代數(shù)13學(xué)生版向量

1、代數(shù)13向量Q本講概述向量問題一般在聯(lián)賽一試中以填空題的形式出現(xiàn)，其誹度略高于髙考，題目小巧靈活.對參加聯(lián)賽的 同學(xué)來說，這足一道必拿分的問題此外，利用向量方法來證明平幾問題也是一種重要的方法，最典型的 是，2001年聯(lián)賽二試第一道的平幾問題（見例8）,當(dāng)年很少有同學(xué)做出.但是，用向最方法來處理，問題 就顯得簡單多了.苗先我們給出向量方面的一些基礎(chǔ)知識：1.向量的有關(guān)概念向量既冇人小又冇方向的量叫做向量.始點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的向量記做忑.在不計始點(diǎn)終點(diǎn)的情況下，也 可以記做a （或小寫的黑體字母a）.向量的程_向量忑的人小，即線段AB的長度叫做向量的模，記作I忑相等的向量若兩個向量具有相同的模和方

2、向（始點(diǎn)與終點(diǎn)不必相同），則它們相等.特殊的向量模為1的向最叫做單位向量；模為0的向量叫做零向最，零向最記為6,是惟一的方向不確定的向量: 設(shè)P是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，0是坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則向量更叫做P的位置向量.2向量的運(yùn)算向最的加減法向量的加法可以按平行四邊形法則進(jìn)行，也町以按三角形法則進(jìn)行.向量的減法一般按三角形法則進(jìn)時,實(shí)數(shù)m與向量a的乘積ma是一個向量，它的模為|ma |=|m| | a | .當(dāng)mAO時，ma與a同向；當(dāng)m = 0 mV的方向不確定：當(dāng)m<0時，ma a反向.特別地，如果a *0，則丄a就是和a同方向的單位|a|向量，（-l）a = -a叫做a的反向量.-a與a互

3、為反向量.向最的數(shù)最積兩個向量a、b的數(shù)量積（或者稱為點(diǎn)積或內(nèi)積）定義為a 6=1 a I |b| cosa.bt其中（亍幣）表示向量 7和向最5之間正方向的夾角.向最的數(shù)最枳和物理中力做的功與力、位移的關(guān)系是一致的.特別的， 2 a =aa=|a|.向量的向量積兩個向量S、b的向量積（或者稱為叉積或外積）定義為axb=|a| |b| sin（a,b） k*其中k是一個同 時垂直干；和b的單位向量，flk、二b之間遵循右手法則）.向量的向最積的模（|axb| ）的幾何意義 為以；、b為鄰邊的平行四邊形的面積.向屋的混介積三個向量a、b、7的混合積定義為（亠可二 向最的混介積的幾何意義為其運(yùn)算結(jié)

4、果是以a、6、2 為相鄰的棱形成的平行六面體的體積.3. 平面向量的坐標(biāo)表示設(shè)在基底倚耳）下，對在伍，哥）所確定的平面上，向量苗以分解為i = x + y.此時，向量a即坐標(biāo)(x.y)確定的點(diǎn)P的位置向量，從而町以用坐標(biāo)(罵y)表示向量二 特別的，如果何，耳)是正交基 底，即百與可足垂直的，那么它們口J以構(gòu)成半面直角坐標(biāo)系.空何向氛也有對應(yīng)的坐標(biāo)表不，我們將在學(xué) 習(xí)空間解析幾何初步的時候進(jìn)一步地認(rèn)識該類向量.4. 平面向量的坐標(biāo)表示下的數(shù)量積如果向最a的坐標(biāo)表示為(.yj，向量b的坐標(biāo)表示為(形,為)，則a 5 =(齊,)(32)= ¥2 +力刃5. 向最運(yùn)算的基本性質(zhì)加法滿足交換律

5、、結(jié)合律，即*a+b = b + a t a+(b+ c) = (a+bj + c ；數(shù)乘滿足分配律，兄(a+B)=兄a +巫，(A+/z)a = Aa+/ta ,(饑)a = A(/za)；數(shù)屋積滿足交換律和分配律，a b = b a . (4a) b = Xa 6) * (b + c) a =b a +c a ;外枳滿足以下規(guī)律，a X b = -b X a » a x a = 0. ax(b + c)=axb + axc» a x (b x c) = (a c)b - (a b)c . 思考：(a +b) (c + d)= a c + a d +b c+b d 是否成

6、立？(a 6) c = a (b c)是否成立？6. 幾個雨要結(jié)論_ _不共線的四點(diǎn)A、B、C、D組成平行四邊形的充要條件是忑=西或忑"矛.兩個向量亍、b共線(或稱線形相關(guān))的充要條件是存在不全為零的兩個實(shí)數(shù)m、n,便n + nb = O, 若兩個向fia、b不共線，Kma + nb = 0 »則m = n = 0 兩個向量a、b共線的充要條件是a b = ±|a| |b| (或axb = 0).兩個向量a、b垂直的充要條件Ja b = 0 .7. 用向量法解決平面幾何問題向鼠既反映數(shù)最關(guān)系，又體現(xiàn)位置關(guān)系，從而能數(shù)形相輔地用代數(shù)方法研究幾何問題即把幾何代數(shù) 化.

