第6講.幾何問題之角平分線題型Ⅱ(教師)

1、第六講.幾何問題之角平分線題型口【教學(xué)目標(biāo)】1 .掌握角平分線的性質(zhì)和判定；2 .綜合應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決相關(guān)問題；3 .綜合應(yīng)用垂直平分線、等腰三角形、四邊形等知識解決相關(guān)問題;4 .學(xué)習(xí)分析問題、解決問題的能力?！局R、方法梳理】：1 .基礎(chǔ)知識點：1 .角的平分線分得的兩個角相等；2 .到一個角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上；3 .在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點， 在這個角的平分線上。 三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三邊的距離相等（這個交點叫做三角形的內(nèi)心 ）；4 .三角形的內(nèi)心與角頂點的連線平分這個角；5 .等腰三角形底邊上的高（或中線）平分頂角（

2、三線合一）。2 .角平分線定理使用中的幾種輔助線作法：1 .已知角平分線，構(gòu)造全等三角形；2 .已知一個點到角的一邊的距離，過這個點作另一邊的垂線段；3 .已知角平分線和其上面的一點，過這一點作角的兩邊的垂線段。3 .角平分線性質(zhì)定理之聯(lián)想：1 .由角平分線的性質(zhì)聯(lián)想兩線段相等；2 .由角平分線的軸對稱性構(gòu)造全等三角形；3 .過角平分線上一點作一邊的平行線，構(gòu)成等腰三角形?！镜淅v】模塊二.角平分線+垂線，角平分線+平行線，等腰三角形要呈現(xiàn)。 基本圖形例1.如圖，AD是 BAC的平分線，DE AB于E , DF AC于F ,且DB DC。求證：BE CFE【證明】：. AD是 BAC的平分線

3、，DE AB于E , DF ACDE DF又 DB DC BDEW CDF BE CF例2.在梯形ABCD中,AD/ BC , DB是 ABC的平分線，求證:AB AD o【證明】：.DB是 ABC的平分線 ABDCDB. AD/ BC CDBADBABD ADB AB AD例3.如圖1, OP是 MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以 OP所在直線為對稱軸的 全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：(1)如圖2,在 ABC中， ACB是直角， B 60 , AD、CE分別是 BAC、 BCA 的平分線，AD、CE相交于點F .請你判斷并寫出 FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(2)

4、如圖3,在 ABC中，如果 ACB不是直角，而(1)中的其他條件不變，請問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。圖3【解答】：圖略.(1) FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為 FE FD .(2)答：(1)中的結(jié)論FE FD仍然成立.證法一：如圖4,在AC上截取AG AE ,連接FG .2 12 , AF為公共邊，AEF AGF .AFE AFG , FE FG .由 B 60 , AD、CE分別是 BAC、 BCA的平分線，可得 23 60AFE CFD AFG 60 .CFG 60 .由 34及FC為公共邊，可得 CFG CFD .FG FDFE FD證法二：如

5、圖5,過點F分另IJ作FG AB于點G , FH BC于點H3 B 600,且AD、CE分別是 BAC、 BCA的平分線，23 60 , F是ABC的內(nèi)心.GEF 601 , FG FH .HDF B 1 ,GEF HDF .因此可證 EGF DHF . FE FD。例4.已知：如圖， AD是 ABC的角平分線， AD的垂直平分線分別交線于點F、E。求證：(1) EAD EDA, FAD FDA; (2) DF/AC ；(3)AB、BC的延長EAC B ?！咀C明】：(1) ; EF垂直平分AD. EA ED , FA FDEAD EDA, FAD FDA(2) AD是 ABC的角平分線BAD

6、CADEAD CAD. DF / AC(3) 在 ABD 中， ADE B BADB ADE BADEAD ADE, BAD CADB ADE BADEAD CAD EAC即：EAC B例5.已知：如圖，在Rt ABC中,BAC 90°, AD是BC邊上的高，AE、AF分別是 BAC的平分線、BC邊上的中線.求證：DAE EAF。【證明】：: 在Rt ABC中， BAC 90°, AD是BC邊上的高B C B BAD 90°C BAD AF是BC邊上的中線-1 -AF FC BC2C FACBAD FACAE是 BAC的平分線一 1 一BAE CAE - BAC2

7、BAE BAD CAE FAC即： DAE EAF例6.如圖所示，在 ABCC中， ABC 3 C,AD是 BAC的平分線，BE AD于F。1求證：BE (AC AB) 2AC【證明】：延長BE交AC于點F。角是軸對稱圖形，對稱軸是角的平分線所在的直線，. . AD為 BAC的對稱軸，又 BE AD 于 F ,，點B和點F關(guān)于AD對稱，1BE FE BF , AB AF , ABF AFB。 2. ABF FBC 3 C,ABF AFB FBC C,FBC C FBC 3 C , FBC C ,所以 FB FC ,1 11BE-FC-(AC AF) -(AC AB),2 223 -BE(ACA

8、B)。4例7.如圖，在 ABC中,C 90o, CA CB , AD 平分 BAC , BE AD 于點 E 。求證：AD 2BE。分別延長AC、 AD 平分 BACFAE BAE BE ADAEF AEBAEF與AEB中FAEAEAEFBAEAEAEB例8.已知:AEF AEBEFBFEB2BE90oBAFCDACADACD與ACDAD BFACD90oF 90°,CBFBCF中BCF2BE如圖，在四邊形中,CBFCADACACDBCF 90oCBF （已證）,BC £ 隆,AB , ADCDBD平分 ABC .求證:E圖1BA、BC的垂線，垂足分別為 E、F .A C1

