常微分方程考研講義第五章線性微分方程組

1、第五章線性微分方程組教學目標 1-理解線性微分方程組解的存在唯一性定理掌握一階齊（非齊）線性微分方程組解的性質與結構，2.理解n階線性微分方程與一階線性微分方程組的關系。3.掌握非齊次線性微分方程組的常數(shù)變易法,4-理解常系數(shù)齊線性微分方程組基解矩陣的概念，掌握求基解矩陣的方法。5.掌握常系數(shù)線性微分方程組的Lapice變換法。教學中難點求解常系數(shù)非齊次線性微分方程組 教學方法講授,實踐。教學時間16學時 教學內§ n階線性微分方程與一階線性微分方程組的關系，一階線性微分方程組解 的存在唯一性定理；齊（非齊）線性微分方程組解的性質與結構,求解非齊次線性微 分方程組的常數(shù)變易法；常系數(shù)

2、齊線性微分方程組的基解矩陣及求基解矩陣的方法； 求常系數(shù)線性微分方程組的Lapice變換法。考核目標 1線性微分方程組解的性質與結構。2能夠求解常系數(shù)線性微分方程組。§5.1存在唯一性定理5.1起記號和定義考察形如西+4|2(0吃+ 仏(/)?！?/1(/)X；=切(0兀|+如")吃+ d2”(0 九+7(。X；="川(0西+0”2(。兀2 + 4冊«)耳+/L(f)(5.1) 的一階線性微分方程組，其中已知函數(shù)則(/)(jj = 12屮)和/；(加=12/)在區(qū) 間上上是連續(xù)的。方程組(5.1 )關于心心7及粘心乂是線性的.(5.2)引進下面的記號:&

3、quot;u 如«12(0必)5%2(f)%(f)A(f) =這里A(f)是"X“矩陣，它的元素是”2個函數(shù)ag(r)(jJ = 12j?).f(f)=£x =兀2«y=A.這里/(0, JI丿是"X1矩陣或H維列向量。注意,矩陣相加.矩陣相乘、矩陣與純量相乘等等性質對于以函數(shù)作為元素的矩 陣同樣成立。這樣一來，方程組(5.1)可以寫成下面的形式(5.4)x' = A(t)x + /(f)引進下面的概念。一個矩陣或者一個向量在區(qū)間</?上稱為連續(xù)的如果它的每一個元素都是 區(qū)間a<t<b±_的連續(xù)函數(shù)。個矩陣B

4、(0或者一維歹I向量"(/):11(0鮎饑(f)“B(f) =“21 (f)竝瓦(f) H(f) =“2«g如(f)化”(f)_山0在區(qū)間a<t<b上稱為可微的,如果它的每一個元素都在區(qū)間a<t<b上可微。它們 的導數(shù)分別由下式給出：絡堆b；3M林f）竝b；”（f） If (0 =如如饑（f）_見_Bt) =不難證明，如果心矩陣A（t） . 5（0及n維向量“（0 叩）是可微的，那么下列 等我立：(I ) A(t) + B(t) =A(tY + B(tY（w（z）+v（z）/ =i/（zy+v（zy（n）（/i（o s（o/ = WB+A（f）B（F

5、y (m ) (A(f)M(r)j=A(ry“(O + Awr類似地，矩陣B（f）或者向量“在區(qū)間a<t<b±為可積的如果它的每一個 元素都在區(qū)間<7</</>上可積。它們的積分分別由下式給出：勺（0山 f b門山 b£）dfj： B df =Jl山九df毎3"仙（M 如山仇“山 絢（MJ “r心山Ja現(xiàn)在我們給出（5.4 ）的解的定義:定義1設A（z）是區(qū)間a<t<b上的連續(xù)nxn矩陣,/（f）是同一區(qū)間a<t<b上的 連續(xù)八維向量。方程組y = A兀+/（f） 在某區(qū)間a<t<p （這里a

