線性代數(shù)試題及答案

1、線性代第一部分選擇題（共28分）、單項選擇題（本大題共14小題，每小題 2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯選或未選均無分。1.設(shè)行列式A. m+naiia12a13 a11a 212.設(shè)矩陣A =B.10a 22-(m+n)a 23 a 21C. n- m二n,則行列式D. m-aiia2iai2a 22ai3a23，則A-1等于（10030101002CA. 03.設(shè)矩陣的伴隨矩陣,中位于（1,的元素是（ B ）A. -6B. 6C. 24.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式A. A =0 B. B C 時 A=0D. 2AB =AC ,

2、則必有(C. A 0 時 B=CD )D. |A| 0 時 B = C5.已知3X4矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則秩（ AT）等于（C ）A. 1 B.26.設(shè)兩個向量組 A.有不全為 B.有不全為 C.有不全為 D.有不全為C. 3a 1, a 2, ,0的數(shù)入1, 0的數(shù)入1, 0的數(shù)入1,0的數(shù)入1,D. 42,2,2,入2, , s3a s和3 1, 3 2,，3 s均線性相關(guān)，則（s使入1 a 1+入2 a 2+入sa s=0和入1 3 1+入2j3 2+入sj3 s=0s使入1 （s使入1 （1+31) + 入2 (a 2+3 2)1- 3 1) + 入 2 ( a 2- 3 2)和

3、不全為0的數(shù)（11, （1 2, ,+ - + Xs(as+3s) =0+ + + 入 s (as- 3 s) =0s 使入 1a1+X2a2+,+Xsa s=07 .設(shè)矩陣A的秩為r,則A中（CA.所有r- 1階子式都不為0C.至少有一個r階子式不等于08 .設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，9 .所有r- 1階子式全為D.所有r階子式都不為刀2是其任意2個解，則下列結(jié)論錯誤的是（A.刀1+打2是Ax=0的一個解C.刀1-刀2是Ax=0的一個解9.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（A.秩（A）n B.秩（A 尸n- 1AC.A=0B. - r 1+ - r 2 是 Ax=b 的一個解D.2 r1 1

4、- r 2 是 Ax=b 的一個解)D.方程組Ax=0只有零解10.設(shè)A是一個n（3）階方陣，下列陳述中正確的是（A.如存在數(shù)入和向量 a使Aa=X a ,則a是A的屬于特征值入的特征向量B.如存在數(shù)入和非零向量a,使（入E-A）a=0,則入是A的特征值C.A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量D.如入1,入2,入3是A的3個互不相同的特征值，a 1, a 2, a 3依次是 A的屬于入1,入2,入3的特征向量，則a 1, a 2, a 3有可能線性相關(guān)11 .設(shè)入0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于入0的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)為k,則必有（A ）A. k 3 B. k312 .設(shè)A是正

5、交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（A.|A|2必為1B.|A|必為1C.A-1=AtD.A的行(列)向量組是正交單位向量組13 .設(shè)A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CTAC4U ( D )D. A與B合同A.A與B相似 B. A與B不等價 C. A與B有相同的特征值14 .下列矩陣中是正定矩陣的為(C )2 A.3B.100C. 0 231 1 1D. 1 2 00351 0 2第二部分非選擇題(共72分)、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯填或不填均無分。11115 . 35669253611 112 316 .設(shè) A=, B=.則

6、 A+2B =1 1112 417 .設(shè) A=(aj)3 x 3 ,|A|=2 , Aj表示|A|中元素 aj的代數(shù)余子式 (i,j=1,2,3 ),則(ailA 2l+a12A 22+a13A23)2+(a21A2l+a22A22 + a23A23)2+(a31A 2l + a32A 22+a33A23)2=4.18 .設(shè)向量(2,-3, 5)與向量(-4, 6, a)線性相關(guān)，則 a= -10.19 .設(shè)A是3X4矩陣，其秩為3,若刀1,刀2為非齊次線性方程組 Ax=b的2個不同的解，則它的通解為刀1+C(刀2-刀1)(或刀2+C( Y 2-刀1), c為任意常數(shù)20 .設(shè)A是mXn矩陣，

