《數(shù)值分析簡明教程》第二版(王能超編著)課后習(xí)題答案高等教育出版社

1、【思路島答案網(wǎng)】 整理提供0.1算法1、(p.11，題1)用二分法求方程X -X-1 =0在1,2內(nèi)的近似根，要求誤差不超過10-3.【解】由二分法的誤差估計(jì)式 &十黔=珀_；=10，得到2k1 _1000.兩端取自然對數(shù)得空10-仁8.96，因此取k=9，即至少需In 2二分9次.求解過程見下表。kakbkXkf(xQ符號(hào)0121.5+1234567892、( p.11，題2)證明方程f(x)二ex，10x-2在區(qū)間0,1內(nèi)有唯一個(gè)實(shí)根；使用二分法求這一實(shí)根，要求誤差不超過-10。2【解】 由于f(x)二ex，10x-2，則f (x)在區(qū)間0,1上連續(xù)，且f(0) =e°

2、10 0 - 2 = 1 ： 0，f (1) -e1 10 1 2 = e 8 0 ,即卩 f(0) f(1) ： 0 , 由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，f(x)在區(qū)間0,1上至少有一個(gè)零點(diǎn).又f'(x)二ex 10 0，即f (x)在區(qū)間0,1上是單調(diào)的，故f(x)在區(qū)間0,1內(nèi) 有唯一實(shí)根.由二分法的誤差估計(jì)式|x*-Xk匸唁10，得到2k -100.2 2 2兩端取自然對數(shù)得k 一 如0、2 3.3219二6.6438，因此取k = 7，即至少需二分ln27次.求解過程見下表。kakbkXkf(Xk)符號(hào)0010.512345670.2誤差1.（p.12，題 8）已知 e=2.7182

3、8 ；試問其近似值 X, = 2.7 , x2 = 2.71 , X2=2.71 , x 2.718各有幾位有效數(shù)字？并給出它們的相對誤差限?！窘狻坑行?shù)字：1 ,因?yàn)閨 e-x, | = 0.01828：0.0510 ，所以X, =2.7有兩位有效數(shù)字；21 /因?yàn)閨e-X2 |= 0.00828：0.0510 ，所以x 2.71亦有兩位有效數(shù)字；1 3因?yàn)閨e-x3 |=0.00028：0.000510 ，所以x 2.718有四位有效數(shù)字;2|e X1 |0.05<2.7=1.85%=| e - X2 |X20.052.71= 1.85% ； |e-X3 |X30.00052.718

4、= 0.0184%?！舅悸穽u答案網(wǎng)】 整理提供【思路島答案網(wǎng)】 整理提供評(píng) （1）經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)；其所有數(shù)字均為有效數(shù)字;（2）近似數(shù)的所有數(shù)字并非都是有效數(shù)字2. （ p.12，題9）設(shè) =2.72 ； x2 =2.71828； x 0.0718均為經(jīng)過四舍五入得出的近 似值，試指明它們的絕對誤差（限）與相對誤差（限）。10.005o【解】M -0.005 ； ；r1 二一11.84 10"x12.72；2 =0.000005； ；r2 2 : 0.000005 1.84 10（；x22.71828-0.00005 ；X30.000050.07186.96 10,評(píng)經(jīng)四舍五

5、入得到的近似數(shù)，其絕對誤差限為其末位數(shù)字所在位的半個(gè)單位3. （ p.12，題 10）已知 x1 =1.42 ； x -0.0184 ； x3 =184 10,的絕對誤差限均為0.5 10，問它們各有幾位有效數(shù)字？【解】 由絕對誤差限均為0.5 10,知有效數(shù)字應(yīng)從小數(shù)點(diǎn)后兩位算起，故x 1.42，有三位；x2 =-0.0184有一位；而 x3 =184 10，=0.0184，也是有一位。1.1泰勒插值和拉格朗日插值1、( p.54，習(xí)題1)求作f(x) =si nx在節(jié)點(diǎn)x0 =0的5次泰勒插值多項(xiàng)式 p5(x)，并計(jì)算P5 (0.3367)和估計(jì)插值誤差，最后將P5 (0.5)有效數(shù)值與精

