學案19導數(shù)的綜合應用

1、鎮(zhèn)江市丹徒高級中學 2015高三數(shù)學一輪復習理科導學案班級：高三 班 學號姓名總課題咼三一輪復習-導數(shù)總課時課題導數(shù)的綜合應用課老型復習課教學1、應用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，并會根據(jù)函數(shù)的性質求參數(shù)范圍.目標2、能利用導數(shù)研究與函數(shù)的零點、萬程和不等式有天的冋題.3、會利用導數(shù)解決某些實際問題.教學 重點應用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，并會根據(jù)函數(shù)的性質求參數(shù)范圍教學難點會利用導數(shù)解決某些實際問題.學法指導自主復習選修2-2第1章，回顧以前所學，在充分自學和小組討論的基礎上完成導學案。教學 準備導學案導學步步高一輪復習資料自主學習高考導數(shù)的綜合應用 B要求教學過程師生互動個案補充第1課時：一、基礎知識

2、梳理1.已知函數(shù)f(x)的區(qū)間(a,b)上為單調增函數(shù)，求參數(shù)值范圍時，實質為問題.2.求函數(shù)f(x)單調增區(qū)間，實質為問題，但注意解集疋為疋乂域的子集 .3.不等式問題(1)證明不等式時，可構造函數(shù)，將問題轉化為函數(shù)的極值或最值問題(2)求解不等式恒成立問題時，可以考慮將參數(shù)分離出來，將參數(shù)范圍問題轉化為研究新函數(shù)的值域問題4.利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系式y(tǒng)= f(x);(2)求函數(shù)的導數(shù)f' (x)，解方程f'：x) = 0 ；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和f' (x

3、)= 0的點的函數(shù)值的大小，最大(/丨、.目.、)者為最大(小)值；(4)回歸實際問題作答.二、基礎練習訓練1判斷下面結論是否正確(請在括號中打“/或 “X”)(1)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值.( )(2)函數(shù)f(x) = x2-3x+ 2的極小值也是最小值.( )(3)函數(shù) f(x) = Vx+ x 1 和 g(x) = 7x-x 1都是在x= 0時取得最小值1.( )2(4)函數(shù)f(x) = x In x沒有最值.( )(5)已知x (0,，貝U sin x>x.( )(6)若a>2,則方程1x3 ax2 + 1 = 0在(0,2)上沒有實數(shù)根.( )2.函數(shù)f(x) = x3

4、 + x2 + tx+ t在(一1,1)上是增函數(shù)，則t的取值范圍是3.函數(shù)f(x)= x3 3ax a在(0,1)內有最小值，則 a的取值范圍為.4 .設直線x= t與函數(shù)f(x) = x2, g(x)= In x的圖象分別交于點 M , N,則當MN達到最小時t的值為15.函數(shù) f(x) = 2ex (sin x+ cos x)在區(qū)間0, n上的值域為.6.從邊長為10 cm x 16 cm的矩形紙板的四角截去四個相冋的小正方形，作成一個無蓋的盒 子，則盒子容積的最大值為cm3.三、典型例題分析題型一：利用導數(shù)研究函數(shù)的性質例 1:設 a>0 ,函數(shù) f(x) = aln-x.X(1

5、)討論f(x)的單調性；求f(x)在區(qū)間a,2a上的最小值.隨堂訓練：1 2已知函數(shù) f(x) = 2X + aln x.(1) 若a =- 1，求函數(shù)f(x)的極值，并指出是極大值還是極小值；(2) 若a = 1,求函數(shù)f(x)在1 , e上的最大值和最小值；(3) 若a = 1,求證：在區(qū)間1 ,+ )上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x) =x3的圖象的下方3第2課時： 題型二：利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍 例 2:已知函數(shù) f(x) = ln X+ a R), g(x)=丄.XX(1) 求f(x)的單調區(qū)間與極值；2(2) 若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間(0, e上有公共點，