6、0uW問）的解就是向量“，它的導數(shù)諷0在區(qū)間 g<£上連續(xù)且滿足 川(0 = A(f)"(f) + /(/) , a<t<p現(xiàn)在考慮帶有初始條件班G）= 的方程組（5.4 ），這里r。是區(qū)間a<t<b上的 已知數(shù)，是維歐幾里得空間的已知向量.在這樣條件下求解方程組稱為初值問題。定義2初值問題的解就是方程組（5.4）在包含厶的區(qū)間a<t<p上的解w（z）,使得"仏 例2驗證向量-pF是初值問題在區(qū)間Y0 </ < 上的解。解顯然0"1-e"(0) =因為£'和-0處處有連續(xù)導

7、數(shù)，我們得到“(f)-因此»（/）是給定初值問題的解。正如在第而童所看到的，當” =1時，我們可以得到初值問題（5.5 ）的解的明顯 表達式，當fi>2時，情況就復雜多了。在第四童中我們討論了帶有初始條件的階線性微分方程的初值問題?，F(xiàn)在逬 一步指出,可以通過下面的方法，將階線性微分方程的初值問題化為形如（5.5 ）的 線性微分方程組的初值問題。考慮"階線性微分方程的初值問題+ q(r)x5 n + %7()兀'+ %(0開=y (0.“0 ) = 7p ) = "2，,7 (f。)= %(5.6)其中州4 (f)“ 巾4,心是已知常數(shù)。(0 r /是

8、區(qū)間a</<6上的已知連續(xù)函數(shù)，/o ea,b, 我們指出,它可以化為下列線性微分方程組的初值問題 010 0 " 0 00I 00 X +0000 1一心一心2一®(f)丿一X=L%(57) 其中”x =A«y=事實上，令X,=兀吃=xXy=f g"這時=% =%3尤-| = XnXr =爐)=9(/)入+/(0而且X（fo）l =兀仏）=m * 兀（，0）2 = X（厶）=“29 、兀（，0）= X "（，0）=久現(xiàn)在假設肖（r）是在包含G的區(qū)間Q < f < /?上（5.6 ）的任一解。由此，得知0（f）”（”）在

9、4上存在、連續(xù)、滿朋程（5.6）且0(f)=q(f)®其中 q（o=0a）,®a）=p'a）,，®（f）=57>（f）（d</<b）, sb 么，顯然有0（心）=。此外，妨 必）以/) 心)輕5V 卩二 ":(/)廠” 嚴.以f)-匕暢(/) + /(必）=卩衛(wèi)) 01 00卩0列00 10卩(/)0=««V+禺00 01段 T（f）0F (/)%(,)竹監(jiān)(/) + “)-“2(0代f.這就表示這個特定的向量0（0是（5.7 ）的解。反之，假設向量“是在包含心的 區(qū)間a<t<b±5.7

10、）的解。令“(f)=«i(0“2(0并定義函數(shù)叩） = 5（0 ,由（5.7 ）的第一個方程,我們得到M（r） = M（f）+2（f）,由 第二個方程得到屛="；二巧（小，由第H-1個方程得到卜嚴”=<,（0 = ，由第"個方程得到加)(f) = "：() =-詢)旳-(52(0«2(f)%Li(r)-坷(f)叫(0+/(r)= -q(f)M"Li>(f)一 勺"“)%(f)w(f) + /(f) 由此即得加'(0 + &心)宀(0 + 6(0加叱)+ /)w(/) = /a)同時,我們也得到W（

11、fo）= 仏）=辦9 W ）（心）=心（4）=久這就是說，W）是（5.6 ）的f解?？傊?，由上面的討論，我們已經證明了初值問題（5.6 ）與（5.7 ）在下面的意義 下是等價的：給定其中一個初值問題的解,我們可以構造另一個初值問題的解。值得指出的是：每一個"階線性微分方程可化為"個一階線性微分方程構成的方 程組，反之卻不成立。例如方程組兀2不能化為一個二階微分方程。5.1.2存在唯一性走理本節(jié)我們硏究初值問題V = A(Ox + /(O ,兀(心)=(5.5)對于矩陣A =的解的存在唯一tts理。類似與第三章我們通過五個小命題采用逐步逼近法來證 明定理。因為現(xiàn)在討論的是方程