6、確解進(jìn)行比較。【解】由 f (x) =sin x，求得 f (x)二 cosx ； f (x)二-sinx ； f (x)二 si nx ； f(5)(x)二 cosx ； f(6)(x) - -sinx,所以P5(x)二 f(Xo) f ()(Xo)(X-Xo)2! (X-Xo)f(3) (x) - - cosx ；f (X。)5!(x- x°)5二 f(0) f (0)x f Qx2(0)X52!5!13*15=XXX3!5!插值誤差：R5(x).|f(6)( )|(X0)|sin( )|(X0)1x6，若 x=0.5,則6! 6! 6!0.33670.3367p5(0.3367

7、) =0.33670.3303742887，而3!5!0.33676上二R5(0.3367)2.02 10=0.5 10 ，精度到小數(shù)點(diǎn)后 5位,6!故取 p5(0.3367) =0.33037,與精確值 f(0.3367) =sin(0.3367) = 0.330374191 相比 較，在插值誤差的精度內(nèi)完全吻合!2、( p.55，題12)給定節(jié)點(diǎn)x0二-1,X1 =1,x2 =3,X3 =4，試分別對下列函數(shù)導(dǎo)出拉格朗日余項(xiàng)：(1) f(x) =4x3 -3x 2 ；(2) f(x)=x4-2x3f心3【解】依題意，n = 3，拉格朗日余項(xiàng)公式為&(x)(x-xj4!(1) f(4

8、)(x0 t R3(x) =0 ；(2) 因?yàn)閒(x) =4!，所以f(4)(料R3(x)(x 1)(x-1)(x-3)(x-4) =(x 1)(x-1)(x-3)(x-4)4!3、( p.55，題13)依據(jù)下列數(shù)據(jù)表，試用線性插值和拋物線插值分別計(jì)算sin(0.3367)的近似值并估計(jì)誤差。i012Xi0.320.340.36si n(N)0.3145670.3334870.352274【解】依題意，n =3,拉格朗日余項(xiàng)公式為Rj(x)二f")()3(1)線性插值因?yàn)閤 =0.3367在節(jié)點(diǎn)x°和X1之間，先估計(jì)誤差R(x)f”()=gx)iX0)(Xr0.012<

9、;2二1 104；須保留到小數(shù)點(diǎn)后 4為，計(jì)算過程多余兩位。2T y(X1-Xo)2/4y=(x-x 0)(x-X1)-Iij_XX1【思路島答案網(wǎng)】 整理提供【思路島答案網(wǎng)】 整理提供R(X)R(X)sin(x0) sin(xj =1 (x-x0)sin(x1) (% -x)sin(x0)lX。- X1X1 - X0X1 - X。1(0.3367 -0.32)sin(0.34)(0.34 -0.3367)sin(0.32)】0.020.0167 sin(0.34)0.0033 sin(0.32)10.02:0.3304(2)拋物線插值插值誤差：f'''(©C

10、OS化)R>(x)(X -Xo)(X -Xi)(X -X2)(X - Xo)(Xi - x)(x - X2)3!63 0.013610max(x -XoXj -x)(x2 -x)6yy=(x-x°)(x-x1)(x-x2)Max=3(x 1-Xo)3/8XoX1X2【思路島答案網(wǎng)】 整理提供【思路島答案網(wǎng)】 整理提供拋物線插值公式為:P2(x)j) sin(Xo)(X。-XJ(Xo -X2)(x XoW-x?) sin(xj(% -X°)(X1 -X2)(X-Xj(X-Xo)(X2 -X1)(X2 - Xo)sin(x2)1(花 - X)(X2 - x)0.022 I

11、L2sin(x0) (xx0)(x2x)sin(x1)-(% -x)(x-x。)2sin (x2)【思路島答案網(wǎng)】 整理提供【思路島答案網(wǎng)】 整理提供F2 (0.3367)匹 2 3.8445 sin(0.32) 38.911 sin(0.34) - 2.7555 sin(0.36)1 0.02*1 n 3.8445 sin(0.32) 38.911 sin(0.34) - 2.7555 sin(0.36)-0.33037439 0.02經(jīng)四舍五入后得：P2 (0.3367) =0.330374，與 sin(0.3367) = 0.330374191精確值相比較，在插值誤差范圍內(nèi)完全吻合！1.

