整理勾股定理知識點(diǎn)及習(xí)題

1、新人教版八年級下冊勾股定理全章知識點(diǎn)和典型例習(xí)題一、基礎(chǔ)知識點(diǎn)：勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a ， b ，斜邊為 c ，那么 a 2b 2c2 .勾股定理的證明.勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對象是直角三角形.勾 股定理的 應(yīng)用 已知直角三角形的任意 兩邊長，求第 三邊在ABC 中，C90 ，則 ca 2b2 ，b c2 a2 ， ac2 b 2 知道直角三角形一邊，可另外兩邊之

2、間的數(shù)量關(guān)系可運(yùn)用勾股定理解決一些問題.勾股定理的逆定理如果三角形三邊長 a ， b ， c 滿足 a2b2c2，那這個(gè)三角形是直角三角形，其中c 為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形 ”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和a 2b2 與較長邊的平方 c2 作比較，若它們相等時(shí)，以a ， b ， c 為三邊的三角形是直角三角形；若a 2b 2c2，時(shí)，以 a ， b ， c 為三邊的三角形是鈍角三角形；若 a 2b2c2，時(shí)，以a ， b ， c 為三邊的三角形是銳角三角形；定理中a ， b ， c 及 a 2b 2c

3、2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a ， b ， c 滿足a2c2b2，那么以 a ， b ， c 為三邊的三角形是直角三角形，但是b 為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題 .勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得錯(cuò)誤的結(jié)論 .

4、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體通常既要通過逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決常見圖形：CCC30°ABADBBDA10、互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。二、經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例.在ABC中，C90 已知 AC6， BC8求 AB的長已知 AB 17， AC 15 ，求 BC 的長分析：直接應(yīng)用勾股定理 a 2b2c2題型二：利

5、用勾股定理測量長度例 1如果梯子的底端離建筑物9 米，那么 15 米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？例題2 如圖（ 8），水池中離岸邊 D點(diǎn) 1.5 米的 C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是 0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B 恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.題型三 ：勾股定理和逆定理并用例題 3如圖 3，正方形 ABCD中， E 是 BC邊上的中點(diǎn)， F 是 AB上一點(diǎn)，且FB1 AB 那么 DEF是直角三角形嗎？4題型四 ：利用勾股定理求線段長度例題 4 如圖 4，已知長方形ABCD中 AB=8cm,BC=10cm,在邊 CD上取一點(diǎn)E，將 ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊

6、上的點(diǎn) F，求 CE的長 .題型七 ：關(guān)于翻折問題例 1、如圖，矩形紙片 ABCD的邊 AB=10cm，BC=6cm，E 為 BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿 AE 折疊，點(diǎn) B 恰好落在 CD 邊上的點(diǎn) G 處，求 BE的長 .題型八 ：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：例 1、如圖，公路MN 和公路 PQ 在 P 點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A 處有一所中學(xué)，AP=160 米，點(diǎn) A 到公路 MN 的距離為80 米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100 米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN 上沿 PN 方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18 千米 /小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為

7、多少？1題型九 ：關(guān)于最短性問題例 5、如右圖119，壁虎在一座底面半徑為2 米，高為4 米的油罐的下底邊沿A 處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B 處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進(jìn)行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（ 取 3.14，結(jié)果保留1 位小數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算）（ 1）變式：如圖為一棱長為3cm 的正方體，把所有面都分為9 個(gè)小正方形，其邊長都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面 A 點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B 點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？

8、三、課后訓(xùn)練：一、填空題1如圖 (1)，在高 2 米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長至少需_。5.如圖是一個(gè)三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20dm、3dm、 2dm，A 和 B 是這個(gè)臺階兩個(gè)相對的端點(diǎn)，A 點(diǎn)有一只螞蟻，想到B 點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B 點(diǎn)最短路程是 _A2023B二、選擇題 1已知一個(gè) Rt的兩邊長分別為 3 和 4，則第三邊長的平方是（）A 、25B、 14C、 7D、7或 252Rt一直角邊的長為11，另兩邊為自然數(shù)，則 Rt的周長為（）A 、121B、120C、132D、不能確定3如果 Rt兩直角邊的比為5 12，則斜邊上的高與