12、組（寫成向量的形式）,所以有些地方稍微復雜些, 而且要弓進向量、矩陣的"范數(shù)"及向量函數(shù)序歹啲收斂性等概念；然而由于方程是 線性的，所以有些地方又顯得簡單些,而且結論也加強了?？傊?我們要t匕較第三童 中的證明和現(xiàn)在的證明的異同從對比中加深對問題的理解。,我們定義它的范數(shù)為兀r-)設AB是”X/?矩陣，J ,，是維向量，這時容易驗證下面兩個性質：1 ） |AB卜制卜網 |樹|引州卜x+y|<向量序列兀,無=,稱為收斂的，如果對每一個0 = 12川）數(shù)列仇都是收斂的。L心向量函數(shù)序列儀,忑（f） =稱為在區(qū)間a<t<b上收斂的（一致收斂心.的），如果對于每一

13、個j（r = 12川）函數(shù)序列戀在區(qū)間a<i<b±.是收斂的（一致收斂的），易知，區(qū)間a<t<b±_的連續(xù)向量函數(shù)序列忑的一致收斂極限 向量函數(shù)仍是連續(xù)的。向量函數(shù)級數(shù)稱為在區(qū)間67上是收斂的（一致收斂的）,如果其部A-I分和作成的向量函數(shù)厚列在區(qū)間d< / <上是收斂的（一致收斂的）。判別通常的函數(shù)級數(shù)的一致收斂性的維氏判別法對于向量函數(shù)級數(shù)也是成立的 這就是說,如果xJO <陸，a<t<b而級數(shù)工M*是收斂的，則Z忑在區(qū)間da <b上是一致收斂的。 jt-ijt-i積分號下取極限的定理對于向*函數(shù)也成立，這就是

14、說，如果連續(xù)向量函數(shù)睜列 憾（f）在區(qū)間dGG上是一致收斂的,則fbfbliin屁f = liin (z)Jr*fxJd *Jo Jt-x *注意，以±談到的是向量序列的有關定義和結果.對于一8陣序列.可以得到 類似的定義和結果。稱為收斂的，如卿抒-切例如，心“矩陣J?列4，其中人= M = 12/，數(shù)列附都是收斂的。無窮矩陣級數(shù)4 = 4 + 人 + + 4 + jt-i稱為收斂的如果它的部分和所成序列是收斂的。如果對于每f整數(shù)而數(shù)值級數(shù)M衣是收斂的，則2； 4也是收斂的。A-IA-I同樣,可以給出無窮矩陣函數(shù)級數(shù)工人的一致收斂性的定義和有關結果。jt-i走理1 （存在唯T4定理）

15、如果A（f）是矩陣。f是n維列向量,它們都在區(qū)間 a</<上連續(xù),則對于區(qū)間上的任何數(shù)厶及任一常數(shù)向量=L%(5.4)方程組x' = Atx + /(f)存在唯一解0（0 定義于整個區(qū)間a<t<b上且滿足初始條件類似于第三童,我們分成五個小命題來證明.命題1設0（0是方程組（5.4 ）的定義與區(qū)間aG<b上且滿足初始條件0仏）= 的解,貝!）0（0是積分方程v(f) = + J A($)x($)+ /($)"$ , ci<t <b(5.8) 的定義于a<t<b上的連續(xù)解，反之亦然。證明完全類1以于第三童,茲不累螯?，F(xiàn)在取網

16、（0 = 4 ,構造皮卡逐步逼近向量函數(shù)序列如下:曲)=叭(f) = " +人($)件_ G) + /($)$，a<t<b k = 1.2,向量函數(shù)久稱為(5.4)的第R次近似解。應用數(shù)學歸納法立刻推得命題2 :命題2對于所有的正整數(shù)A ,向量函數(shù)0在區(qū)間a G Sb上有定義且連續(xù)。命題3向量函數(shù)序列 (r)在區(qū)間a<t<b上是一致收斂的。命題40(0是積分方程(5.8 )的定義在區(qū)間dQ <b上的連續(xù)解。命題5(a<t<b )。設<(0是積分方程(5.8 )的定義于<7</<&上的f 連續(xù)解,貝!10(f)三