12、3分段插值與樣條函數(shù)1、( p.56，習(xí)題33)設(shè)分段多項(xiàng)式X3 X22x3 bx2 ex -1【思路島答案網(wǎng)】 整理提供【思路島答案網(wǎng)】 整理提供是以0,1,2為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)，試確定系數(shù)b，c的值.【解】依題意，要求S(x)在x=1節(jié)點(diǎn)【思路島答案網(wǎng)】 整理提供一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)：S' (1) =3 12 2 1 = 6 122 b 1 c 二 S (1),函數(shù)值連續(xù):S_=13 12 =2 13b 12c 1 S (1),即：b c = 1(1)即: 2b c = 1(2)解方程組(1)和(2),得b = 2,c = 3，即f 32S(x) = «x +x2x3 2x2

13、+3x-1由于 S(1) = 3匯2x1+2 = 6x2x12x2 = S；(1)，所以 S(x)在 x=1 節(jié)點(diǎn)的二階 導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。12、已知函數(shù)y2 的一組數(shù)據(jù)，x0 = 0, x1=1,x2 =2 和y0= 1, y1 = 0.5,y2= 0.2，1 +x(1) 求其分段線性插值函數(shù)；(2) 計(jì)算f (1.5)的近似值，并根據(jù)余項(xiàng)表達(dá)式估計(jì)誤差?！窘狻?1)依題意，將x分為0,1和1,2兩段，對應(yīng)的插值函數(shù)為S(x)和S2(x)，禾U用拉格朗日線性插值公式，求得x-xXX0X1X0cl CL /Si(x) y0- y110.5=_0.5x 1;x° X1X1 x°01

14、10_XX2X%X2X1cc CC CCS2(x)- y1 y20.50.2 = -0.3x 0.8X - X2X2 -x/1-22-11(2) f (1.5)2 ： 0.30769230769 ，而 S2(1.5)= -0.3 1.5 0.8 = 0.35,1+1.5f(1)(x)-2x2 2(1 X )f(2)(x) =-2(1 -3x2)(1x2)3f(3)(x)二24x(1-x2)(1 x2)4實(shí)際誤差為：| f (1.5)-S2 (1.5)| = 0.0423乞 0.05?！舅悸穽u答案網(wǎng)】 整理提供【思路島答案網(wǎng)】 整理提供知M 2 = f (2) (1) =0.5，則余項(xiàng)表達(dá)式|f

15、(J|R(x"2!M 224|(x_1)(x_2)|20.5 = 0.5470625 乞 0.5【思路島答案網(wǎng)】 整理提供【思路島答案網(wǎng)】 整理提供1.4曲線擬合1、( p.57，習(xí)題35)用最小二乘法解下列超定方程組:”2x +4y =113x _5y =3x 2y = 62x y = 7【解】構(gòu)造殘差平方和函數(shù)如下：2 2 2 2Q(x, y)=(2x 4y-11)(3x_5y_3) (x 2y-6)(2x y - 7),分別就Q對x和：Q(x,y) =0 :2+y求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零:x：Q(x,y) =0 :解方程組(1)和46 1748x =2736x - y = 17-

16、3x 46y 二 48(2) , 得:3.04029,6 483 176 48 3： 1.241762732、（ p.57，習(xí)題37）用最小二乘法求形如y = a bx2的多項(xiàng)式，使之與下列數(shù)據(jù)相擬合。【解】令X = X2，貝y y = a bX為線性擬合，根據(jù)公式（p.39,公式43），取m=2, a仁0,N=5,求得55a + bZ Xi5=5a + bZ x5i2 =送 yi(1)ii絲iT555555a遲Xi2+ b瓦 Xi = aZXi2 +b工 x4Xi)/i =瓦 xji=1i =1i呂i=1i=1依據(jù)上式中的求和項(xiàng)，列出下表xyiXi (=x i2)Xi2(=xi4)Xi yi