9、斜邊的比為（）A 、6013B、512C、 12 13D、601694已知 RtABC 中， C=90°，若 a+b=14cm， c=10cm，則 RtABC 的面積是（）A 、24cm2B、 36cm2C、48cm2D、60cm25等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，則三角形的面積為（）A 、56B、48C、40D、 326某市在舊城改造中，計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價(jià) a 元，則購買這種草皮至少需要（）A 、450a 元B、 225a元C、 150a 元D 、300a 元20m30mAED150°第6題圖BCF7已知

10、，如圖長方形 ABCD 中， AB=3cm ， AD=9cm ，將此長方形折疊，使點(diǎn)B 與點(diǎn) D 重合，折痕為 EF ，則 ABE 的面積為（）A 、6cm2B 、 8cm2C、 10cm2D、 12cm28在 ABC 中， AB=15 ， AC=13 ，高 AD=12 ，則 ABC 的周長為 A 42B 32 C42 或 32D37 或 339. 如圖，正方形網(wǎng)格中的ABC ，若小方格邊長為 1，則 ABC 是 （）（ A ）直角三角形 (B) 銳角三角形(C)鈍角三角形(D) 以上答案都不對BCA三、計(jì)算1、如圖， A 、 B 是筆直公路l 同側(cè)的兩個(gè)村莊，且兩個(gè)村莊到直路的距離分別是30

11、0m 和 500m ，兩村莊之間的距離為d( 已知d2=400000m2) ，現(xiàn)要在公路上建一汽車?？空荆箖纱宓酵？空镜木嚯x之和最小。問最小是多少？BAl【勾股定理】勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。即：a 2 b2 c 2 。常見勾股數(shù)： 3、4、5； 6、 8、10；5、12、13；8、 15、 17； 7、 24、25。這個(gè)一定要牢記于心。考點(diǎn)一：勾股定理的直接應(yīng)用例 1. 正方形的面積是2，它的對角線長為（）A 、1B 、2C、 22D、2考點(diǎn)二：求第三條邊的長例 1 若 Rt ABC 中，C 90 且 c=37,a=12，則 b=（）A、50B、35C、34D、

12、26例 2已知兩線段的長為6cm 和 8cm，當(dāng)?shù)谌龡l線段取時(shí)，這三條線段能組成一個(gè)直角三角形。 （提示：所給的兩條變長不一定都為直角邊。）例 3 若一個(gè)直角三角形的三邊分別為a、 b、c,a2144,b225 , 則 c2（）A、169B 、 119C、169 或 119D、13 或 25考點(diǎn)三：與高、面積有關(guān)第7題圖2例 1 兩個(gè)直角邊分別是 3 和 4 的直角三角形斜邊上的高是例 2 等腰三角形的底邊為 10cm，周長為 36cm，則它的面積是 _cm2勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、 b、c 滿足 a 2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。判斷步驟：（ 1）比較 a、 b、c

13、 大小，找最長邊； （ 2）計(jì)算兩條短邊的平方和，看是否與最長邊的平方相等。例 1 木工師傅要做一個(gè)長方形桌面，做好后量得長為80cm，寬為 60cm，對角線為 100cm，則這個(gè)桌面。（填“合格”或“不合格” ）例 2 試判斷：三邊長分別是a2b2a2b2ab a b,2() 的三角形是不是直角三角形？【勾股定理習(xí)題】一、選擇題1、把直角三角形的兩直角邊均擴(kuò)大到原來的2 倍，則斜邊擴(kuò)大到原來的幾倍？（）A、2B 、4C 、3D 、 52、等腰 ABC的底邊 BC為 16，底邊上的高AD為 6，則腰長 AB的長為（）A10B.12C.15D.20二、填空題1、如果梯子底端離建筑物5m，那么 1

14、3m長的梯子可達(dá)到建筑物的高度是_m。2、如圖，一圓柱高8cm ，底面半徑 2cm ，一只螞蟻從點(diǎn) A 爬到點(diǎn) B 處吃食，要爬行的最短路程是cmBA4一個(gè)零件的形狀如圖，按規(guī)定這個(gè)零件的A與BDC 都要是直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：AD=4,AB=3,DC=12,BC=13,BD=5。這個(gè)零件符合要求嗎？CBAD教材過關(guān)十八勾股定理一、填空題1.一個(gè)直角三角形的三邊長是不大于10 的三個(gè)連續(xù)偶數(shù),則它的周長是 _.2.在 ABC 中, 若 AB=17,AC=8,BC=15, 則根據(jù) _可知 ACB=_.3.一座垂直于兩岸的橋長15 米 ,一艘小船自橋北頭出發(fā),向正南方向駛?cè)?因水流原因

