對(duì)旋轉(zhuǎn)變換解決幾何問(wèn)題的探討何蘭紅

1、對(duì)“旋轉(zhuǎn)變換”解決平面幾何問(wèn)題的探討（何蘭紅）內(nèi)容摘要：隨著新課改的推行與實(shí)施，旋轉(zhuǎn)變換已納入初中幾何教材之中。旋轉(zhuǎn)變換是圖形變換中的一種基本變換，它在平面幾何求解題、證明題、作圖題中有著廣泛的應(yīng)用。本文擬從通過(guò)剖析旋轉(zhuǎn)變換的定義、性質(zhì)，剖析幾何圖形特征及幾何問(wèn)題特點(diǎn)來(lái)探討如何 正確運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換解題。關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)變換、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、幾何問(wèn)題新教材中，幾何教學(xué)加強(qiáng)了“圖形變換”的有關(guān)內(nèi)容，通過(guò)體會(huì)和認(rèn)識(shí)圖形特征, 增強(qiáng)了學(xué)生用旋轉(zhuǎn)變換處理幾何問(wèn)題的感受， 并注重幾何直覺(jué)培養(yǎng)空間觀念。而旋轉(zhuǎn)變換, 正是利用直觀感知和合情推理或數(shù)學(xué)說(shuō)理， 使幾何問(wèn)題中已知或所求的部分集中到一個(gè)基 本圖形中，為求

2、解創(chuàng)設(shè)合適的情景，從而減少了繁瑣的邏輯推理、證明和運(yùn)算，能更簡(jiǎn)便、 靈活地解決問(wèn)題。那么旋轉(zhuǎn)變換解決幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是什么，什么幾何圖形、哪些幾何問(wèn) 題可運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換呢？本人根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，作如下粗淺的探討。首先、理解并掌握好旋轉(zhuǎn)變換的定義、性質(zhì)，正確運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換解題。旋轉(zhuǎn)變換是將平面圖形F1繞平面內(nèi)一定點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一個(gè)定角a，得到一個(gè)與原來(lái)圖形 的形狀與大小都一樣的圖形F2，0點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，a叫做旋轉(zhuǎn)角，當(dāng)a =1800時(shí)，稱為 中心對(duì)稱變換， 所以中心對(duì)稱變換是一種特殊的旋轉(zhuǎn)變換。旋轉(zhuǎn)變換的基本特征和性質(zhì)是：（1）在旋轉(zhuǎn)變換下，旋轉(zhuǎn)圖形中每一點(diǎn)繞著旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，即都等于旋轉(zhuǎn)角

3、；（2）在旋轉(zhuǎn)變換下，對(duì)應(yīng)線段相等；（3）在旋轉(zhuǎn)變換下，對(duì)應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。由旋轉(zhuǎn)變換的定義和性質(zhì)可知，平面上的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心0和旋轉(zhuǎn)角a完全確定。因此，要對(duì)圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，需要根據(jù)圖形的特點(diǎn)選擇合適的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角。例 1、如圖，四邊形 AFCE 中，AB 丄 FC 于 B，F(xiàn)AE = N C = 90,且 AF=AE，AB=BC=5 ,AECF B的旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A）；求四邊形AFCE的面積。（由八年級(jí)上冊(cè)第15頁(yè)習(xí)題3改編）。分析：由于四邊形AFCE不是特殊四邊形，直接計(jì)算面積比較困難，由AF=AE，NFAE=900,利用旋轉(zhuǎn)變換，將也AFB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90（即N FAE的度

4、數(shù)）至 MEG，則可知點(diǎn)G、E、C在同一條直線上，四邊形 ABCG是一個(gè)正方形，這樣求四邊形AFCE的面積就轉(zhuǎn)化成求正方形 ABCG的面積，問(wèn)題也就解決了。由例1可以看出，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換關(guān)鍵是：（1）確定旋轉(zhuǎn)中心（例1（2）確定旋轉(zhuǎn)圖形（例1中是心AFB ）; （3）確定旋轉(zhuǎn)的角度和方向（例1中旋轉(zhuǎn)角度為 900,逆時(shí)針?lè)较颍Ｆ浯?、由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，當(dāng)平面幾何圖形中有共點(diǎn)且相等的線段時(shí)，可以考慮 旋轉(zhuǎn)變換，如等腰三角形、正方形。1、若問(wèn)題中有等腰三角形，可設(shè)計(jì)以等腰三角形的頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，以頂角為旋轉(zhuǎn) 角的旋轉(zhuǎn)，而正三角形的旋轉(zhuǎn)角往往是 600。例2、D為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC

5、,厶 ADBNADC,求證:DCDB.分析：如圖，把AADB繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使AB與AC重合，得至U MEC，連結(jié)DE,貝U有AD=AE，BD=CE，NADB =NAEC。因?yàn)?NADBNADC,所以 NAEC aNADC。又因?yàn)?AD=AE，所以 4 =三2，貝U N4 N3，所以 DCEC,即DCDB。注：此題若條件改為 N ADB= NADC （或N ADBvNADC ）,結(jié)論改 為DC=DB（或DCvDB）,命題也成立，證明方法一樣。E2、若問(wèn)題中有正方形（或矩形），可嘗試正方形（或矩形）某頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 方形中心旋轉(zhuǎn)900。90，或以正例3、正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1, AB、CD上各有