17、 (=xi2yi)191936113032168592532.362539062520187.53149961923521470893873.314442085136105845.24497.819363748096189340.8157271.453277277699369321.5將所求得的系數(shù)代入方程組(1)和(2),得:5a0 十 5327b = 271.4Q327a0 + 7277699b = 369321.5(2)271.4 7277699 -369321.5 53277791878.1a0.97258 ；5 乂 7277699 - 5327 匯 53278011566.5 369

18、321.5 -5327 271.4400859.7b0.05004 ；5 7277699-5327 53278011566即: y = 0.97258 0.05004x2。2.1機(jī)械求積和插值求積1、( p.94，習(xí)題3)確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明求積公 式所具有的代數(shù)精度：h(1) f (x)dx：Ao f(_h)A f (0)人 f (h)；i113(2) 0 f(x)dx ： A0f(；)幾口；)A2fH)；042411(3) f(x)dx ： f (0) A0f(x0) o04【解】(1 )令f(x) =1,X,X2時(shí)等式精確成立，可列出如下方程組：A0

19、+A +A2 =2h* A0 + A2 = 0Ao + A2 = 2 h 3h 4解得：A0 = A2, A1h，即:33(1)(2)(3)hhf (x)dx ： f (-h) 4f (0)f(h)，可以驗(yàn)證，對f(x) =x3公式亦成立，而對f (x) =x4不成立，故公式1)具有3次代數(shù)精度。(2)令f(X)=1,X,X2時(shí)等式精確成立，可列出如下方程組:代十幾+A2 =1(1)“代 +2入 +3A2 =2(2)3A0 +12A +27A2 =16(3)解得：2111113a-a?a-3，即："曲護(hù)叫比)2七)，可以驗(yàn)證，對f(x) =X3公式亦成立，而對 f(x) =X4不成立

20、，故公式(2)具有3次代數(shù)精度。A0(3)令f (x) =1,x時(shí)等式精確成立，可解得:1132即： 0 f (x)dx応：f (0)f (§)，可以驗(yàn)證，對f(x) =x3不成立，故公式(3)具有2次代數(shù)精度。12、( p.95 ,習(xí)題6)給定求積節(jié)點(diǎn)x0, x14求積公式，并指明該求積公式的代數(shù)精度。【解】依題意，先求插值求積系數(shù)：dx =31 x -1 40 1 342X0 -3f(x) =x2公式亦成立，而對試構(gòu)造計(jì)算積分41I = o f (x)dx的插值型dx = -2 (x223、3X)3【思路島答案網(wǎng)】 整理提供1 x _XoA10X1X0dx1x -41dx = 2

21、 (1 x22插值求積公式:10 f (x)dx 八k =01Akf(xkH2f(4)3f（4）當(dāng)f（X）=1，左邊=0 f (x)dx=1 ；右邊=gx1+x1=1 ； 左 =右;當(dāng)1f (x) = x，左邊=o f (x) dx =i ；左=右;當(dāng)2 1f (x) = x ,左邊=° f (x)dx =右邊=丄丄 1鳥2 16 2 1616 "右;故該插值求積公式具有一次代數(shù)精度。2.2梯形公式和Simpson公式1、（p.95，習(xí)題9）設(shè)已給出f（x）=1in4x的數(shù)據(jù)表,X0.000.250.500.751.00f(x)1.000 001.655 341.551 5

22、21.066 660.721 591分別用復(fù)化梯形法與復(fù)化辛普生法求積分I二o f （x） dx的近似值?！窘狻?1 )用復(fù)化梯形法：a =0,b =1, n =5,h二 1 =0.25n4Thh丫T5f(xQ m f(a) 2、f(xQ f(b)心22心T5 f(0.00) 2 f (0.25) f (0.50) f (0.75) f (1.00)2T5 =0.125 1.000002 (1.655341.551521.06666)0.72159T5 =1.28358(2 )用復(fù)化辛普生法：a = 0, b = 1, n = 2,h = b = 1 = 0.5n 2hnJ)f(Xk1)V f