15、,到達(dá)南岸后 ,發(fā)現(xiàn)已偏離橋南頭9 米 ,則小船實(shí)際行駛了_米.4.若三角形中相等的兩邊長為10 cm,第三邊長為16 cm,則第三邊上的高為_cm.5.如圖 8-41,矩形 ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,則這個(gè)矩形的面積為_cm2 .圖 8-41圖 8-426.等邊三角形的邊長為4,則其面積為 _.7.如圖 8-42,在高 3 米, 坡面線段距離AB 為 5 米的樓梯表面鋪地毯,則地毯長度至少需_米 .8.若c13 +|a-12|+(b-5) 2=0,則以 a、b、c 為三邊的三角形是 _三角形 .二、選擇題9.下列是勾股數(shù)的一組是A.4,5,6B.5,7,12C.12,13,

16、15D.21,28,3510.下列說法不正確的是A. 三個(gè)角的度數(shù)之比為1 34 的三角形是直角三角形B.三個(gè)角的度數(shù)之比為34 5 的三角形是直角三角形C.三邊長度之比為34 5 的三角形是直角三角形D.三邊長度之比為51213 的三角形是直角三角形11.一個(gè)圓桶底面直徑為24 cm,高 32 cm,則桶內(nèi)所能容下的最長木棒為A.20 cmB.50 cmC.40 cmD.45 cm12.一職工下班后以50 米 /分的速度騎自行車沿著東西馬路向東走了5.6 分 ,又沿南北馬路向南走了19.2 分到家 , 則他的家離公司距離為 _米.A.100B.500C.1 240D.1 000三 13.如圖

17、 8-43，在四邊形 ABCD 中 ,AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm, C=90 ° .(1)求 BD 的長 ; (2)當(dāng) AD 為多少時(shí) , ABD=90 °圖 8-4414.有一塊土地形狀如圖8-44 所示 , B= D=90 °,AB=20 米,BC=15 米 ,CD=7 米,請計(jì)算這塊地的面積.15.甲、乙兩船上午 11 時(shí)同時(shí)從港口 A 出發(fā) ,甲船以每小時(shí) 20 海里的速度向東北方向航行 ,乙船以每小時(shí) 15 海里的速度向東南方向航行 ,求下午 1 時(shí)兩船之間的距離 .32011 年各地中考數(shù)學(xué)試題匯編直角三角形與勾股定理一、選擇題1

18、.（ 2011 山東濱州， 9， 3 分）在 ABC中 , C=90° , C=72°,AB=10, 則邊 AC的長約為 ( 精確到 0.1) （）A.9.1B.9.5C.3.1D.3.54. 如圖， ABC中， C=90°， AC=3， B=30°，點(diǎn) P 是 BC邊上的動點(diǎn)，則AP 長不可能是（第 4 題圖）（A） 3.5（B） 4.2（C）5.8（D） 76.（2011 河北， 9， 3 分）如圖 3，在 ABC中， C=90°， BC=6,D,E 分別在 AB,AC上，將 ABC沿 DE折疊，使點(diǎn)7.A 落在點(diǎn) A處，若 A為 CE的中

19、點(diǎn)，則折痕 DE的長為（）A1C3D4B 22BDCA'EA圖 3二、填空題1.（ 2011 山東德州 13,4 分）下列命題中，其逆 命題成立的是 _（只填寫序號）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等；4. 把命題“如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、 b，斜邊長為c ，那么 a2b2c2 ”的逆命題改寫成“如果 ，那么 ”的形式：7.（ 2011貴州安順， 16，4分）如圖，在 Rt ABC中， C=90°， BC=6cm， AC=8cm，按圖中所示方法將BCD沿BD折疊，使點(diǎn) C落在 AB邊的 C點(diǎn)，那么 ADC的面積是8.（ 2011山東棗莊， 15，4 分）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若AB =14cm，則陰影部分的面積是_cm2 .三、解答題1.（ 2011四川廣安， 28，10 分）某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造測得兩直角邊長為6m、 8m.現(xiàn)要將其擴(kuò)建成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的