列方程解決問(wèn)題

1、方程知識(shí)是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，掌握、理解方程思想并應(yīng)用于解決問(wèn)題十分有 用。適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，把數(shù)學(xué)問(wèn)題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系， 轉(zhuǎn)化為方 程或方程組等數(shù)學(xué)模型，從而使問(wèn)題得到解決是重要的思維方法， 這一講我們研 究這一類問(wèn)題。例1某?？萍脊?jié)，初中部給六（1）班的學(xué)生發(fā)放科技讀物，如果每人 3本則還剩下23本，若每人4本則還少2本，問(wèn)六（1）班有多少個(gè)學(xué)生，共有多少本科 技讀物?0a【分析與思考】此題中有兩個(gè)量是不變的：學(xué)生人數(shù)和科技讀物的本書。我有三種方法：（1）若設(shè)有x個(gè)學(xué)生，以科技讀物為等量列方程；（2）若設(shè)有x本科技讀物，以學(xué)生人數(shù)為等量列方程；（3）若設(shè)有x個(gè)學(xué)生，有y本科技讀物，

2、根據(jù)條件可列兩個(gè)等式。方法一:解：設(shè)六（1）班有x個(gè)學(xué)生。3x +23 =4x -2X =25科技讀物：4x25 -2 =98 （本）答：六（1）班有25個(gè)學(xué)生，共有98本科技讀物。方法二:解:設(shè)有x本科技讀物。X-23 _ X +2344x -92 =3x +6X =98科技讀物：98 一23 =25 （人）3答：六（1）班有25個(gè)學(xué)生，共有98本科技讀物。方法三:解：設(shè)若設(shè)有x個(gè)學(xué)生，有y本科技讀物。J 3x + 23 = y l4x 2 = y解得：爲(wèi)答：六（1）班有25個(gè)學(xué)生，共有98本科技讀物。例2燈泡廠生產(chǎn)燈泡的工人，按得分的多少給工資。每生產(chǎn)一個(gè)合格品記 4分, 每生產(chǎn)一個(gè)不合格

3、品不僅不計(jì)分，還要扣除 15分。某工人生產(chǎn)了 1000只燈泡，共得3525分，問(wèn)其中有多少個(gè)燈泡不合格?【分析與思考】 方法一:解：設(shè)其中有x個(gè)燈泡不合格，有（1000-X）個(gè)燈泡合格。4X (1000-x)-15x =35254000 -19x =352519x =475X =25答：其中有25個(gè)燈泡不合格。方法二:解：設(shè)其中有x個(gè)燈泡不合格，有y個(gè)燈泡合格。x + y =1000 by - 15x =3525解得：鳥(niǎo)55答：其中有25個(gè)燈泡不合格。例3一千零一夜中有這樣一段文字，有一群鴿子，其中一部分在樹(shù)上歡歌,另一部分在地上覓食，樹(shù)上一只鴿子對(duì)地上覓食的鴿子說(shuō)：“若從你們中飛上來(lái) 一只，

4、則樹(shù)下的鴿子就是整個(gè)鴿群的三分之一，若從樹(shù)上飛下去一只，則樹(shù)上、 樹(shù)下的鴿子一樣多了” ，你知道樹(shù)上、樹(shù)下各有多少只鴿子嗎？【分析與思考】I本題的等量關(guān)系是：1樹(shù)下的鴿子數(shù)-1=x （樹(shù)上的鴿子數(shù)+樹(shù)下的鴿子數(shù)）；3樹(shù)上的鴿子數(shù)-仁樹(shù)下的鴿子數(shù)+1。解：設(shè)樹(shù)下的鴿子有x只，樹(shù)下的鴿子有y只。I 1依題意可得x -1 = y +1答：樹(shù)下的鴿子有7只，樹(shù)下的鴿子有5只。例4某家庭5月結(jié)余5000元，6月結(jié)余9500元，已知6月的收入比5月增加了15%而支出比5月減少了 10%這個(gè)家庭6月的收入和支出各是多少?【分析與思考】答：這個(gè)家庭6月的收入是23000元，支出13500元。例5通訊員要在規(guī)定