23、(a) jf(xk2n -4)2、 f(xQ f(b)k T0 5S2 f (0.00) 4 f (0.25) f (0.75)2 f(0.50) f(1.00)6S21 1.00000 10.888 3.10304 0.72159 1.30939122、( p.95，習(xí)題10)設(shè)用復(fù)化梯形法計(jì)算積分|二jldx，為使截?cái)嗾`差不超過i 10，問應(yīng)當(dāng)劃分區(qū)間【0,1】為多少等分？如果改用復(fù)化辛普生法呢?【解】(1)用復(fù)化梯形法，a = 0,b = 1, f (x) = f'(x) = f ''(x) = ex，設(shè)需劃分n等分,則其截?cái)嗾`差表達(dá)式為:|Rt|=|I -Tn|

24、 =(b -a)312n2(1-0)3 ；12n3 e ；1依題意，要求I Rt N 102n2 -6e 105a：212.849，可取 n =213。(2)用復(fù)化辛普生法a = 0,b = 1, f (x) = f' (x) = f''''(x) = ex，截?cái)嗾`差表達(dá)式為:|Rs|I -Sn |=(b-a)5180(2n)45maxf''''(廠翳”猛?；1 5依題意，要求| RS |10 ，即25 < 1 10* 二 n4_e103.70666，可取 n=4，劃分 8 等分。2880n4214402.3數(shù)值微分

25、1、( p.96，習(xí)題24)導(dǎo)出三點(diǎn)公式(51)、(52)和(53)的余項(xiàng)表達(dá)式1f'(Xo)-3f(Xo) 4f(X1)-f(X2)(51)2h1f'(xj-f(x°) fg)(52)2h1f'X)f(x°)-4f(X1)3f(X2)(53)2h【解】如果只求節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值，利用插值型求導(dǎo)公式得到的余項(xiàng)表達(dá)式為f(n*)nR(xQ 二 f'(xQ - p'(xj7 H X W)(n +1)!jTj我由三點(diǎn)公式(51)、(52)和(53)可知，n =2,h-x0 =x2 -花，貝yR(X0)=有占 i2(X0-Xj"t3a(

26、X0-X1)(X0-xA%h2(2 1)! j3!3X1.01.11.2f(x)0.25000.22680.2066的數(shù)據(jù)表,設(shè)已給出f(X)'X)2R(xJ 二(21)( 1)丨丨(X1 Xj )二(2 1)! jj jj/2f'''(1)3!(x x0)(x1 x2) = 3!A "(X2_Xj)")(x2 - x0 )(x2 - Xj =3!f'''( 2)h22、( p.96，習(xí)題試用三點(diǎn)公式計(jì)算 f'(1.0), f'(1.1), f'(1.2)的值，并估計(jì)誤差。f'(1.0)

27、f'(1.1)f'(1.2)f(X)5 x)21 1-3f (1.0) 4f (1.1) - f (1.2)-3 0.2500 4 0.2268 - 0.2066 = -0.24702h2 0.11 1_ f (1.0) f (1.2) =-0.2500 0.2066 =0.21702h2 0.11 1f (1.0)-4f(1.1) 3f (1.2)0.2500-4 0.2268 3 0.2066 - -0.18702h2 0.11 2；=f'(x) 卞；二 f''(x)(1+x)(1 x)4；=f'''(x)=-24(1 x)5

28、 '【解】已知 x0 = 1.0, Xr = 1.1, x2 = 1.2, h = X<| - x()= X2 - X<| = 0.1，用三點(diǎn)公式計(jì)算微商：【思路島答案網(wǎng)】 整理提供用余項(xiàng)表達(dá)式計(jì)算誤差R(1.0) = f ( 0)h2-24 0.123f'''( 1)屮3(1 1.0)5-0.0025R(1.1)二3!fTh224 0.123!(1 1.0)5-24 0.12:0.00125亍-0.049673(1 1.1)【思路島答案網(wǎng)】 整理提供【思路島答案網(wǎng)】 整理提供3、( p.96，習(xí)題 26)設(shè)f(x)二sinx，分別取步長h =0.1