6、求實數(shù) a的取值范圍.隨堂訓練：已知函數(shù) f(x) = x3 3ax 1,0.(1) 求f(x)的單調區(qū)間；(2) 若f(x)在x= 1處取得極值，直線y= m與y= f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍.第17頁共6頁第3課時：題型三實際生活中的優(yōu)化問題例3：某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng)=+ 10(x 6)2,其中3<x<6, a為常數(shù).已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品 11千克.(1) 求a的值；(2) 若該商品的成本為 3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲

7、得的利潤最大.隨堂訓練：(2008江蘇17).如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點 A, B及CD的中點P處.AB = 20km , BC= 10km .為了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū) 域上(含邊界)且與A, B等距的一點O處，建造一個污水處理廠， 并鋪設三條排污管道 AO, BO, PO.記鋪設管道的總長度為 ykm.dPf(1 )按下列要求建立函數(shù)關系式：(i)設/BAO=0 (rad),將y表示成。的函數(shù)；Jo(ii )設OP =x ( km )，將y表示成 x的函數(shù)； a (2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關系確定污水處理廠的位置，使鋪設的污水管道的總長度最短。

8、五、課堂總結：六、教(學)反思：七、課后作業(yè)1、步練P235 A組；2、一輪復習作業(yè)紙 19。課后作業(yè)(n)的最小值是一輪復習作業(yè)紙19:導數(shù)的綜合應用1. 在R上可導的函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則關于x的不等式xf' (x)<0的解集為_2. 已知函數(shù)f(x) = x2 + mx + In x是單調遞增函數(shù)，則m的取值范圍是 .3 .函數(shù)f(x)= x3 + ax2 + 3x 9，已知f(x)在x= 3時取得極值，則 a =.xF34. 若函數(shù)f(x)= xa (a>0)在1 ,)上的最大值為 丁，貝V a的值為.5. 已知函數(shù)y = x3 3x+ c的圖象與x軸恰有兩

9、個公共點，則c=.6. 已知函數(shù) f(x) = x3+ ax2 4 在 x = 2 處取得極值，若 m、n 1,1，則 f(m) + f'7. 要建造一個長方體形狀的倉庫，其內部的高為3m .3 m，長和寬的和為20 m，則倉庫容積的最大值為*8.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，其導函數(shù)f' (x)的圖象如圖所示，則對于任意 正確的是.(填序號) f(x)<0 恒成立；(X1 X2)f(X1) f(X2)<0 ；(X1 X2)f(X1) f(X2)>0 ；f(X1±X2)>fxk±f 2: f(X1于尋<仏絲.9.設 a 為實數(shù)，

10、函數(shù) f(x)= ex 2x± 2a, x R.(1) 求f(x)的單調區(qū)間與極值；x 2(2) 求證：當 a>ln 2 1 且 x>0 時，e >x 2ax+ 1.10請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B, C，D四個點重合于圖中的點 P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E, F在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE = FB = x (cm).(1) 某廣告商要求包裝盒的側面積S(cm2)最大，試問x取何值？(2) 某廠商要求包裝盒的容

11、積 V(cm3)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.總課題咼三一輪復習-導數(shù)總課時課題導數(shù)的綜合應用課K型復習課教學1、應用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，并會根據(jù)函數(shù)的性質求參數(shù)范圍.目標2、能利用導數(shù)研究與函數(shù)的零點、萬程和不等式有天的冋題.3、會利用導數(shù)解決某些實際問題.教學 重點應用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，并會根據(jù)函數(shù)的性質求參數(shù)范圍教學難點會利用導數(shù)解決某些實際問題.學法指導自主復習選修2-2第1章，回顧以前所學，在充分自學和小組討論的基礎上完成導學案。教學 準備導學案導學步步高一輪復習資料自主學習高考導數(shù)的綜合應用 B要求教學過程師生互動個案補充第1課時：一、基礎知識梳

12、理1.已知函數(shù)f(x)的區(qū)間(a,b)上為單調增函數(shù)，求參數(shù)值范圍時，實質為問題.2.求函數(shù)f(x)單調增區(qū)間，實質為問題，但注意解集疋為疋乂域的子集 .3.不等式問題(1)證明不等式時，可構造函數(shù)，將問題轉化為函數(shù)的極值或最值問題(2)求解不等式恒成立問題時，可以考慮將參數(shù)分離出來，將參數(shù)范圍問題轉化為研究新函數(shù)的值域問題4.利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系式y(tǒng)= f(x);(2)求函數(shù)的導數(shù)f' (x)，解方程f'：x) = 0 ；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和f' (x)

