高等數(shù)學D25函數(shù)的微分ppt課件

1、二、微分運算法則二、微分運算法則三、微分在近似計算中的應用三、微分在近似計算中的應用第五節(jié)一、微分的概念一、微分的概念 函數(shù)的微分 第二章 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少? 設薄片邊長為 x , 面積為 A , 那么,2xA 0 xx面積的增量為2020)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x關于x 的線性主部高階無窮小0 x時為故xxA02稱為函數(shù)在 的微分0 x當 x 在0 x取得增量x時,0 x變到,0 xx邊長由其的微分,定義定義: 若函數(shù)若函數(shù))(xfy

2、在點 的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù))(xfy 而 稱為xA在)(xf0 x點記作yd,df或即xAyd定理定理: 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點 可微的充要條件是0 x處可導，在點0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即xxfy)(d0在點0 x可微可微,定理定理 : 函數(shù)函數(shù)證證: “必要性必要性” 知)(xfy 在點 可微 ,0 x那么)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在點 可導,0 x且)(xfy 在點 可微的充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導,0

3、x且, )(0 xfA即xxfy)(d0定理定理 : 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點 可微的充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf即xxfy)(d0在點 可導,0 x那么線性主部的此項為時yxf0)(0說明說明:0)(0 xf時 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x時yyd很小時, 有近似公式xyyd與是等價無窮小,當故當微分的幾何意義x

4、xfy)(d0 xx0 xyO)(xfy 0 xyydxtan當 很小時,xyyd時，當xy 則有xxfyd)(d從而)(ddxfxy導數(shù)也叫作微商切線縱坐標的增量自變量的微分自變量的微分,為稱 x記作xdxyxd記例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctan xy ydxxd112基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P116表)又如又如,二、二、 微分運算法則微分運算法則設 u(x) , v(x) 均可微 , 那么)(d. 1vu )(d. 2uC(C 為常數(shù))(d. 3vu)0()(d. 4vvu分別可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分

5、為xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不變微分形式不變5. 復合函數(shù)的微分則復合函數(shù)vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv例例1., )e1(ln2xy求 .dy解解:2e11dxy)e1(d2x2e11x)(d2xxxxxd2ee1122xxxxde1e2222ex例例2. 設設,0)cos(sinyxxy求 .dy解解: 利用一階微分形式不變性利用一階微分形式不變性 , 有有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3. 在下列括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)

6、使等式成立在下列括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(221xtsin1說明說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.CC數(shù)學中的反問題往往出現(xiàn)多值性.)( 為任意常數(shù)C注注)(22 44)(22)(4sin22)sin(2k224數(shù)學中的反問題往往出現(xiàn)多值性 , 例如 三、三、 微分在近似計算中的應用微分在近似計算中的應用)()(0 xoxxfy當x很小時,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原則使用原則:;)(, )() 100好算xfxf.)20

7、靠近與xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:特別當xx,00很小時,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(3) exxtan)4( )1ln()5(x證明證明: 令)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小時當 xxx1)1 (180dx29sin的近似值 .解解: 設設,sin)(xxf取300 x,629x那么1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(例例4. 求求29sin4848. 029sin5245的近似值 .解解:24335524551)22

8、43(51)24321(33)2432511(004938. 3例例5. 計算計算xx1)1 (004942. 32455內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分概念 微分的定義及幾何意義 可微可導2. 微分運算法則微分形式不變性 :uufufd)()(d( u 是自變量或中間變量 )3. 微分的應用近似計算估計誤差思考與練習思考與練習1. 設函數(shù))(xfy 的圖形如下, 試在圖中標出的點0 x處的yy ,d及,dyy 并說明其正負 .yd0 xx00 xxyOy00yyd2.xxed)d(arctane x2e11xd xx2e1exxsindtand. 3x3secxxd2sin) (d. 4Cx2cos215. 設)(xyy 由方程063sin33yxyx確定,.d0 xy解解: 方程兩邊求微分, 得xx d32當0 x時,0y由上式得xyxd21d0求yy d32xxd3cos30d6y6. 設 ,0a且,nab 那么nnba1nanba1. 知, )1sinarcsin(2xy 求.d y解：因為解：因為 y所以yd22)1(sin11xx1sin2x1cos)1