7、由于可以通過建立坐標(biāo)系研究向量所以解析兒何方法從本質(zhì)上是一種特殊的向呈方法.作為處理兒 何問題的一種工貝，向量方法兼冇幾何的a觀性.表述的簡沽性和方法的一般性使用向的第一步，是要在圖中選定基底.一旦確定了基礎(chǔ)向最在整個問題的解決過程以此為依據(jù)而 進(jìn)行計算在確定點(diǎn)的位置時，經(jīng)常用向最的線形關(guān)系(這是向最的重要性質(zhì)，貫穿在幣個向最法中)來解決. 在處理垂n關(guān)系.長度關(guān)系以及交角等問題時，一般用向量的數(shù)量枳來解決& 向最形式的三角形四心性質(zhì)以及判定定理G 是 AABC 的巫心=GA+CT + GC = 0 ；H是 AABC 的垂心0巫 m = m HC = HC HA：O 是 AABC 的外

8、心« OA = OB = OC:/I是AABC的內(nèi)心u広=sr BA BC補(bǔ)充性質(zhì)定理：覓心：對任意點(diǎn)P,而入+西+西)；3垂心：對非直角三角形情形有tanA OA+tanB OT + tanC 0C = 6;外心:sin 2A OA+ sm 2B OB + sin 2C OC = 0 :內(nèi)心：sm A OA+ sin B OB + sin C OC = 6 ng a OA+b OB+c OC = 0歐拉定理的引理：若o是AABC的外心，H是A ABC的垂心則OT = OA+OB + OC .歐拉定理：若0足AABC的外心，H足AABC的垂心 G JAABC的重心則OG=ioH r

9、J©例題精講【例1】 點(diǎn)0為AABC的外心，連B0延長交外接圓于點(diǎn)D. 若高人氏CG交于點(diǎn)H試用0A、0B . 0C表示0H (I)用 UB、OC 表示 UC : 證明歐拉定理：三角形的外心、巫心、垂心三點(diǎn)共線（歐拉線），且重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍【例2】用向量的方法證明三角形的三條高交于一點(diǎn)-已知：AABC中，AD、BE、CF分別為邊BC、CA、AB上的高. 求證；AD. BE. CF交于一點(diǎn)【例3】 設(shè)0是AABC的外接関関心，D是邊AB的中點(diǎn)，E是AACD的中線的交 點(diǎn)，證明：如果AB=AC.則0E丄CD.【例4】求所有的正實(shí)數(shù)對a, b滿足的關(guān)系，使得存在e角M

10、DE及其 斜邊DE上的點(diǎn)A、B,滿足EX匚走=55且AC=a. BCM-【例5】證明 S cos(a - 0)= cos a cos >0 + sin a sin(余弦的和角公式).【例6】證明如果三角形的巫心號其邊界的巫心巫合，貝！它是等邊三角 形-（美國紐約數(shù)學(xué)競賽）【例7】設(shè)P是正三角形A ABC所在平面上一點(diǎn)，求證：PASPB + PC.P【例8】（92年聯(lián)賽設(shè)A4A4是圓0的內(nèi)接四邊形，H,H"H3，H4依次是三角形A的垂心，求證：比比碼,四點(diǎn)共碼并求其圓心©【例9】(2001年聯(lián)賽)如圖，zdABC中，0為外心，三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H, H線ED和

11、AB交于點(diǎn) M, FD 和 AC 交于點(diǎn) N。求證：(1) 0B丄DF. 0C丄DE： (2) 0H丄MN?！纠?0】在矩形ABCD的外接圓弧AB上取一個不同于頂點(diǎn)A. B的點(diǎn)M.點(diǎn)P.R、SM分別在直線AD. AB、BC *j CD上的投影.證明，直線PQ和 是互柑垂宜的并.11它們與矩形的某條對角線交于同一點(diǎn)-©人顯身手證明：0是平面上的一定點(diǎn).A. B、C匕平面上不共線的三個點(diǎn),動點(diǎn)P滿足麗=61+彳徭 + 茜1兄0,則點(diǎn)P位于ZBAC的平分線上.在AABC內(nèi).設(shè)D及E是BC的三等分點(diǎn)G分別足AC、AB的中點(diǎn).線段EG *jDF交丁 H.求證:=，并求該比值.HG HFn.若0

12、是AABC的外心.H足AABC的垂心，AABC需要滿足什么條件，才能使HA=OA.ABC中，A. B、C所對的邊長分別是a. b、c,求證;V 3 .2 _2（l）cosA=（余弦定理，2bc4（2）丄（正弦定理）. sinB sinCG是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn) OA+OB + GC = 0.求證：G是ABC的巫心6.設(shè)0點(diǎn)在AABC內(nèi)部且有OA+2OB + 3OC=0則AABC的面積與AAOC的面枳的比為（）35B C 3D 237.（1）求證：RtAABC斜邊BC匕的高AD滿足AD = ED DC （射影定理）.（2）在四邊形ABCD中，E、K分別是AB的中點(diǎn)，求證：以線段AK、CE、BK、DE中點(diǎn) 為頂點(diǎn)的四邊形為