專題2立方和公式、和(差)的立方公式(必講)(張俊)

1、For personal use only in study and research; not forcommercial use專題二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式:（1）平方差公式2 2(a b)(a -b) =a -b ；）完全平方公式（a _ b）2二a2 _ 2ab - b2。我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式（2）立方差公式（3）三數(shù)和平方公式（4）兩數(shù)和立方公式（5）兩數(shù)差立方公式2233(a b)(a -ab b Ha b ；(a _ b)(a2 ab b2) = a3 _ b3 ；2 2 2 2(a b c

2、)二 a bc2(ab bc ac)；(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3 ；(a - b)3 二 a3 - 3a2b 3ab2 - b3。對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明。反過(guò)來(lái)，就可以利用上述公式對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。例1計(jì)算:2(1) (32y)(9 -6y 4y )；1 51(2) (5xy)(2 5x2xyy2)；42(3) (2x 1)(4x 2x 1)。分析：兩項(xiàng)式與三項(xiàng)式相乘，先觀察其是否滿足立方和（差）公式，然后再計(jì)算 解: （ 1）原式=33 （2y）27 8y3 ；313313（2）原式=（5x） -（ y） =125x y ；2 8（3） 原

3、式=8x3 4x2 2x 4x2 2x 1 =8x3 8x2 4x 1。說(shuō)明：第（1）、（ 2）兩題直接利用公式計(jì)算.第（3）題不能直接利用公式計(jì)算，只好用多項(xiàng) 式乘法法則計(jì)算，若將此題第一個(gè)因式中“+T改成“-1 ”則利用公式計(jì)算；若將第二個(gè)因式中“，2x ”改成“ -2x ”則利用公式計(jì)算；若將第二個(gè)因式 中“，2x ”改成“ ，4x ”, 可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式計(jì)算(2x 1)(2x 1)2 =(2x 1)3 =(2x)3 3(2x)2 1 3(2 R 1 2 1 3 =8 x3 12 x2 6 x 1。例2計(jì)算：(1) (x3 -1)(x6 x3 1)(x9

4、1)；(2) (X 1)(x-1)(x2 - x 1)(x2 -X 1)；(3) (x 2y)2(x2 -2xy 4y2)2 ；分析：禾U用乘法的交換律、積的乘方，找出滿足立方和（差）的兩個(gè)因式，是計(jì)算的關(guān)鍵.解: （1）原式工（X9 1）（x91）=X18 1 ；（2）解法一：原式珂（x1）（X2X 1）（X 1）（X2x 1） =（X31）（x3-1）-1 ；2 2解法二：原式 =（x 1）（x-1）（x1）x（ x 1）-x(3)原式=(x 2y)(x2 -2xy 4y2)2=x616x3y3 64 y6。說(shuō)明：第（2）、（ 3）題往往先用立方和（差）公式計(jì)算簡(jiǎn)捷.相反，如第（2）題的第

5、二種解法就比較麻煩.（1）（2）（3）分析:因式。例3因式分解：x3y3 125 ；a -27 a4 ；6 6x - y。對(duì)照立方和（差）公式，正確找出對(duì)應(yīng)的a,b是解題關(guān)鍵，然后再利用立方公式分解解：（1）原式=（xy）3 53 = （xy 5）（x2y2 -5xy 25）；3332(2)原式二 a(1 -27a ) =a1 -(3a)二 a(1 - 3a)(1 3a 9a )（3）原式= （x3）2 -（y3）2 =（X3 y3）（x3 -y3） =（x y）（x2 -xy y2）（x- y）（x2 xy y2）。說(shuō)明：我們可嘗試一下，第（3）題先用立方差公式分解就比較復(fù)雜，會(huì)導(dǎo)致有的同學(xué)

6、分解不 徹底。例4設(shè)x y = 5, xy - -1 ,試求x3 y3的值。分析：對(duì)于立方和公式 a3 b3 =（a，b）（a2 -ab b2），我們不難把它變成: a3 b3 =(a b)(a b)2 _3ab，即 a3 b3 二 a b )3-3b a b )，再應(yīng)用兩數(shù)和、 兩數(shù)積解題較為方便。解：x3 y3 =(x y)3 -3xy(x y) =53 -3 (-1) 5 =140。說(shuō)明：立方和(差)與和(差)的立方之間可以相互轉(zhuǎn)化。322223例5 如果 ABC的三邊a, b,c滿足a - a b ab - ac bc -b = 0 ,試判斷 ABC的 形狀。分析：直接看不出三角形邊之

7、間的關(guān)系，可把左邊的多項(xiàng)式分解因式，變形后再找出三角形三邊之間的關(guān)系。解: 因?yàn)?a3 -a2b ab2 -ac2 be2 -b3 二 0，所以 a3 -b3 (-a2b ab2) (-ac2 be2) =0 ,即(a -b)(a2 ab b2) -ab(a -b) -c2(a -b) = 0 ,(a -b)(a2 b2 -c2) = 0 ,所以 a = b 或 a2 b2 =c2，因此 ABC是等腰三角形或直角三角形 .說(shuō)明：此類題型，通常是把等式一邊化為零，另一邊利用因式分解進(jìn)行恒等變形練習(xí)1. 計(jì)算：2(1) (4a)(16 -4a a )；(2) (2ab)(4a2 ?ab 丄b2)；

8、3 39(3) ( -x -1)(x2 -x 1)；(4) x(x -2)2 -(x2 -2x 4)(x 2)。2. 計(jì)算：(1) (x 2)(x -2)2(x2 -2x - 4)(x2 2x 4)；(2) (2x 3y)3 ；(3) (5 -b)3 ；3(4) (m -1)3(m2 m 1)3。3.分解因式:(1)33(2 x 1) x(2)27x3 -8y3 ；(3)3132x3- y3 ；4(4)m6 - 64。4.化簡(jiǎn):a -b a a -b、b oa -、b a 、ab b5若 a b c = 0 ,求證：a3 a2c b2c - abc b3 = 0。6. (1)已知 m n =

9、-2，求 m3 n3 -6mn 的值；(2) 已知：xy=1,求 x3y3 -3xy 的值.37. 已知兩個(gè)正方體，其棱長(zhǎng)之總和為48cm,體積之和為28cm ,求兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng).8. 已知 a b =1，求 a3 - 3ab - b3 的值。9. 已知 a -b =2, ab =48，求 a4 b4 的值。10. 已知實(shí)數(shù) a, b,c滿足 abc 0, a b c = 1,a2 b2 c 2, a3 b3 c3，求 abc的值。答案：3313321 (1) 64 a ； (2) 8a b ； (3) -x -1 ； (4) -4x 4x-8。 272. (1) x6 -64 ；(2) 8

10、x3 36x2y 54xy2 27 y3 ；51(3) 125 -25b -b2 b3 ； (4) m9 - 3m6 3m3 -1。3273. ( 1) (3x 1)(3x2 3x 1) ；(2) (3x-2y)(9x2 6xy 4y2)；(3)丄(2 x - y)(4 x2 2xy y2) ； (4) (m 2)( m - 2)(m2 - 2m 4)( m2 2m 4)。 44. 2 . b5. 提示：a3 a2c b2c - abc b3 = (a b c)(a2 - ab b2) = 0。6. ( 1) -8 (2) 17.兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)分別為1cm和3cm.8.19.539210.（興化市第一中學(xué)張?。﹥H供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherch