不等關系與不等式(20210120054523)

1、全國名校高考數學復習一輪精品優(yōu)質學案匯編（附詳解）第二章不等式不等關系與不等式【考情分析】了解現實世界和日常生活中的不等關系；了解不等式 （組）的實際背景；掌握不等式的性質及應用?！局R清單 不等式的性質(1)對稱性：a>b? bva;（2）傳遞性：a>b，b>c? a>C； 不等式的基本性質1: a>b? a+c>b+ c;推論1移項法則;推論 2 a>b，c>d? a + c>b + d; 不等式的基本性質2： a>b, c>0? ac>bc;推論 1a>b>0, c>d>0? ac>bd

2、;推論 2 (1)a>b>0? an>bn(n N, n1) (2) a>b>0?需 >肺(n N, nA 2)【課前預習】1.若-1蘭m蘭2，則1 -2m的取值范圍是答案：-3,3 解析：由-1<m<2得，T<-2m<2，所以-3蘭1-2m蘭3 .2.設 a= 2/5, b=V5 2, c= 5 2/5,貝J a, b, c 之間的大小關 系為.【答案】c> b> a【解析】a= 2 /5 =曲/5v0,所以 b>0.c= 5-何>0.b c= 35 7 = V45倔V0.所以 c>b>a.3.用

3、一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18x m,其中的不rX)m,即(15 2丿m,m,要求菜園的面積不小于216 m2,靠墻的一邊長為等關系可用不等式（組）表示為f0<x< 18答案：x(15-牛 21630 X解析：矩形靠墻的一邊長為X m,則另一邊長為2f0<x<18根據題意知4 f x IxR 2尸 216.4若 X H2 且 y H -1 , M =x2 +y2 -4x +2y , N=_5，貝J M 與 N 的大小關系【答案】M >N【解析】M -N =x2 +y2 4x+2y(-5) =(x 2)2 + (y+1：2.又 x 工2

4、且 y H 1，所以X-2H0，且 y+ 1H0，所以 M>N.5.如圖所示的兩種廣告牌，其中圖（1）是由兩個等腰直角三角形構成 的，圖（2）是一個矩形，從圖形上確定這兩個廣告牌面積的大小關系， 并將這種關系用含字母a, b（a和）的不等式表示出來(1)1答案：2(a2 + b2) > ab解析：（1）中面積顯然比 尢又（1）的面積S1=a2+2b2=（a2 + b2）, 的面積S2= ab,所以有2(a2 + b2)>ab.【典型例題】 目標1用不等式（組）表示不等關系 例1某商店出售茶壺和茶杯，茶壺每個定價20元，茶杯每個定價5 元，該店推出兩種優(yōu)惠方法：（1）買一個茶壺

5、贈送一個茶杯；（2）按總 價的92%付款.某顧客需購茶壺4個，茶杯若干個（不少于4個），若設購買茶杯數為X,付款數為y,試分別建立兩種優(yōu)惠方法下的y與x之間的函數關系式，并討論該顧客買同樣多的茶杯時，兩種辦法哪一種更省錢.解析：由優(yōu)惠方法(1)得 yi = 20M + 5(x4) =5x + 60 (x>4)由優(yōu)惠方法得 y2= (5x + 20>4) >92%= 4.6x + 73.6 (x>4)y1 y2= 0.4x 13.6 (x> 4)令 y1 y2=0,得 x = 34.所以當購買34只茶杯時，兩種優(yōu)惠方法付款相同;當4$v34時，y1<y2，方法

6、（1）省錢;當x>34時，yi>y2，方法（2）省錢.【規(guī)律方法】對于用不等式表示的問題，關鍵是理解題意，分清變化前后的各種量, 得出相應的代數式，然后，用不等式表示.而對于涉及條件較多的實 際問題，則往往需列不等式組解決.【拓展訓練】已知甲、乙兩種食物的維生素 A, B含量如下表:甲乙維生素A（單位/kg）600700維生素B（單位/kg）800400設用甲、乙兩種食物各xkg, ykg配成至多100kg的混合食物，并使混合食物內至少含有56000單位維生素A和62000單位維生素B,則X, y應滿足的所有不等關系為-X + y< 100答案'6x+ 7y>

7、560I 2x+ y> 155x>Q y>0目標2 比較大小已知實數 a、b、c滿足 b+ c= 6 4a+ 3a2, c b= 4 4a + a2,則a、b、c的大小關系是答案:解析:c b=4 4a+ a2= （2 a）2>0所以c為，已知兩式作差得 2b=2 + 2a2, 即卩 b= 1 + a2,因為 1 + a2 a= 6 2+4>0，所以 1 + a2>a，所以 b= 1 + a2>a，所以 cb>a.【借題發(fā)揮】 變式1 已知a、b、c是實數，試比較a2+ b2 + c2與ab+bc+ ca的大小.解析：a2+ b2 + c2 (a