17、0(0綜合命題1 5，即得到存在唯T4定理的證明。值得指出的是，關于線性微分方程組的解0(0的定義區(qū)間是系數(shù)矩陣A和非 齊次項/在其上連續(xù)的整個區(qū)間a<t<b.在構造逐步逼近函數(shù)序列似(/)時, 件的定義區(qū)間已經是整個g<b .不像第三章對于一般方程另游，解只存在于 的某個鄰域，然后經過延拓才能使解定義在較大的區(qū)間。注意到5.1.1中關于階線性方程的初值問題(5.6 )與線性微分方程組的初值問 題(5.7 )的等價性的論述,立即由本節(jié)的存在唯一性定理可以推得關于”階線性微分 方程的解的存在唯TiS理。推論(即第四章的定理1 )如果q,厲，/都是區(qū)間a<t<b上的連

18、續(xù)函數(shù)， 則對于區(qū)間a<t<b±.的任何數(shù)G及任何的險皿方程劉)+訶嚴 +%(加+©(小=/(f)存在唯一解職0 ,定義于整個區(qū)間<b上且滿足初始條件:吆0)= "|*億)=險加"('0)=久。§5.2線性微分方程組的一般理論現(xiàn)在討論線性微分方程組y = A(z)x+/(o(5.14 )的一般理論，主要是硏究它的解的結構問題。如果/（f ） M 0 ,則（5.14 ）稱為非齊線性的。如果/（0=0，則方程的形式為(5.15)* = At)x稱（5.15 ）為齊線性方程組通常（5.15 ）稱為對應于（5.14 ）的齊線性

19、方程組。5.2.1齊線性微分方程組本段主要硏究齊線性方程組（5.15）的所有解的集合的代數(shù)結構問題。我們假 設矩陣A（f）在區(qū)間d < / < b上是連續(xù)的。設”和叩）是（5.15 ）的任意兩個解,a和0是兩個任意常數(shù)。根據向量函數(shù) 的微分法則，即知如+ 0叩）也是（5.15 ）的解,由此得到齊線性方程組的壘加原 理。走理2 （益加原理）如果“（0和叩）是（5.15 ）的解，則它們的線性組合 創(chuàng)+0叩）也是（5.15 ）的解，這里a , 0是任竜常數(shù)。定理2說明，（5.15）的所有解的集合構成f 線性空間。自然要問：此空間的 維數(shù)是多少呢？為此，我們引進向量函數(shù)XQ",也

20、線性相關與線性無關的 概念。設N心（f）,O衛(wèi)）是定義在區(qū)間«</</?上的向量函數(shù)，如果存在不全為零的 常數(shù)使得恒等式ClX,(Z)+ C.X2(0 + '" +, a<t<b成立；稱向量函數(shù)和小心"，心在區(qū)間cad上線性相關，否則稱 召宀（"宀為線性無關的。設有“個定義在區(qū)間a<t<b上的向量函數(shù)X|(f)=皿） 靭,，叫-榔f) 吃 “(f)一心一由這"個向量函數(shù)構成的行列式W卜|（/）宀（"心（f）三w（f）三召2（。心(f)靭七24心(f) 4兀2"#)稱為這些向量函數(shù)的

21、伏朗斯基行列式。走理3如果向量函數(shù)西內,幾在區(qū)間"QWb上線性相關則它們的伏朗 斯基行列式VV（z） = 0 , a<t<b(5.16)證明 由假設可知存在不全為零的常數(shù)q心工“使得勺再(0+<?2大2("+ _大0三° , a<t<b把（5.16 ）看成是以為未知量的齊次線性代數(shù)方程組,這方程組的系數(shù)行 列式就是X,（Z）,吃（F）,，兀的伏朗斯基行列式W。由齊次線性代數(shù)方程組的理論 知道,要此方程組有非零解,則它的系數(shù)行列式應為零,即W(t) = O , a<t<b定理證畢。走理4 如果（5.15 ）的解兀衛(wèi)）內，心線

22、性無關那么,它們的伏朗斯基行列 式W（"0 , a<t<b.證明 我們采用反證法。設有某一個m , a<t,<h，使得W仏）= 0?？紤]下面的齊次 線性代數(shù)方程組：c 內(G + CrVe"+ %£(心)三 0 (5.17) 5.18 )它的系數(shù)行列式就是”仏），因為W（Z,） = 0 ,所以（5.17 ）有非零解忌，以 這個非零解,©構成向量函數(shù)班0 :X（F）三&內（0+0必2（0+ 4Xn（f）根據定理2 ,易知班0是（5.15）的解。注意到（5.17）,知道這個解x（r）滿足初始 條件(5.19)心）=0但是，在a

