對數(shù)平均數(shù)的不等式鏈的幾何解釋及應(yīng)用

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載對數(shù)平均數(shù)的不等式鏈的幾何解釋及應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)教育專家安振平先生在剖析2014年陜西高考數(shù)學(xué)試題時(shí)指出，其壓軸題的理論背景是:a + b a b Ja b設(shè)a,b0,a H b,則 >> Tab，其中被稱之為對數(shù)平均數(shù).2 In a InbIn a Inb童永奇老師構(gòu)造函數(shù)，借助于導(dǎo)數(shù)證明了對數(shù)平均數(shù)的上述不等式，難度較大，為此, 探討，給出對數(shù)平均數(shù)的不等關(guān)系的幾何解釋，形象直觀，易于理解.1對數(shù)平均數(shù)的不等關(guān)系的幾何解釋1f（x） = （x>0 ）的圖象，如圖所示，AP IlBCllTU U KVx我作了深入地反比例函數(shù)，MN II CD U x 軸,fa

2、+ b怎丿,作f（x）在點(diǎn)KW'訐J- B(b,0 ),Q b,1" Jab,- a丿I b丿因?yàn)镾曲邊梯形abqP > S梯形ABFE - S矩形ABNM ，(b- a),b 1所以 A -dx= In b- In a> Q X又竊邊梯形AUTPVab 1百dx= In vab- In a , X1 1=2(ln b- ln a)=目邊梯形 ABQP，S梯形AUTP = 2?|+ 法齊-a)= 2? Tab 2 盼ABCD，根據(jù)右圖可知,Sa邊梯形AUTP < S梯形AUTP ，所以ln b- ln a <b- aTab '另外，氐形ABQX

3、< &邊梯形ABQP < S梯形aBQP < S矩形aBYP，可得:(b- a)< Inb- b')lna<2l+b 眇 a)<綜上，結(jié)合重要不等式可知:1(b- a)<4<lnb- b')a+ bIn a <b- a 忌<1v-(b- a), a即b>u b- a >2 ln b- ln aTab >2> a1 1a b(b> a> 0).2不等式鏈的應(yīng)用對數(shù)平均數(shù)的不等式鏈，提供了多種巧妙放縮的途徑，可以用來證明含自然對數(shù)的不等式問題對數(shù) 平均數(shù)的不等式鏈包含多個(gè)不等式，

4、我們可以根據(jù)證題需要合理選取其中一個(gè)達(dá)到不等式證明的目的.2.1b- ab>>a(a>0)的應(yīng)用(2014年陜西)設(shè)函數(shù) f(x) = ln(1+x)，g(x) = xf'(x)，其中 f'(x)是 f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)(2)(略)設(shè)n亡N+，比較g(1 )+g(2 )+HI + g(n )與n f (n )的大小，并加以證明.解析(3)因?yàn)?g(X )=1 +x12n廣所以他+曲廣川+g(n)寸2+1片百e而 n-f (n) = n-ln(n+1),因此，比較 g(1 )+g(2g(n )與n-f(n)的大小，即只需比較1 1 1+與ln(n +1 )的

5、大小即可.23 n +1b a1根據(jù) b>a>0, b>，即 b(b- a)<lnb- lna,1令 a = n,b= n + 1,則< ln(n + 1)- In n,n+ 1111n +1所以一< l n2T n1 = l n2 , - < l n3T n2 , HI,< l n(n + 1)T nn ,231 1 1將以上各不等式左右兩邊相加得：一中中11 (+< In (n +1),23 n +1故 g + g(2)+H| + g(n)An- f (n).評(píng)注 本題是高考試題的壓軸題，難度較大，為了降低試題的難度采取多步設(shè)問，層層遞

6、進(jìn)，上問結(jié) 論，用于下問，其第二問是為第三問做鋪墊的“梯子”，盡管如此，步驟依然繁瑣，求解過程復(fù)雜，但我 們這里應(yīng)用對數(shù)平均數(shù)不等式鏈來證明，思路簡捷，別具新意，易于學(xué)生理解、掌握.當(dāng)b> a> 0時(shí)，In b- In ab- a1> a，即 In b- In av - (b- a),令 a = n,b = n + 1, a11則 ln(n + 1)- Innv,可得：ln(n +1)<1+ n21+L(2012年天津)已知函數(shù) f(x) = x I n(x+ axaO )的最小值為o.(1)n 2(2)(略)(3)證明：送 一一ln(2n + 1)<2(n忘 N

7、 * ). y 2i -1解析(3)易求a =1，待證不等式等價(jià)于 2 +23572+ 111 +<l n(2n+1).2n 1b a根據(jù)b> a> 0時(shí)，b> Inb- Ina1，即 b(b- a)<In b- In a,令 a = 2n-1,b=2n+1,2<2n+ 1ln(2n+ 1)- ln(2n- 1),In3-In1, 2/a + bb- a 小，J> (b> a> 0)的應(yīng)用V 2 Inb- Ina< In5- In3, 2 < In7- In5,L ,572(n+1)-1<In(2n+1)-In(2n-1)

8、,將以上各不等式左右兩邊分別相加得:5 7川需2n+12 cln(2n+1 ),2.22 2 越Tnm2 一茁V得證.例3設(shè)數(shù)列aj的通項(xiàng)anJn(n +1) + 1,其前n項(xiàng)的和為Sn ,證明：Sn <1 n(n +1).解析 根據(jù)b> a> 0時(shí),戸>令b= n + 1,a = n,則 ln(n + 1)- lnn>2.3a+ b b- a> 解析b- a，即 In b-Inb- Inalna> d(b- a)Taw42Jn2 + (n+ 1)2 J2n2 + 2n+ 1> J2n2 + 2n+ 2> an，易證 & <l