8、b + bc+ ca) = (a b)2 + (b c)2+ (c a)2 >p當且僅當a= b = c時取等號，所以a2 + b2+ c2ab + bc+ ca.【規(guī)律方法】1作差法：一般步驟：作差；變形；定號； 下結論.其中關 鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或 者完全平方式.當兩個式子都為正數時，有時也可以先平方再作差.2.作商法：一般步驟：作商；變形；判斷商與 1的大小；下結論.3.函數的單調性法：將要比較的兩個數作為一個函數的兩個函數值, 根據函數單調性得出大小關系.【拓展訓練】1已知a R,試比較=a2解析：1a (1+a)=1a.a21當a= 0時

9、，11= °，所以仁=1+a. + a的大小.全國名校高考數學復習一輪精品優(yōu)質學案匯編(附詳解)a21當a< 1且aK時，1a>0,所以口1+ a.a21當a>1時，一<0,所以一C +.1 1綜上所述，當a= 0時，1 +比當a< 1且a之時，1> 1+ a；1當 a> 1 時， < 1 + a1 a目標3利用不等式性質求范圍,3x+ 2y 的例3已知1vxv4,2vyv3，則X y的取值范圍是取值范圍是 解析：因為1<x<4,2<y<3,所以3< y< 2,所以4<x y<2.由1&l

10、t;x<4,2<y<3,得3<3x<12,4<2y<6，所以 1<3x + 2y<18.【借題發(fā)揮】 變式1將本題條件改為 1<x<y<3”，求x y的取值范圍.解析：因為1<x<3, 1<y<3，所以3< y<1,所以4<x y<4.又因為x<y,所以x y<0，由得4<x y<0.故xy的取值范圍為(4,0).變式2 若將本題條件改為 1<x+y<4,2<x y<3”，求3x+ 2y的取值范圍.全國名校高考數學復習一輪精品優(yōu)

11、質學案匯編（附詳解）m+ n = 3, 解析：(待定系數法)設3x+ 2y= m(x+y) + n(x y)，貝UIm n = 2,5m= 2, 所以,in1n-2,即 3x + 2y = |(x + y) + 蘇一y),又1<x+yv4,2vx y<3,所以2<|(x + y)<10,1<2(xy)<|,所以l<l(x + y) + |(x 23，即2<3x + 2y<|3.故3x + 2y的取值范圍為xx2變式3若本題條件變?yōu)?已知1< Ig xy） 1< l< 2,求Ig的取值范圍.x解析：解法一：由 1<Ig

12、 xy)1<Ig y<2 得 1< Ig<+ig y<4 1< Igx Ig y<2X213而 Ig- = 2Ig x Ig y=|(lg x+ Ig y) + |(lg x Ig y),2所以一iwIgy = 5即Ig彳的取值范圍是1,5.2解法二：令氣=(x以<yr，經待定系數法求出:-,-廣421310<xyW10所以L =(xy)2 (2，由已知條件可知：1 x，所以可以求yy-<-<100110 y2dx2-引丄,105，即Ig 的取值范圍是1,5.y10y【規(guī)律方法】利用不等式性質可以求某些代數式的取值范圍，但應注意

13、兩點： 一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有 可能擴大了變量的取值范圍.解決的途徑是先建立所求范圍的整體與 已知范圍的整體的等量關系，最后通過一次性”不等關系的運算求解 范圍.【歸納分析】1. 在應用傳遞性時，如果兩個不等式中有一個帶等號而另一個不帶等號，那么等號是傳遞不過去的。如a訪，bv c? a<c。2在乘法法則中，要特別注意乘數c的符號”，例如當CMO時，有a > b? ac2 > be2;若無cMO這個條件，a> b? ac2 > be2就是錯誤結論(當 c= 0 時，取=”。3對于a>b>0? an>bn(n

14、N*, n> 1)”不要忽視括號內的條件，假如去掉n為大于1的自然數”這個條件，取n =- 1, a= 3, b= 2那么就會出現“3 >2- J的錯誤結論；假如去掉b>0”這個條件，取a= 3, b=-4, n= 2,那么就會出現“3>(-4)2”的錯誤結論。全國名校高考數學復習一輪精品優(yōu)質學案匯編(附詳解)【課后作業(yè)】1.設 a, b 0，+乂)Aja + b, B/a + b，貝J A, B 的大小關系是 答案：A汩 解析：由題意得，B A 2寸abw0且A0 B0可得AB.2. 設 a Ig e, b (Ig e)2, c Ig &,貝J a、b、c 的