29、,0.01,0.001，用中點(diǎn)公式(52)計(jì)算f'(0.8)的值，令中間數(shù)據(jù)保留小數(shù)點(diǎn)后第 6位。【解】中心差商公式：f'(a) ： f(a h)f (a ，截?cái)嗾`差：R(h) = Jh2?？?2h3!見步長h越小，截?cái)嗾`差亦越小。(1) h = 0.1, x0 = 0.8 h = 0.7, x2 = 0.8 + h = 0.9,貝U1 1f'(0.8) sin(0.9) -sin(0.7)0.783327 - 0.644218 ： 0.695545 ；2h25.1(2) h = 0.01, x0 二 0.8 - h 二 0.79, x2 二 0.8 h = 0.81,

30、則1 1f'(0.8)sin( 0.81) -sin(0.79)0.724287 -0.710353 : 0.69672h2901(3) h =0.001,x0 =0.8 h = 0.799,x2 =0.8 h = 0.801,貝y1 1 f'(0.8) ： sin(0.801) -sin(0.799) ：0.718052 - 0.716659 ： 0.69652h2x0.01而精確值 f'(0.8) =cos(0.8) =0.6967067，可見當(dāng) h =0.01時(shí)得到的誤差最小。在h = 0.001時(shí)反而誤差增大的原因是f (0.8 h)與f (0.8 - h)很接

31、近，直接相減會(huì)造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失。因此，從舍入誤差的角度看，步長不宜太小。3.1 Euler 格式1、( p.124，題1)列出求解下列初值問題的歐拉格式2 2(1)y'= x - y (0_x_0.4)， y(0) =1，取 h = 0.2 ；y'=必 | +必 (1 EXE1.2)，y(0) =1，取 h =0.2 ；IX丿X【解】(1)yn 1 二 yn hy'n 二 £h(X； - 二 Yn 02 M - 丫7)；2 2(2)yn1 = ynh(磚仏)=yn0.2(聖上)。XnXnXnXn2、( p.124，題2)取h = 0.2，用歐拉方法求解初

32、值問題y' - - y - xy2 (0 _ x _ 0.6)，y(0) =1?！窘狻繗W拉格式：yn 1 二 ynhy'n二ynh(-yn -Xny；) = yn 0.2(-yn-Xnyi)；化簡后，yn1 =°.8yn -0.2xny；，計(jì)算結(jié)果見下表。n0123Xn0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.46131 23、( p.124，題3)取h = 0.1，用歐拉方法求解初值問題y'2-2y2(0_x_4)，1 + Xy(0) =0。并與精確解y 程 比較計(jì)算結(jié)果。1 +x【解】歐拉格式：1 2 1 2hyr h, x2yn)-yn 0

33、.2 - x2yn化簡后，yn j = yn -0.4y； -0電，計(jì)算結(jié)果見下表。1 +Xn1、( p.124，題7)用改進(jìn)的歐拉方法求解上述題2，并比較計(jì)算結(jié)果。【思路島答案網(wǎng)】 整理提供ypy=ynhf (Xn, yn) = Yn 皿-丫.二 yn hf (Xn, yp)二 yn h(-yp (yp yc)22 2-Xnyn) = 0.8yn -0.2Xnyn2 2-Xnyp)二 yn -0.2 (ypx.yp)。n0123Xn0.00.20.40.6yp1.00.67300.51470.3941yc0.760.70920.55640.4319yn0.880.69110.53560.41

34、3計(jì)算結(jié)果見下表。yn 1【解】公式：因?yàn)?y'= f (x,y) - -y - xy2(0 乞 x < 0.6)，h = 0.2，且 y(0) =1，則改進(jìn)的歐拉【思路島答案網(wǎng)】 整理提供與原結(jié)果比較見下表n0123Xn0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.4613yn(改進(jìn))0.880.69110.53560.4133.3龍格-庫塔方法1、( p.124，題11)用四階經(jīng)典的龍格-庫塔方法求解初值問題y' = 8-3y，y(0)=2，試取步長h =0.2計(jì)算y(0.4)的近似值，要求小數(shù)點(diǎn)后保留4位數(shù)字。【解】 四階經(jīng)典的龍格-庫塔方法公式：h%卅=