5、時(shí)間內(nèi)到達(dá)某地，他每小時(shí)走15千米，則可提前24分鐘到 達(dá)某地；如果每小時(shí)走12千米，則要遲到15分鐘。求通訊員到達(dá)某地的路程是 多少千米？原定的時(shí)間為多少小時(shí)?【分析與思考】成反比。通訊員到達(dá)某地的路程是一定的，那么他行走的速度和時(shí)間2 1解：24分鐘=2時(shí)，15分鐘=-時(shí),54設(shè)原定的時(shí)間為x小時(shí).15XX-2L12X(X + -】I 5丿 I 4丿解得：x=3215X( 3-2 ) =39 (千米)5答：通訊員到達(dá)某地的路程是 39千米，原定的時(shí)間為3小時(shí)。練一練1. 某人裝修房屋，原預(yù)算25000元。裝修時(shí)因材料費(fèi)下降了 20%,工資漲了 10%,實(shí)際用去21500元。求原來(lái)材料費(fèi)及工

6、資各是多少元?2. 游泳者在河中逆流而上，于橋 A下面將水壺遺失被水沖走，繼續(xù)前游。20分鐘后他發(fā)現(xiàn)水壺遺失，于是立即返回追尋水壺，在橋A下游距橋A2公里的橋BF面，追到水壺。那么該河水水流的速度是每小時(shí)多少公里?3. 甲、乙、丙三人的速度分別是18千米/小時(shí)，21千米/小時(shí)，24千米/小時(shí),如果甲、乙二人在A地，丙在B地，三人同時(shí)出發(fā)，相向而行，丙遇到乙后 10分鐘才遇到甲，求A、B兩地的距離。4. 有一些雞和兔，共有腳44只，若將雞數(shù)與兔數(shù)互換，則共有腳 52只。雞兔個(gè)是多少只?5. 隨著我國(guó)人口增長(zhǎng)速度的減慢，小學(xué)入學(xué)兒童數(shù)量每年按逐漸減少的趨勢(shì)發(fā)展。某區(qū)2006年和2007年小學(xué)入學(xué)兒

7、童人數(shù)之比為 8:7，且2006年入學(xué)人數(shù)的2倍比2007年入學(xué)人數(shù)的3倍少1500人，某人估計(jì)2008年入學(xué)兒童將超過(guò)2300人。請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，判斷他的估計(jì)是否符合當(dāng)前的變化趨勢(shì)。6. 已知直角三角形三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，求這個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)及面積。例1有一個(gè)兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大 5,并且這個(gè)兩位數(shù)比它的兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和的8倍還要大5,求這個(gè)兩位數(shù)?！痉治雠c思考】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為 X,十位的數(shù)字為（X+5） 0根據(jù)位值原理可以列方程如下:10(5 +X )+x =8(x +X +5 )+550+11X =16x +455x =5X =1十位的數(shù)字為：1

8、+5=6答：這個(gè)兩位數(shù)為61 0求圓柱（1）的高（圖中例2如圖，已知圓柱 的體積是圓柱（1）的體積的3 倍,（I）40表示直徑為40毫米）【分析與思考】tBSS3瀬SSSSdSI 耳(O我們根據(jù)圓柱（2）的體積是圓柱（1）的體積的3倍列等量關(guān)系式。解：設(shè)圓柱（1）的高為X毫米。3(40-2 2欣=(60弓2丫兀天60X = 45答：圓柱（1）的高為45毫米。例3在甲處施工的人員有54人，在乙處施工的人員有41人，現(xiàn)因工程需要，要 從乙處抽調(diào)一部分人員去甲處，使在甲處施工的人數(shù)與在乙處施工的人數(shù)的比為3:2，問(wèn)從乙處調(diào)多少人去甲處?【分析與思考】解：設(shè)從乙處調(diào)x人去甲處。根據(jù)調(diào)整后甲、乙兩處施工