23、</<b上恒等于零的向量函數(shù)0也是（5.15 ）的滿足初始條件（5.19 ）的 解。由解的唯一性,知道的）三0 ,即站+輕+昭三0 a<t<b因為 g.c不全為零，這就與K(f)內(O心線性無關的假設矛盾，定理得證。由定理3，定理4可以知道，由(5.15)的"個解乳衛(wèi)人兀衛(wèi)人“作成的伏朗 斯基行列式VV(z),或者恒等于零或者恒不等于零.走理5( 5.15 )定存在"個線性無關的解西(f)2(f),，兀.證明 任取4 4問根據解的存在唯一性定理 ( 5.15 )分別滿足初始條件T"0"o'0100宀(心)=0，,和5)=0

24、_0_04丄的解召(f),x2(r)-定存在。又因為這"個解召入，人(f)的伏朗斯基行 列式W(f°) = &o，故根據定理3 ,和f)宀，撿是線性無關的，定理證畢。走理6如果兀i(f)H，兀是(5.15 )的”個線性無關的解,則(5.15 )的任一 解班0均可表為x(r) = CX(r)+qx2(')+ + qA(f)這里片Cp£是相應的確定常數(shù)。(5.20 )證明任取4 00，令班心)=C內館)+ 2七仏)+ CN (Z )把(5.20 )看作是以54 為未知量的線性代數(shù)方程組。這方程組的系數(shù)行列式 就是W(G。因為.勺內，宀是線性無關的，根據

25、定理4知道由 線性代數(shù)方程組的理論,方程組(5.20)有唯一解50,S。以這組確定了的qg,q構成向量函數(shù)C內+個血+(?”兀(0 ,那么根據壘加原理，它是 (5.15 )的解。注意到(5.20 )，可知(5.15 )的兩個解M)及C內(0 + <?/2(/)+ q兀具有相同的初始條件。由解的唯一性，得到X(Z)HqX,(Z)+C2X2(O+'" + V(Z)定理證畢。推論1(5.15)的線性無關解的最大個數(shù)等于H (5.15 )的"個線性無關的解K(f)/2(a心稱為(5.15 )的一個基本解組。 顯然，(5.15 )具有無窮多個不同的基本解組由定理5和定理

26、6 ,我們知道(5.15)的解空間的維數(shù)是八即(5.15)的所有解 構成了 一個"維的線性空間注意到5.1.1節(jié)關于"階線性微分方程的初值問題(5.6 )與線性微分方程組的初 值問題(5.7 )的等價性本節(jié)的所有定理都可以平行地推論到n階線性微分方程上去。從本節(jié)的定理2容易推得第四童的定理2。參看4.1.2中關于純量函數(shù)組的線性相關概 念，可以證明：一組-1次可微的純量函數(shù)冊內,心 線性相關的充要條件 是向量函數(shù)-豹)" X(f)*«X,(0 x；(r)«*«»«護(f)_«XT'S線性相關。事實

27、上,如果冊(FM衛(wèi))，召(f)線性相關.則存在不全為零的常數(shù) q 心，© 使得C內+牡+加=0將上式對/微分一次，二;欠一1次,得到cK(/) + C2X；(f) + c/；(0=0qx；") +) Hh 5X；(f ) = 0W；i(f) + c*；i(r)+(0 = 0即有西(f)吃耳(/)X；(/)t+ °2x;(/)4(0屮(0xr*'(z)_*這就是說,向量函數(shù)組(*)是線性相關的。反之，如果向量函數(shù)(*)線性相關則 存在不全為零的常數(shù)竹0宀,5使得(*)成立，當然有<?內(0 +彳兀(0+ 4兀炳("=0 ,這就裘明兀心),勺(