35、yn +：(K1 +2K2 +2K3 +K4)K1 二二 f(Xny)«k2=f (x1 ,ynK1)n+22K3 =f (xn甲，Yn22K2)K4二 f(Xn十，yn+ h©)列表求得y(0.4)如下:nXnyn00.02.00010.22.300420.42.46544.1迭代法及收斂定理(k =0,1,2,)，求201、( p.153，題1)試取Xo =1，用迭代公式Xk x： +2xk +10方程x3 2x210x-20=0的根，要求準(zhǔn)確到10。【解】 迭代計(jì)算結(jié)果列于下表kXk|Xk-Xk-11<0.001kXk|Xk-Xk-11<0.00111.5

36、38460.53846N61.365930.00937N21 1.295020.24344N :71.370090.00416N31.401820.10680N81.368240.00185N41.354210.04761N91.369060.00082Y51.375300.02109N因?yàn)?| X9 -x8 卜 0.00082 ： 10"，所以 X ： x9 =1.36906。12、 (p.153，題2)證明方程xcosx有且僅有一實(shí)根。試確定這樣的區(qū)間a,b，使迭21代過程xk彳cosxk對x0 a,b均收斂。2111 1【證明】設(shè)：g(x) cosx，則當(dāng)X，R時(shí)，g(x) c

37、osx,，且一階導(dǎo)數(shù)2 22 21 1 1 1 g'(x) = - QSin x 連續(xù)，| g'(x)鬥 - in x |空？ 1，所以迭代過程Xk 1 二?cosxk 對1x0 R均收斂。(壓縮映像定理)，方程xcosx有且僅有一實(shí)根。 證畢23、 ( p.153，題4)證明迭代過程xk 丁 =乞丄對任意初值x0 1均收斂于、2。2Xk【證明】設(shè)：g(x)=仝+1，對于任意x A1，因?yàn)?xi- 12 ，所以 g(x) .2。2 x2 x V 2 x111x1一階導(dǎo)數(shù)g'(x)21，根據(jù)壓縮映像定理，迭代公式Xk 1 k 對任意2x22xkx 1初值x0 1均收斂。假

38、設(shè)lim xk = x ，對迭代式xk 1 k 兩邊取極限，則有十2Xk宀吉，則22 = 2，解得x7，因宀出不在心范圍內(nèi)，須舍去。4.2牛頓迭代法1、(p.154，題17)試用牛頓迭代法求下列方程的根，要求計(jì)算結(jié)果有4位有效數(shù)字:(1)x3_3x_1=0， x0 = 2(2)x2 -3x _ex 2=0， x0 = 1【解】(1)Xk 1二 Xk設(shè) f (x)二 x3 -3x -1，則3f (Xk)Xk -3XkXkf'(Xk)2f'(x) = 3x -3，牛頓迭代公式：=2xk1(k二0,1,2,)，迭代計(jì)算過3x： 一 33(x：-1)'【思路島答案網(wǎng)】 整理提供

39、因?yàn)?| x3 -x2 |： 0.00006 ： 10鼻，所以 xx3 =1.879。(2)設(shè) f (x) = x2 -3x-ex 2，則 f'(x) = 2x-3-ex，牛頓迭代公式：=xj/(Xk-0-2化=0,1,2,)f(Xk)、， Xk 3Xk e +2xk 1 = xkxk -'f (xk)2Xk -3-eXk2Xk _3_eXk程見下列表。kXk:k-Xk-11<0.0001kXk|Xk-Xk-1|<0.000111.888890.11111N31.879390.00006Y21.879450.00944N :【思路島答案網(wǎng)】 整理提供，迭代計(jì)算過程見