7、A的秩為r(n),則齊次線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系中含有解的個數(shù)為n-1.21 .設(shè)向量a、3的長度依次為2和3,則向量a + 3與a - 3的內(nèi)積(a + 3 , a - 3 ) =-5.22 .設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8,已知A有2個特征值-1和4,則另一特征值為-2.0 106223 .設(shè)矩陣A= 133 ,已知a=1是它的一個特征向量，則 a所對應的特征值為.2 108224 .設(shè)實二次型f(Xl,X2,X3,X4,X5)的秩為4,正慣性指數(shù)為3,則其規(guī)范形為 Z2 Z2 Z2 Z2.三、計算題(本大題共 7小題，每小題6分，共42分)125.設(shè) A= 312 02 31.4

8、 0 , B=.求(1) ABT； (2) |4A.2 4 02 13一、 526 .試計算行列式 214 227 .設(shè)矩陣A= 111 2112134.0115 3330 ,求矩陣B使其滿足矩陣方程 AB=A+2B.32130130128.給定向量組a i=, 民2=, 民3=,a 4=.02243419試判斷a 4是否為a i, a 2,a 3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。29.設(shè)矩陣A =求：（1）秩30.設(shè)矩陣A= 22(A);2343(2)A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。24的全部特征值為1, 1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D,使T-1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為

9、標準形f（X1,X2,X3）= x2 2x2 3x3 4x1X2 4x1x3 4x2X3 ,并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共 2小題，每小題5分，共10分）32.設(shè)方陣A滿足A3=0,試證明E- A可逆，且（E- A）33.設(shè) Y)(1)(2)答案:0是非齊次線性方程組 Ax=b的一個特解，E 1, 刀1 二刀0+ E 1,刀2二打0+22均是Ax=b的解； T 0, T 1 ,42線性無關(guān)。-1=E+A+A2.W 2是其導出組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系.試證明一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10

10、.B 11.A28分)12.B 13.D 14.C二、填空題（本大題共33715. 616.13 710空，每空2分，共20分）17.4 18. -1019. Y 1 + C( Y 2Y 1)(或 Y 2+C( Y 2- Y 1) , C 為任意常數(shù)20. n- r 21. -5 22.三、計算題（本大題共1t2 23. 17小題,24. z2每小題222Z2 Z36分，共2Z442分)25.解(1) ABT= 31183101026.解27.解(2) |4A|二43|A|=64|A|,而 |A|=2 .所以 14A |=64 -(-2)=-12828.解一352111051313511051

11、10513131100AB =A+2B 即(A-2E) -1所以(A-2E)B=A,1B=(A- 2E)-1A =115301040.8696129322130053210351035130113010112011202240112008800113419013112001414000016412321,所以a 4=21a 1+ a 2+ a 3,組合系數(shù)為(2, 1,1)解二考慮a 4=X1 a1 +X2 a 2+X3 a 3, 即29.解方程組有唯一解（2, 1, 對矩陣A施行初等行變換1)2x1 x2 x 1 3x2 2X2 2X3 3x1 4x2 組合系數(shù)為(3X3 014X32,9.

12、1, 1).30.解31.解(1)秩 由于1210212102121020006203283032830328200062000310963200021700000(B)=3，所以秩（A）=秩(B)=3.=B.A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系,B是階梯形,而B量組的一個最大線性無關(guān)組，故 A的第1、2、的第1、2、4列是B的列向4列是A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。（A的第1、2、5列或1、3、4歹U,或1、3、5列也是）A的屬于特征值入E 1= （2, - 1, 0）=1T,經(jīng)正交標準化，得經(jīng)單位化得Y 3=1對角矩陣 D= 00的2個線性無關(guān)的特征向量為E 2= (2, 2.5/5刀 1

13、=5/500, 1) T1/32 / 3 .所求正交矩陣為2/300 .(也可取T=f(X1, X2, X3)=(X1+2X2- 2X3) =(X1 +2X2- 2X3)y1 X12X22X3X2X3 ，y3故此線性變換滿秩。2.5/152= 475/15 .入=-8的一個特征向量為 .5/3T=25/5 ,5/502.5/505/52,15/154,5/15.5/32.15/15.5/34 5/151/32/32/32- 2X22+4X2X3- 7X322- 2(X2-X3)2- 5X32.X1y1X2X3X3經(jīng)此變換即得2y2y2 y3f(X1 ,四、證明題（本大題共 2小題，每小題5分，共32 .證 由于（E-A） （E+A+A2） =E-A3=E, 所以E- A可逆，且（E- A） - 1= E+A+A2 .33 .證 由假設(shè) A y 0=b, A E 1=0, A W 2=0.,因其系數(shù)矩陣y31/32/3 .2/3X2, X3)的標準形 y12-2y22-5y32 .10分)(1) A r 1=A (刀 0+ E 1) =A r1