15、大小關系是答案：a>c>b1 1解析：因為 0<lg e<l/10=2,所以 lg e>2lg e>(lg e)2.所以 a>c>b.3.設 a, b R，貝J “a b) a2< 0”是 a< b”的條件解析：(1)(a b) a2<0,則必有a b<0,即a<b;而a<b時，不能 推出(a b) a2<0,女0 a 0, b 1,所以 “a b) a2<0”是 a<b”的充 分而不必要條件。4.已知 f(n)寸n2 + 1 n, g(n)= n 寸n2 1, g)=詡n N*, n>

16、2),則f(n), g(n), n)的大小關系是答案:f(n)<(Kn)<g(n)解析:f(n) = yn2+ 1 Mn), g(n) n 訴>2n 2)所以 f(n)< Mn)vg(n).5.設 mcn,pvq，且(p 一2 p-n )<O,(q-m)(q- n )<0，則 m,n, p,q 的大小順序【答案】mcp <n【解析(P-m)(p-n)v0=m<； p n ;(q-m)(q -n)<0= m < n 又 p cq，所以 m<p cq cn6.已知a+ b>0,則+ 02與a+b的大小關系是詠 4 a b 11

17、答案：？+?虧+1初土匕 a b (1 1)a b b af 11、(a + b)(a b)?a2b2解析：孑!a +"b"+a2" =(a b) ba1 丿2因為a+ b>0, (a b)2>0所以 +爭器一必>0所以器+拿彳+彳.7.設m忘R,x<R，比較x2-x+1與-2m2-2mx的大小關系 【答案】X2 -x +1 A_2m2 -2mx【解析】 因為 X壬R,m 壬R，所以(X2-X +1)-(-2m2-2mx) =x2 +(2m-1)x +2m2 +1 =x2 +(2m -1)x+(2m 芋-(2mb2 +2m2 +1 =(x

18、+2m 一1)2 +m2 +m+32224=(x+2；-1)2 S+y +2 >0,所以 xjf-2m2-2mx.8.若 x>y，a>b，貝卩在 a x>b y,a+ x>b+ y, ax>by,x a bb>y a,y>x這五個式子中，恒成立的不等式的序號是y x答案： 解析：令x= 2, y= 3, a = 3, b= 2,符合題設條件x>y, a>b,因為 a x= 3 ( 2)= 5, b y = 2 ( 3) = 5,所以 a x= b y,因此不成立.因為ax= 6, by= 6,所以ax= by,因此也不成a3b 2ab

19、立.因為y=- = 1, x=o = 1,所以a=x,因此不成立由y 3x 2yx不等式的性質可推出成立.9.已知等比數列an中，ai>0, q>0,前n項和為比較一與一的as a5大小。解析：當 q= 1 時，S3 = 3, S5 = 5,故一< ;當 q>0 且 ql時,a3a5a3 a5S3 籠 81(1q3) _a1(1q5) _a3a5a1q2(1q) 陽4(1 q)q4(1q)q4(1 q)q2(1_q3)_(1_q5)q2 _1q+1y0故< S5.綜上，I< S5.as 35as 3510.某單位組織職工去某地參觀學習需包車前往.甲車隊說:如

20、果領隊買一張全票，其余人可享受 7.5折優(yōu)惠.”乙車隊說:你們屬團體票，按原價的8折優(yōu)惠.”這兩個車隊的原價、車型都是一樣的,試根據單位去的人數比較兩車隊的收費哪家更優(yōu)惠.解析：設該單位職工有n人(n N*)，全票價為x元，坐甲車需花yi元，坐乙車需花y2元，313則 yi = X+4X (n 1) = 4X+ 4xn,4 y2= 5nx.所以 yi y2=4x+4xn 4nx= 4x盤1nx=4x(1 - i當 n = 5 時，yi = y2;當 n> 5 時，yi< y2;當 n< 5 時，yi>y因此當單位去的人數為5人時，兩車隊收費相同；多于5人時，甲車隊更優(yōu)惠

21、；少于5人時，乙車隊更優(yōu)惠.11.設 f(x)= 1+ logx3, g(x)= 2logx2,其中 x>0 且 x1 試比較 f(x)與g(x)的大小.3x解析：f(x) g(x)= 1 + logx32logx2= logxj,f0< x< 1,fx> 1,當隊1,或彳3x “l(fā)0<N <1,4即1< x< 3時，logx3x< 0,所以 f(x)v g(x)；3x43xfx> 1, 或< 3x當玄=1,即 x=3時，109%7 = 0,即 f(x) = g(x);0< x< 1,當；0< 沢 1,17 > 1,43x即 0<x< 1,或 x>3時，logx"4>0,即 f(x)>g(x).44綜上所述，當 1< x< 3時，f(x)< g(x);當 x=3時，f(x)= g(x)；當 04< XV 1,或 x>3時，f(x)> g(x).【提優(yōu)訓練】c1.已知 ABC的三邊長分別為a,