6、一點(diǎn)Q,如果也APQ在周長(zhǎng)為2,貝U NPCQ =（）A、300 B、450 C、600D、無(wú)法確定分析：將ACDQ繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到也CBE處,P、則 NQCE =90，令 AP =x,AQ =y,則 PQ = 2-(x + y),又 QD =BE =1 -y, PB =1 -X ,可得 PE =2 - (x+ y),從而iC P Q AC PE,所以1 zpCQ PCE = NQCE =45。23、若問(wèn)題中有共點(diǎn)且相等的線段（如例 1）,可考慮以該共點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，以兩相等線段的夾角為旋轉(zhuǎn)角。例4、如圖，在圓內(nèi)接四邊形 ABCD中, AB=AD AC=1 ZACD =60，貝U四邊形AB

7、CD的面積（）ECPP（變式題）已知點(diǎn)P是等邊三角形ABC外一點(diǎn)。點(diǎn)，貝U BG GH HM=（第六屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）433分析：由AB=AD考慮將衛(wèi)ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AADE , 使AB與AD重合，貝U AE=AC點(diǎn)C D E共線，故 ACE是正三角 形，從而將求四邊形 ABCD勺面積轉(zhuǎn)化為求等邊 MCE的面積，問(wèn)題簡(jiǎn)單多了。4、若問(wèn)題中與某線段中點(diǎn)或某組具有公共中點(diǎn)的線段有關(guān)，可以此中點(diǎn)為中心，設(shè)計(jì)中心對(duì)稱變換。5、若問(wèn)題中有圓或正多邊形，可以考慮以圓心或正多邊形中心為中心的某種旋轉(zhuǎn)。再者，當(dāng)幾何問(wèn)題中有旋轉(zhuǎn)變換圖形特征時(shí)， 條件或結(jié)論中又出現(xiàn)分散的線段或角度 時(shí)，可考慮

8、用旋轉(zhuǎn)變換把分散的線段和角集中在一個(gè)基本圖形之中去解決問(wèn)題。例5、如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),P A=2 ,P B=2J3, P C=4,求A ABC的邊長(zhǎng)。分析：本題所給的三條線段比較分散，直接使用不方便，若 能將三條線段集中到同一三角形中，根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系可知，這 是一個(gè)直角三角形。因此，可考慮旋轉(zhuǎn)變換。將ABPA繞點(diǎn)B逆時(shí) 針旋轉(zhuǎn) 60 至 iBP 1C ,貝U BA 與 BC 重合，BP=BP1,PA=P1C,NPBP1=600，貝U 也PBP1 是正三角形。因?yàn)镻C=4，CP1=PA=2，PP1=BP=2J3，由(CP1) 2+ ( PP1) 2=PC2,則 APPC 是直角

9、三角 形，且NCPP1 =30，而NBPP1 =60，所以ABPC是直角三角形, 從而B(niǎo)C2=BP2+CP2，可得BC=2 77，即所求 ABC的邊長(zhǎng)。求證：BP+CPAP.另外、旋轉(zhuǎn)變換在競(jìng)賽題、中考題中常有應(yīng)用。例6、已知 MBC中，E、F為BC三等分點(diǎn)，M為AC中點(diǎn)，BM交 AE AF分別于G HAMEFOD分析：如圖，以點(diǎn)M為中心，作比ABC的中心對(duì) 稱圖形ACAD，由平行線段成比例，易得123BGhBD,BH BD 即 GH =BH -HG = BD，452011BM = BD 即 HM =BM BH = BD，210所以 BG GH HM=5 3 : 2例7（2007年廣州市中考?jí)?/p>

10、軸題）、已知RUABC中，AB=BC ,在RUADE中，連結(jié)EC,取EC中點(diǎn)M，連結(jié)DM和BM。 （1）若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，如圖,求證：BM=DM 且BM丄DM ； （2）如圖中的AADE繞點(diǎn)A 逆時(shí)針轉(zhuǎn)小于45的角，如圖，那么（1）成立？如果不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立,請(qǐng)給予證明。(1)證略)分析：題目中有兩個(gè)等腰直角三角形,考慮旋轉(zhuǎn)變換則中的結(jié)論是否仍有幾種解法。其法一：把 人ABD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900至也BAD1，可證得四邊形DECD1為平行四邊形，連結(jié)DD1交CM于CM1，貝U EM1=CM1，EM=CM所以M1與M重合，即D、M、D1共線，又因?yàn)锽D=BD1，ADBD1是直角三角形，DM=MD 1，所以BM=DM且BM 丄 DM因此，當(dāng)題設(shè)中涉及到正多邊形、定角、等邊及中點(diǎn)的情形時(shí)，采用旋轉(zhuǎn)變換將分散的元素集中或?qū)⒂嘘P(guān)條件建立起聯(lián)系，可收到事半功倍之效。掌握旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用，對(duì)進(jìn)行平面幾何教學(xué)具有很好的指導(dǎo)作用。參考資料:1、王林全主編，初等幾何研究教程。廣州：暨南大學(xué)出版社,199