13、= 0的點的函數(shù)值的大小，最大(/丨、.目.、)者為最大(小)值；(4)回歸實際問題作答.二、基礎練習訓練1判斷下面結論是否正確(請在括號中打“/或 “X”)(1)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值.(V )(2)函數(shù)f(x) = x - 3x+ 2的極小值也是最小值.(V )(3)函數(shù) f(x)=以+ x 1 和 g(x) = Vx-x 1都是在x= 0時取得最小值1.(x )2(4)函數(shù)f(x) = x ln x沒有最值.(x )(5)已知x (0, j，貝V sin x>x.(X )(6)若a>2,則方程3 ax2 + 1 = 0在(0,2)上沒有實數(shù)根.(X )2.函數(shù)f(x) =

14、 x3 + x2 + tx+ t在(一1,1)上是增函數(shù)，則t的取值范圍是.答案t>53.函數(shù)f(x)= x3 3ax a在(0,1)內有最小值，則a的取值范圍為.答案0<a<14 .設直線x= t與函數(shù)f(x) = x2, g(x)= ln x的圖象分別交于點 M , N,則當MN達到最小時t的值為.答案乎5.函數(shù) f(x) = 2ex (sin x+ cos x)在區(qū)間0,嚴上的值域為.答案1城6.從邊長為10 cm x 16 cm的矩形紙板的四角截去四個相同的小正方形，作成一個無蓋的盒 子，則盒子容積的最大值為 cm3.答案 144三、典型例題分析題型一：利用導數(shù)研究函

15、數(shù)的性質例 1:設 a>0 ,函數(shù) f(x) = aln-x.X(1) 討論f(x)的單調性；(2) 求f(x)在區(qū)間a,2a上的最小值.解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+),1 In xf，(x)= a x若a = 1，求函數(shù)f(x)的極值，并指出是極大值還是極小值； 若a = 1,求函數(shù)f(x)在1 , e上的最大值和最小值；2 3 、若a = 1,求證：在區(qū)間1 ,+ )上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù) g(x) = 3X的圖象的下方(1)解由于函數(shù)f(x)的定義域為(0,+),當 a= 1 時，f' (x)= X1 =X，1分令 f' (x)= 0得 x= 1 或

16、 x= 1(舍去),2 分當x (0,1)時，函數(shù)f(x)單調遞減，3分當x (1 , + a)時，函數(shù)f(x)單調遞增，4分(a>0),1 ln x由 f' (x) = a x2>0,得 0<x<e;由 f' (x)<0，得 x>e.故f(x)在(0, e)上單調遞增，在(e,+)上單調遞減./ f(x)在(0, e)上單調遞增，在(e,+)上單調遞減, f(x)在a,2a上的最小值f(x)min = min f(a), f(2a).1 a f(a) f(2a) = 2ln2,當 0<aw 2 時,f(x)min = In a;當 a

17、>2 時，f(X)min = 2-)隨堂訓練：1 o 已知函數(shù) f(x) = ?x2+ aln x.1所以f(x)在x= 1處取得極小值為25分解 當a = 1時，易知函數(shù)f(x)在1 , e上為增函數(shù)，7分1 1 2二 f(x)min = f(1) = 2 , f(X)max = f(e) =+ 1.9 分1 2 2 3證明 設 F(x)= f(x)-g(x) =+ In x-3X ,212(1 x (1 + x+ 2x 則 F' (x) = x + - 2x2= 鳥!,11 分xx當 x>1 時，F(xiàn) ' (x)<0,1故f(x)在區(qū)間1 ,+s)上是減函數(shù)