9、的人數(shù)比為3:2，列方程。(54 + X): (41-x)=3:22x(5 4+ x)=3x(41-x)5x =123 -108X =3答：從乙處調(diào)3人去甲處。例4某工程甲獨(dú)干40天，乙獨(dú)干30天，丙獨(dú)干24天可以完成，甲、乙、丙合 做幾天后，乙因事離開(kāi)；3天后丙又因事離開(kāi)，結(jié)果這項(xiàng)工程 14天完成，問(wèn)乙、丙各離開(kāi)了多少天?【分析與思考】這題的關(guān)鍵是設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，可設(shè)甲、乙、丙合做 x天，方法一:可以列等量關(guān)系：甲、乙、丙合做的量+甲單獨(dú)（14-x ）天做的量+丙單獨(dú)三天做的量=1解：設(shè)甲、乙、丙合做X天。d +丄l403024 丿11x + (14 - X)+ x3=140241,7 11

10、 .一 - 一 X 十-=11020 4083 21一x = 一4040x = 7乙離開(kāi)了（ 14-X）天：14-7=7 （天）；丙離開(kāi)了（ 14-X-3 ）天:14-7-3=4 （天），答：乙離開(kāi)了 7天，丙離開(kāi)了 4天。方法二:解：設(shè)乙離開(kāi)了 X天，丙離開(kāi)了( X-3 )天。一X14+ x(14-x)+ X 14(x-3) = 1 4030247 丄 141亠 171120 30 3024 24321一X = 一4040X =7丙離開(kāi)了（ X-3 ）天:7-3=4（天），答：乙離開(kāi)了 7天，丙離開(kāi)了 4天。方法三:解：設(shè)乙離開(kāi)了( X+3)天，丙離開(kāi)了 X天。X14 + 咒 14 (X+

11、3” X(14 X ) = 1 4030247 亠 111 亠 71,20 30 3012 2433X =4010X = 4乙離開(kāi)了（ X+3）天:4+3=7（天），答：乙離開(kāi)了 7天，丙離開(kāi)了 4天。方法四:解：設(shè)乙離開(kāi)了 X天，丙離開(kāi)了 y天。111勺4 + x(14-x) + 414-y) =1403024X -y =3x = 7解得：ly =4答：乙離開(kāi)了 7天，丙離開(kāi)了 4天。例5某種商品的零售價(jià)為每件 900元，為了適應(yīng)市場(chǎng)竟?fàn)帲痰臧戳闶蹆r(jià)的九折降價(jià)并讓利40元銷售，仍可獲利10%則進(jìn)價(jià)為每件多少元？等量關(guān)系為:A【分析與思考】利潤(rùn)率=利潤(rùn)十進(jìn)價(jià)X 100 00，可設(shè)進(jìn)價(jià)為每件X

12、元。解：九折=0.9設(shè)進(jìn)價(jià)為每件X元90029一40一500%=10%1.1x =770X =700答：進(jìn)價(jià)為每件700元。練一練1. 一條環(huán)行跑道長(zhǎng)400米，甲每分鐘行550米，乙每分鐘行250米.(1)甲、乙兩人同時(shí)同地反向出發(fā)，問(wèn)多少分鐘后他們?cè)傧嘤?(2)甲、乙兩人同時(shí)同地同向出發(fā)，問(wèn)多少分鐘后他們?cè)傧嘤觯?.某車間22名工人生產(chǎn)螺釘和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺釘1200個(gè)或螺母2000個(gè)，一個(gè)螺釘要配兩個(gè)螺母，為了使每天的產(chǎn)品剛好配套，應(yīng)該分配多少名工人 生產(chǎn)螺釘，多少工人生產(chǎn)螺母？3. 一個(gè)水池有一出水管和一進(jìn)水管，單開(kāi)進(jìn)水管 5分鐘注滿水池；單開(kāi)出水管, 8分鐘放完一池水；現(xiàn)注2分鐘水后發(fā)現(xiàn)出水管未關(guān)，立即關(guān)上出水管，還需多長(zhǎng)時(shí)間注滿水?4.香蕉的售價(jià)為5