28、。，血線性相關。推論2如果召,X, (Z),x”是階微分方程嚴+qa）嚴+ ©（小=0（5.21）的"個線性無關解，其中4（04是區(qū)間a<t<b±_的連續(xù)函數(shù),則（5.21）的 任一解X均可表為X（F）三 CM（O+C2 兀2（f） + + c>r“（f）這里G c?, 心是相應的確定常數(shù)。如果兀心）入（小.x/f）是（5.21）的”個線性無關解，根據H階微分方程通解的 概念及wka）,w）,心（/）ho ,函數(shù)x（r）三時（0+牡（0+ g（f）就是（5.21 ）的通解，其中c”"C是任意常數(shù)?，F(xiàn)在,將本節(jié)的定理寫成矩陣的形式。如果一

29、個“燈?矩陣的每一列都是（5.15 ）的解,稱這個矩陣為（5.15 ）的解矩陣。 如果它的列在位<<方上是線性無關的解矩陣,稱為在n<t<b± （ 5.15 ）的基解矩陣。 用表示由（5.15 ）的"個線性無關的解（"卩2，®作為列構成的基解矩 陣。定理5和定例6即可以表述為如下的定理1 *。走理廣 （5.15） 一定存在一個基解矩陣。如果肖是（5.15）的任一解那么肖 a）=ea）c （ 5.22）這里f是確定的«維常數(shù)列向量。走理2* （ 5.15 ）的一個解矩陣是基解矩陣的充要條件是dc2（f）H0（a<i&

30、lt;b ）,而且，如果對某一個心a,/? , det仏）工0，則detH0 , a<t<h, （ dc2（r）表示矩陣的行列式）。要注慧：行列式恒等于零的矩陣的列向量未必是線性相關的。例1驗證e（f）=是方程組的基解矩陣。解首先，我們證明是解矩陣。令q表示的第一列,這時"1 f'! f_0_0 1_0_0 1_好(f)=01同樣，如果以込表示的第二列，我們有d+1)/"1 1"te'"1 1"0 10 102“)這表示0(0也是一個解。因此，a)=%(f)®是解矩陣。其次，根據定理2* ,因為det4&g

31、t;(z)= -0 ,所以e(f)是基解矩陣。推論廣 如果是(5.15 )在區(qū)間a<t<b±i的基解矩陣 C是非奇異“"常數(shù)矩 陣，那么，eC也是(5.15)在區(qū)間a<t<b±_的基解矩陣。證明首先，根據解矩陣的定義易知，方程(5.15 )的任一解矩陣X(f)必滿足關系Xt) = A(t)X(t , ( a<t<b )反之亦然?，F(xiàn)令譏f)= <l>a)C , ( a<t<b )微分上式，并注意到e為方程的基解矩陣,C為常數(shù)矩陣得到肖'(f) = A(r)e(OC = A(/)(f)即以。是(5.1

32、5 )的解矩陣。又由C的非奇異性我們有det(Z) = detO(r) detC9：0 ( a<t <b )因此由定理2*知，肖(f)即O(Z)C是(5.15 )的基解矩陣。推論2*如果4>(z) . MO在區(qū)間<b上是F = A(r)兀的兩個基解矩陣F那么存在 個非奇異“x”常數(shù)矩陣C ,使彳註區(qū)間0<7</?上/(0三0>(0<：。證明因為e為基解矩陣，故其逆矩陣'一定存在?，F(xiàn)令eS)肖(f)= X(f) ( a<t<b )0(0三ea)x(f) a<t<b)易知xa）是心/?可備鉅陣,且detX(z)O (

33、a<t<b )于罷切必）W三旳）“）+®（心如三 A（f）<i>（r）xa）+（f）x（0 三 A（f）0（o+ea）x ）由此推知e（r）X“）三0 ,或X'（f）三0 （ a</<» ），即x（f）為常數(shù)矩陣，記為C。 因此我們有0(f) = e(r)C ( a<t<b )其中C ="（4）肖（“）為非奇異的« X «常數(shù)矩陣推論2 *得證。5.2.2非齊線性微分方程組本段討論非齊線性微分方程組(5.14)y = A(Z)x + /(Z)的解的結構問題，這里A"）是區(qū)間a&l