40、下列表。kXk|Xk-Xk-11<0.0001kXk:k-Xk-11<0.00110.268940.73106N30.257530.00014N20.257390.01155N40.257530.00000Y所以 x” : x4 =0.2575。因?yàn)?|x3 x2 I： 0.00000 ： 10*2、( p.154，題18)應(yīng)用牛頓法于方程x3 - a = 0，導(dǎo)出求立方根3 a(a 0)的迭代公式,并證明該迭代公式具有二階收斂性。【證明】(1)設(shè)：f (x) = x3 - a，2f'(x) = 3x，對任意X 0，牛頓迭代公式33xk -a2xk akk= 0,1,2,3

41、x：3xi(2)由以上迭代公式，有:kXmKHk/Vg3-a+ 23X2-g"3(T)xMXk 1 -X ' =g(Xk) -g(x ) =g'(x )(Xk-x )豊Xk -x )22!【思路島答案網(wǎng)】 整理提供【思路島答案網(wǎng)】 整理提供km(:二；2= g”2；J：，可見該迭代公式具有二階收斂性。證畢【思路島答案網(wǎng)】 整理提供(1)【思路島答案網(wǎng)】 整理提供(1)5.1線性方程組迭代公式1、（ p.17O，題1）用雅可比迭代與高斯-賽德爾迭代求解方程組:3X1 X 2，要求結(jié)X1 2x2 = 1果有3位有效數(shù)字。【解】 雅可比迭代公式:x；k d）1(k)21(k

42、)X2(2X2 )3331 (k)11(k)X1(1-花)2 22迭代計(jì)算結(jié)果列于下表。k(k)X1()x2k)i(k)(k)-| Xi- X；丿 |Ix2k)-x2k4|< 0.0005 ?000-12/31/22/31/2N21/21/61/61/3N311/181/41/91/12N47/127/361/361/18N50.601850.208330.018520.01389N60.597220.199080.004630.00925N70.600310.201390.003090.00231N80.599540.199850.000770.00154N90.600050.2002

43、30.000510.00038N100.599920.199980.000030.00025Y3位有效數(shù)，則誤差限為(k 1)X20.200 ；1位不為零的小數(shù)，要取,x110)0.600;x2、x210)由上表可見，所求根皆為小數(shù)點(diǎn)后第1 10 "。2X1(k 1)高斯-賽德爾迭代公式:1X23(k)沁（心），迭代計(jì)算結(jié)果列于下表。丄X1(k1)J(1 x2k)2 2 6kX1(k)x2k)|X1(k)-xI< 0.0005 ?000-12/31/62/31/6N20.61110.1944N30.60190.19910.00920.0047N40.60030.19990.00

44、160.0008N50.60000.19990.00030.0000Yk 1)x；x；5)0.600;x2x25)0.200 ；2、（ p.171，題17）取用-1.25，用松弛法求解下列方程組，要求精度為10 *。24x1 3x2 = 163x1 4x2 -x3 二 20-x2 ' 4x3 = -12【思路島答案網(wǎng)】 整理提供(1)【解】歐先寫出高斯-賽德爾迭代:(k出)X13 (k)-X24(k 1)X23 (k)_4X1x2k)16 (k 1)X31 (k)2-3 9x2k) 丄x3k)6416引入松弛因子,(k 1)X1=(1(k)-')X1(k1)1(k)X1（k 1

45、）x2k d)=(1k)2(k1)(k 1)X2(2)x3k d)=(1）x3k）(k1)3k)將方程組（1）代入（2），并化簡(k 1)X31(k)4X115(k)(k 1)X29 (k)_ 64 X2J16(k 1)X345(k)11 (k)64 X325256【思路島答案網(wǎng)】 整理提供(1)計(jì)算結(jié)果見下表。k(k) x；)x2k)x3k)1(k)(k4) |X1()-x；) |x2k)-x2k)i|x3k)-x3k)i<e?0000-152.5-3.12552.53.125N21.406252.65625-2.14844N32.158203.03223-2.28882N41.611733.15872-2.19860N51.635773.24423-2.19187N61.549593.28508-2.17800N71.532843.30793-2.17320N81.515613.31978-2.17001N91.508803.32615-2