18、，又 F(1) =- 6<0,在區(qū)間1 ,+s )上，F(xiàn)(x)<0恒成立.即f(x)<g(x)恒成立.13分因此，當a= 1時，在區(qū)間1,+)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)圖象的下方.14分第2課時：題型二：利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍例 2:已知函數(shù) f(x) = ln x+ a R), g(x)=丄xx(1) 求f(x)的單調區(qū)間與極值；(2) 若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間(0, e2上有公共點，求實數(shù) a的取值范圍. 思維啟迪 (1)解f' (x) = 0,根據(jù)函數(shù)值的變化得到單調區(qū)間、極值；(2)構造函數(shù)F(x) = f(x)- g(x)，

19、通過F(x)的單調性和函數(shù)值的變化研究f(x)、g(x)的交點情況.解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+),1 - In x+ af' (x)= -x2-.令 f' (x)= 0,得 x= e1-a,當 x (0, e1-a)時，f' (x)>0, f(x)是增函數(shù)；當 x (e1-a,+s)時，f' (x)<0 , f(x)是減函數(shù).所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(0, e1- a,單調遞減區(qū)間為e1-a,+),極大值為f(x)極大值=f(e1- a)= ea-1，無極小值In x+ a- 1(2)令 F(x) = f(x) g(x)=In x

20、+ 2 a則 F' (x) =2.x令 F，(x) = 0，得 x= e2-a;令 F，(x)>0，得 x<e2-a; 令 F，(x)<0，得 x>e2-a,故函數(shù)F(x)在區(qū)間(0, e2 a上是增函數(shù)， 在區(qū)間e?- a,+ g )上是減函數(shù).當e2-a<e2，即a>0時，函數(shù)F(x)在區(qū)間(0, e2 a上是增函數(shù)， 在區(qū)間e2a, e2上是減函數(shù),F(x)max= F(e2 a) = ea2.又 F(e1-a)= 0,由圖象，易知當、/1 a ,2當 e <x < e ,2 a+1F(e)= e2 >0,0<x<

21、e1 a 時，F(xiàn)(x)<0 ;F(x)>0,此時函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間(0, e2上有1個公共點 當e2 a>e2,即卩aw 0時，F(xiàn)(x)在區(qū)間(0, e2上是增函數(shù)，2 a+1F(X)max= F(e ) =2 :e2a+1右 F(x)max= F(e ) =20，即1 w aw 0 時，e函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間(0, e2上只有1個公共點;若 F(x) max = F (e2) =a+ 1二2<0,即 a< 1 時,函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間(0, e2上沒有公共點綜上，滿足條件的實數(shù) a的取值范

22、圍是1 ,+g).隨堂訓練：已知函數(shù) f(x) = x3 3ax 1,0.(1) 求f(x)的單調區(qū)間；求m的取(2) 若f(x)在x= 1處取得極值，直線y= m與y= f(x)的圖象有三個不同的交點, 值范圍.解 (1)f' (x) = 3x2 3a= 3(x2 a),當 a<0 時，對 x R，有 f' (x)>0,當a<0時，f(x)的單調增區(qū)間為(g,+g).當 a>0 時，由 f' (x)>0,解得x<爭或由 f(x)<o，解得ya<x<寸a,當a>o時，f(x)的單調增區(qū)間為(一,寸a),(寸a,

23、 + m)，單調減區(qū)間為(一ya ya)./ f(x)在 x= 1處取得極值， f' ( 1)= 3X ( 1)2 3a= 0, a = 1.-f (x) = x 3x 1, f (x) = 3x 3,由 f' (x)= 0,解得 X1 = 1 , X2= 1.由中f(x)的單調性可知，f(x)在x= 1處取得極大值f( 1)= 1,在x= 1處取得極小值f(1) = 3.直線y= m與函數(shù)y= f(x)的圖象有三個不同的交點，結合如圖所示f(x)的圖象可知：實數(shù)m的取值范圍是(3,1).第3課時：題型三實際生活中的優(yōu)化問題例3:某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量

24、y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng)=-a + 10(x 6)2,其中3<x<6, a為常數(shù).已知銷售價格為5元x 3/千克時，每日可售出該商品11千克.(1) 求a的值；(2) 若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.解 (1)因為x= 5時，y = 11,所以；+ 10= 11, a= 2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y=+ 10(x 6)1x 3所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤2 2f(x) = (x 3)+ 10(x 6)x 3=2 + 10(x 3)(x 6)2,3<x<6.從而

