導(dǎo)數(shù)系列一類以自然指數(shù)對(duì)數(shù)為背景的導(dǎo)數(shù)壓軸題解法學(xué)生版

1、一類以自然指數(shù)和對(duì)數(shù)為背景的壓軸題解法注：本文以目前數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谝槐揪€上下的學(xué)子的數(shù)學(xué)水準(zhǔn)，進(jìn)行展開(kāi)講解。根據(jù)“遺傳學(xué)規(guī)律”明年全國(guó)乙卷再次考到的可能性極大，打出來(lái)給學(xué)生將保準(zhǔn)學(xué)生橫掃此 類壓軸題！源于課本：1-1課本99頁(yè)B組1題或課本2-2第32頁(yè)B組1題的習(xí)題：利用函數(shù)的單調(diào)性,證明下列不等式，并通過(guò)函數(shù)圖像直觀驗(yàn)證：ex 1 x ；【探究拓展】探究1:證明不等式ex變式1:設(shè)f (x) y xa，其中aR,若對(duì)于任意xR，f(x) 0恒成立，則參數(shù)a的取值范圍是變式2：設(shè)f (x) e八ax1，其中aR，若對(duì)于任意x R，f(x) 0恒成立，則參數(shù)a的取值范圍是變式 3：設(shè) f (x)

2、aex x1，其中aR，若對(duì)于任意x R， f (x)0恒成立，則參數(shù)a的取值范圍是x *有哪些等價(jià)變形并在坐標(biāo)系中畫圖?點(diǎn)評(píng)：太巧了：增之一分則太肥，減之一分則太瘦變形1：e X1 x變形2：x e1x1x 1變形3：ln(1x) x(x1)變形4：In xx 1(x0)*變形5：In1x 1(x0)x變形6：ln x11(x0)探究x2:不等式ex 1歸一：我們只要通過(guò)畫圖并記住 ex 1 x*, 1 nx x 1( x 0) *即可，考試出現(xiàn)了其它變形換元轉(zhuǎn)化為這2個(gè)不等式即可。探究3:觀察：“插中”不等式（當(dāng)然是我編的名字）變形4：In xx 1(x0) *變形6：In x1-1(x0

3、)*X兩式相加除以12，試比較：左邊In X還是右邊 （X2丄）的大小并證明:x1結(jié)論：“插中”不等式*:若0 X 1,則Inx 121-.;若 x 1,則 Inxx請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)系中畫出圖像：這個(gè)圖像很漂亮，容易記住。點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)很美，插中值不等式很明顯是加強(qiáng)，更加精準(zhǔn)了，在高考中經(jīng)?？嫉?往后看總結(jié)：ex 1 X*, In X X 1(x0) *“插中”不等式*，以上三式都是將自然指數(shù)和對(duì)數(shù)放縮為我們更加熟悉的一次函數(shù)或者反比例函數(shù)進(jìn)行放縮處理。題型一：化歸為指數(shù)型ex 1 X放縮例1、（20XX年全國(guó)）設(shè)函數(shù)f X ex2ax 0 (1)若 a0,求f X的單調(diào)區(qū)間；（2）若x 0時(shí)f X 0，

4、求a的取值范圍。（提示:練習(xí)1： （20XX年全國(guó)）已知函數(shù)f x2，（1）求f X的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若f x1x2 aX b，求a 1 b的最大值。練習(xí)2： (20XX年全國(guó))已知函數(shù)f X ex ln x m .當(dāng)m 2時(shí)，證明f x 0.提示：用ex 1 x, l nx x 1(x 0)兩次放縮一眼看出。In x 12。1)若曲線y練習(xí)3： (20XX年廣一模)已知函數(shù)f X ex m x3,g x點(diǎn)0,f 0處的切線斜率為1求實(shí)數(shù)m的值。2)當(dāng)m1時(shí)，證明：f X g xX3。(20XX年廣二模也有用至U)提示：用 ex 1 x , ln X x1(x 0)兩次放縮一眼看出。練

5、習(xí)4:已知函數(shù)f(x) exax 1(a0,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).求函數(shù)f(x)的最小值;若f (x) 0對(duì)任意的xR恒成立,求實(shí)數(shù)a的值;在的條件下，證明:(分nn 1 n n n()nL)nn ne(其中n N*).e 1練習(xí)5:已知函數(shù)f (x)=ax ex，其中aM 0.(1 )若對(duì)一切x R, f (x) 1恒成立，求a的取值集合.(2)在函數(shù)f (x)的圖像上取定兩點(diǎn)A(xi,f(xi) , B(X2, f(X2) (xi x2)，記直線AB勺斜率為K, 問(wèn)：是否存在xo(xi, X2),使f (X0) k成立？若存在，求X0的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō) 明理由.lnx k，曲線y

6、f X在點(diǎn)練習(xí)6：（20XX年山東）已知函數(shù)f X xe軸平行。1）求k的值；2）求f X的單調(diào)區(qū)間；3）設(shè)g X X21,f 1處的切線與xx ,其中f x為f X的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意x 0,g（x）值域即可）1 e 2。（提示：對(duì)分母進(jìn)行1 x放縮，分子直接求題型二：化歸為對(duì)數(shù)型Inx x 1（x0）放縮。例2、（20XX年湖北）1）已知函數(shù)fIn xx 1,x 0,.求函數(shù)的最大值；2）設(shè)ak,bk k 1,2,., n 均為正數(shù),證明：若a1bia2b2. anbn bl b2 . bn，則耳論；2.孟 1 (提示：In X x 1)練習(xí)1：（20XX年全國(guó)）函數(shù)In x1，若對(duì)所有

7、的x 1都有f x ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。練習(xí)2：已知函數(shù)f（x）(x1)ln X x 1 .(1)若 xf (x) X2 ax1，求a的取值范圍;(2)證明：(X 1)f(x)練習(xí)3：(20XX年陜西)設(shè)函數(shù)f X In 1 x ,g x xf x ,x0,其中f x是f x的導(dǎo)函數(shù)。若f X ag x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。x(a 0).練習(xí)4: (2011浙江理22,替換構(gòu)造)已知函數(shù)f(x) 2a In(1 x)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;6求證：4,ge罟罟X lge苛 n 1)(n N*). n練習(xí)5：已知函數(shù)f(x) ln(x1) k(x 1)1.(1)求函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)。(2)若f(x) 0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍。(3)證明：山3815Inn (n 4)(n1) (nn2 1N,n 1).練習(xí)6:已知函數(shù)f(x) In(X 1)k(x 1) 1.求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;若f(x) In x在1,)上恒成立,求a的取值范圍;ln( n1)練習(xí)1:已知 f(x) ax -x(1)求a，b滿足的關(guān)系式;(2)若f(x) 2ln X在1,+(3)證明: 111 L2)上恒成立，求a的取值范圍;