9、n (n + 1).(b> a> 0)的應(yīng)用2 In b- Ina'1設(shè)數(shù)列a,的通項(xiàng)an =1中-11+ - + |( + -，證明：an < In(2n +1).3n根據(jù)b>a>0時(shí)，學(xué)>，即 Inb- lna> 2(b- a)Inb- Inaa+ b1令b= 2n + 1,a = 2n- 1,則 ln(2n+ 1)- In(2n- 1)> ,易證 an < In(2n + 1). n2.4In b- Ina21 _1+ -b5( 2010年湖北)y = x-(1)(b> a> 0)的應(yīng)用已知函數(shù)f(x)二ax +c

10、(a> 0)的圖象在點(diǎn)(1, f (1)處的切線方程為證明：1+L + >23n(1)b= a- 1,c= 1- 2a ;當(dāng)b>cb- aa> 0時(shí)，(略)用a表示出b, c ；(2)解析Inb- InaIn (n + 1) +>2(n+ 1)(n ?1).21,即 ln b- l+ b 壬b- a),令 a= n,b= n + 1,則 In (n + 1)- Innv所以 In 2- In1 < 1?1 iln3- ln2v2 -1驏驏1亠I2桫 +3iL，ln(n +1)- lnn*1 桫將以上各不等式左右兩邊分別相加得:ln(n+1)< 2+彩+

11、1 -+37+l2(n+ 1)'即 ln(n +1)<1+2+1 -+312(n+1)2,故1+1+1+L + T>3nln(n+ 1)+2(n+ 1)(1)(2013年新課標(biāo)I)已知函數(shù)f (x)=l nd + xl-X + x)若X 3 0時(shí)，f (X)蘭0,求A的最小值;設(shè)數(shù)列 4的通項(xiàng)an =1+ 1 + 1，證明:23 n1a2n - an r >ln2 .4n解析(1)易得 f (0 )= 0, f '(X)=(1 一2幾)x- AX22(1 + X),1 2k令 f (x) = 0,則 x=0,x =Af(x)A f(0)=0,不符合題意；若若幾

12、< 0 ,則當(dāng)X A 0時(shí)，f ( X ) A 0, f ( X )是增函數(shù),OEac1，則當(dāng)0<xc匕"時(shí)，f'(x)>0, f(x)是增函數(shù)，f (x)> f (0)=0,不符合題意;2A1心2，則當(dāng)5時(shí)nomx)是減函數(shù)，f(X)f 0)7符合題意;綜上，幾的最小值是1 2(2)當(dāng) b> a> 0時(shí),b- a > ln b- ln a2T + aJ'即lnb-1門*<1桫|+¥ib- a)，b令 a = n,b = n + 1,則ln(n+ 1)- lnn< 1?| +所以 ln(n+ 1)- In

13、 n<In2n-2)- In (n+ 1)<+ 11亠:n+ 2 -3)- ln(n+2)<1l2?n+-2+ n+ 3，Lln(2n- 1)<1ln17+2n將以上各不等式左右兩邊分別相加得:In2n- lnn<1驏2S +2+n+ 12+n+ 22 + 2n- 1即 ln2<2n+in+7+ n+ 2+ n+ 3+ L亠1+ 2n- 1才 4n'故丄+n+1 n+21 1+川+丄+丄l n2 2n 4n評(píng)注本題提供標(biāo)準(zhǔn)答案是借助于第一問的的最小值幾=1時(shí),21加以賦值，并進(jìn)行變形，令x = kl212 k +k丿1,1 (1 1 、"O

14、+kik-曠丙丿達(dá)到放縮的目的.兩者相比較，自然是運(yùn)用對數(shù)平均值的不等式鏈的方2.5占>(b>a>0)的應(yīng)用X +1成立.(1)(略)求證:2 + - +4<12 -14X22 -14咒于一14+11 +>-In (2n+1)對一切正整數(shù) n 均4x n 14解析b a根據(jù) b> a > 0時(shí)，一>Inb- InaTab，即 ln b- lna<(2014福建預(yù)賽)已知 f(x)=aln(x+1)+丄 +3x-1.令 b = 2n + 1,a = 2n- 1,則 ln(2n + 1)- In (2n- 1)<1 彳 變形可得：一輊(2

15、 n+1)- l n(2 n- 1) <24 'J4n2- 144n2- 1n+ 1E則1(1 n3- In1)v 2, -(ln5- In3)v4') 4?12 1 4')324? 22 1丄，n+ 1)- In(2n- 1) <n+ 124n - 1將以上各不等式左右兩邊相加得:2,3,4+4x1 _i 4x22-14x32-1+川+冊ihn(2 n+1)對一切正整數(shù)n均成立.4即丄x+11評(píng)注 本題提供標(biāo)準(zhǔn)答案是借助于第一問的a的最小值a =-2時(shí)，-21n(x + 1) +3x-1a0,x + 1+ 3x-1a2In(x+1 ),結(jié)合待證不等式的特征,k+14k2 1-1 >2ln(+1)2k-12k-11>-ln (2k +1 )-ln (2k -1),借此作為放縮的途徑達(dá)到名校模擬數(shù)學(xué)試題、高考數(shù)學(xué)真題的理論背景，正對數(shù)平均數(shù)的不等式鏈的運(yùn)用是近幾年數(shù)學(xué)競賽、如羅增儒教授指出：通過有限的典型考題的學(xué)習(xí)