25、，f (x)= 10(x 6)2+ 2(x 3)(x 6)=30(x 4)(x 6).于是，當x變化時，f' (x), f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f' (x)+0f(x)單調遞增極大值42單調遞減由上表可得，x= 4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內的極大值點，也是最大值點所以，當x= 4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答 當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大隨堂訓練：(2008江蘇17).如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形 ABCD的兩個頂點 A, B 及CD的中點P處.AB= 20km , BC = 10km .為

26、了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形 區(qū)域上(含邊界)且與 A, B等距的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道DPCAO , BO, PO.記鋪設管道的總長度為 ykm .(1)按下列要求建立函數(shù)關系式：(i )設三BAO =日(rad)，將y表示成。的函數(shù);(ii)設OP = x ( km )，將y表示成X的函數(shù)；(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關系確定污水處理廠的位置，使鋪設的污水管道的總長度 最短?！窘馕觥勘拘☆}主要考查函數(shù)最值的應用.AQ 10(I)由條件知 PQ垂直平分AB,若/ BAO(rad)，則OA,故COS日 cos日10OB，又 op= 10 -10 tan v

27、 ,cosB10 10 所以 y = OA OB OP10 -10tan v ,cos日 cos日所求函數(shù)關系式為y = 20 _10si10 0 " Jcos日I 4丿若 OP=x(km)，貝U OQ = 10- x，所以 OA =OB= Jx2 20x +200所求函數(shù)關系式為 y = x 2 x2 - 20x - 200 0 _ x _ 10選擇函數(shù)模型，y' j10coLcos"2010sinsi"10細cos2 二cos2 r' 1令y=0得sin日，因為，所以6=6JI,6當Be0, 時，yv0 , y是日的減函數(shù)；當f Tt Jl6

28、= 1 6'4，y >0 ,y是二的增函P位于線段AB的中垂線上,在矩形區(qū)域數(shù)，所以當二=時，ymin -10 10，3。這時點610>/3內且距離AB邊km處。3五、課堂總結：六、教(學)反思：七、課后作業(yè)1、步練P235 A組；2、一輪復習作業(yè)紙 19。課后作業(yè)一輪復習作業(yè)紙19：導數(shù)的綜合應用1. 在R上可導的函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則關于 x的不等式xf' (x)<0的解集為 答案(， 1) U (0,1)2. 已知函數(shù)f(x) = x2 + mx + In x是單調遞增函數(shù)，則m的取值范圍是 .答案 m2 23. 函數(shù)f(x)= x3 + ax2

29、 + 3x 9，已知f(x)在x= 3時取得極值，則 a =答案54. 若函數(shù)f(x)= x篤(a>0)在1 , +R )上的最大值為 彳，則a的值為答案 .315. 已知函數(shù)y = x3 3x+ c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則c=.答案 一2或26. 已知函數(shù)f(x) = x3+ ax2 4在x = 2處取得極值，若m、n 1,1,則f(m) + f' (n)的最小值是 答案 -137. 要建造一個長方體形狀的倉庫，其內部的高為3 m，長和寬的和為20 m，則倉庫容積的最大值為3m .答案300X1 , X2 R (X1半X2),下列結論*8.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，其

30、導函數(shù)f' (x)的圖象如圖所示，則對于任意 正確的是.(填序號) f(x)<0恒成立； (捲X2) f(X1) f(X2)<0 ； (X1 X2) f(X1) f(X2) >0 ； f(寧竺； f(寧)<區(qū)竺答案9.設 a 為實數(shù)，函數(shù) f(x)= ex 2x+ 2a, x R.(1) 求f(x)的單調區(qū)間與極值；x 2(2) 求證：當 a>ln 2 1 且 x>0 時，e >x 2ax+ 1.(1)解 由 f(x) = ex 2x+ 2a, x R 知 f' (x)= ex 2, x R. 令 f' (x)= 0,得 x= ln 2.于是當X變化時，f' (x), f(x)的變化情況如下表：X(g , ln 2)ln 2(ln 2 , + g)f' (X)一0+f(x)單調遞減