9、80°.【證明】：證法一：如圖1,過Q BD平分， DE DF .Q AD DCRt ADEEADQ BADD點分別作ABC,Rt CDFHL .EAD 180°,BAD C 180°.180°.證法二：如圖2,在BC上截取BE AB,連接DE ,Q AB EB, ABD EBD, BD BD , ABD EBD.A BED , AD ED .QAD CD, ED CD. C DEC .A C BED DEC 180o.證法三：如圖3,延長BA到E ,使BE BC ,連接ED. Q BD BD, EBD CBD , BE BC ,BDE BDC .E C

10、 , ED CD. QAD CD , AD ED,E DAE, A DAE.BAD C BAD DAE 180o.?點評：本題證明兩角和等于， 實際是證明一個角是另一個角的鄰補角.很多證明線段、角關(guān)系的問題，往往是證線段、角相等 .而證明兩個三角形全等，是證兩線段、角相等的重要方法，有時要通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形，將角或線段相對轉(zhuǎn)移，使問題得以解決。例9.在平行四邊形 ABCD中， BAD的平分線交直線 BC于點E ,交直線DC于點F。 (1)在圖1中證明CE CF ;(2)若 ABC 90°, G是EF的中點(如圖2),直接寫出BDG的度數(shù)；(3)若 ABC 120°

11、, FG / CE, FG CE ,分別連接 DB、DG (如圖 4),求 BDG的度數(shù)?！咀C明】：(1)證明：Q AF平分 BAD,BAF DAF.Q四邊形ABCD是平行四邊形，AD / BC, AB / CD.DAF CEF, BAF F.CEF F .CE CF .(2) BDG 45o(3)解：分別連接GB、GE、GC,如圖4QAB/DC, ABC 1200,ECF ABC 120°,QFG / CE 且 FG CE, 四邊形CEGF是平行四邊形.由(1)得CE CF , 四邊形CEGF是菱形.1 °EG EC, GCF GCE ECF 60°.2ECG是

12、等邊三角形.EG CG,GEC EGC 60°.EGC GCF . BEG DCG . 由AD / BC及AF平分 BAD可得 BAE AEB.AB BE.在平行四邊形 ABCD中，AB DC .BE DC .由得 BEGDCG .BG DG, 12.BGD 1323 EGC 60°.BDG180°BGD2°60 .【雙基訓(xùn)練】1 .已知：如圖，ABC中，1(1)如圖，若點 P是 ABC和 ACB的角平分線的交點，則P 90 - A2(2)如圖，若點 P是 ABC和外角 ACE的角平分線的交點，則P 90 A1(3)如圖，點P是外角 CBD和外角 BCE

13、的角平分線的交點，則 P 90- A2上述說法正確的個數(shù)是()A、0個 B 、1個 C 、2個 D 、3個A2.如圖,且OE已知AB/ CD2,則兩平行線。為 A、 C的平分線的交點, AB, CD之間的距離等于OE3.如圖,已知 AB是 DAC的平分線，AC AD ,求證:4?！究v向應(yīng)用】4 .如圖，以 ABC的AB、AC為邊向外作等邊 ABD和 ACE ,聯(lián)結(jié)DC、BE相交于 點 O,聯(lián)結(jié) AD、AE。求證： AOD AOE。5 .在梯形ABCD中，AB/ CD, DB是 ADC的平分線，過點A作AE/BD ,交CD的延長線于點E,且 C 2 E。求證：梯形 ABCD是等腰梯形。6 .如圖

14、示，CE, BF分別是銳角 ABC的 ACB, ABC的平分線，AF BF于F ,1 一 一一AE CE于 E。試說明：(1) EF / BC ；(2) EF (AB AC BC).27 .已知：如圖， AB 2AC, BAD CAD, DA DB ,求證：DC AC。【橫向拓展】8 .已知：如圖，BAD CAD, AB AC, CD AD于點D , H是BC中點.1求證：DH 1 AB AC .2DCH練習(xí)題答案【雙基訓(xùn)練】1 .【答案】：(1)2 .【答案】43 .證明：AB是1 AB(3)正確，選CDAC的平分線2AB, AC AD ABC ABD .ABC ABD又.3 180o- A

15、BC ,4 180o- ABD. 34【縱向應(yīng)用】4.【證明：過 A作AG DC , AH BE,垂足為G、H , ABD為等邊三角形，AD AB , DAB 60o ACE為等邊三角形，AE AC , EAC 60o DAB BAC EAC BAC ,即 DAC BAEAD AE在 DAC 和 BAE 中： DAC BAEAC AEDAC BAE （ SAS） ,：. DC BE AG AH （全等三角形對應(yīng)邊上的高相等）， AOD AOE （到角兩邊距離相等的點在角的平分線上）5 .【證明】：. DB平分 ADC ADC 2 BDC AE/ BDBDC E又 ADC 2 EADC C 得證6 .【提示】：由于BF是角平分線，且AF BF ,所以延長AF交BC于N ,則有