè)過點(diǎn)T(t,m)的直線TA,TB與此橢圓95分別交于點(diǎn) M (x1, y1), N (x2, y2),其中 m 0 , y1 0, y2 0 .(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2 PB2 4 ,求點(diǎn)P的軌跡；_ 、r1設(shè)x1 2, x2 1,求點(diǎn)T的坐標(biāo);12 3設(shè)t 9,求證：直線 MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與 m無關(guān))分析與解：前面兩問比較簡單，這里從略.對(duì)于，當(dāng)t 9時(shí)，T點(diǎn)坐標(biāo)為(9,m),連MN ,設(shè)直線AB與MN的交點(diǎn)為K ,根據(jù) 極點(diǎn)與極線的定義可知，點(diǎn) T對(duì)應(yīng)的極線經(jīng)過K, 又點(diǎn)T對(duì)應(yīng)的極線方程為 9? U 1 ,即95x m-y 1 ,此直

45、線恒過x軸上的定點(diǎn)K (1,0),52【例2】(2008安徽卷理22)設(shè)橢圓C:xy a2 y b21(a0)過點(diǎn) m(72,1),且左焦點(diǎn)為E( ,2,0).(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)過點(diǎn)P(4,1)的動(dòng)直線l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A, B時(shí)，在線段AB上取城鼎,aQ, , pB,，證明點(diǎn)Q總在某定直線上.2分析與解：(1)易求得答案 A(2)由條件可有AQ卜，說明點(diǎn)P,Q關(guān)于圓錐曲線C調(diào)和共輾.根據(jù)定理2,點(diǎn)Q的軌跡就是點(diǎn)從而直線MN也恒過定點(diǎn)K (1,0).P對(duì)應(yīng)的極線，即1 ,化簡得2x y 2 0.42故點(diǎn)Q總在定直線2x y 2 0上.22【例3】（1995全國卷理26）已知橢圓