34、t;<b上的已知連續(xù)矩陣,/（f）是區(qū)間 a<t<b±.的已知"維連續(xù)列向量,向量/通常稱為強迫項，因為如果（5.14 ）描 述*力學系統(tǒng)，/（f）就代表外力。容易驗證（5.14）的兩個簡單性質: 性質1如果0是（5.14 ）的解,譏0是（5.14 ）對應的齊線性方程組（5.15 ）的解， 則0（。+嘰r）是（5.14 ）的解。性質2如果0和處）是（5.14 ）的兩個解，則諷0 - 0（f）是（5.15 ）的解。F面的定理7給出（5.14 ）的解的結構。走理7設是（5.15 ）的基解矩陣,0（f）是（5.14 ）的某一解,則（5.14 ）的任一 解0（f）

35、都可表為(5.23 )0（o=e（f）c+0a）這里C是確定的常數(shù)列向量。證明由性質2我們知道0（/）-0（0是（5.15 ）的解，再由521的定理1* ,得到傾f)-0(f)=ea)c這里c是確定的常數(shù)列向量，由此即得呦=<i>a)c+0(f)定理證畢。定理7告訴我們,為了尋求(5.15 )的任一解，只要知道(5.14 )的一個解和它對應的齊線性方程組(5.15 )的基解矩陣。在知道(5.15 )的基解矩陣的情況下，尋求(5.14 )的解卩的簡單的方法常數(shù)變易法。由定理1*可規(guī)如果C是常數(shù)列向量，則0(0 = 5"是(5.15 )的解，它不可能 是(5.14 )的解。因

36、此，將C變易為/的向量函數(shù)，而試圖尋求(5.14 )的形如(5.24 )0(r) = e(Of(f)的解。這里c(f)是待定的向量函數(shù)。假設(5.14 )存在形如(5.24 )的解，這時，將(5.24 )代入(5.14 )得到e'(f)c(r)+= A(r)ea)c(f)+/ 因為是(5.15)的基解矩陣,所以e'(O = A，由此上式中含有 A(Z)0(Oc(Z)的項消去了。因而c(f)必須滿足關系式(5.25)因為在區(qū)間a ad上是非奇異的,所以-存在。用5)左乘(5.25 )兩 邊得到c(r) = £c»-'(5)/(5)J5 . tjea,b

37、其中心)= 0。這樣，(5.24 )變?yōu)?5.26)因此，如果(5.14 )有一個形如(5.24 )的解0(0 ,則0(0由公式(5.26 )決定。反之，用公式(5.26 )決定的向量函數(shù)0(0必定是(5.14)的解。事實上，微分 (5.26 )得到必)=則:仏)"如 5)/=A(f) J："($)/($)心 + /(0再利用公式 5.26廠即得0(0 = A(f )0(0 +/(/)顯然，還有0(/。)= 0 ,這樣一來.我們就得到了下面的定理8。定理8如果是(5.15 )的基解矩陣，則向量函數(shù)0(F)=(f)7 ($)/($)加是(5.14 )的解，且滿足初始條件0(心

38、)=0由定理7和定理8容易看出(5.14 )的滿足初始條件0(m)=帀的解0(0由下面公式給出(5.27 )曲)="(/,)/; +J；“fZs這里三“仏加是(5.15 )的滿足初始條件的解。公式 5.26 )或公式(5.27 )稱為非齊線性微分方程組(5.14 )的常數(shù)變易公 式。第五章雙0)=；解在例1中我們已經知道(f)= 是對應的齊線性方程組的基解矩陣。取矩陣的逆，我們得到:X +x =00-5e se0這樣,由定理8 ,滿足初始條件皆(0)=的解就是和-1 -s嚴e' td»/fds =0 &Jo0 1_ 0 0 ?_0 0 ds肖=e'f

39、e廠卄嚴）0e' 0 _ 0 因為0（0） = £，對應的齊線性方程組滿足初始條件的解就是d-l)/1®（f）=e（f）由公式（5.27廠所求解就是0(f) = ©(0 + 0(/) =注意到5.1.1關于川階線性微分方程的初值問題（5.6 ）與線性微分方程組的初值 問題（5.7 ）等價性的討論我們可以得到關于階非齊線性微分方程的常數(shù)變易公式。推論3如果/是區(qū)間0<<6上的連續(xù)函數(shù), 西（"吃，幾是區(qū)間a<t<b±_齊線性方程 5.21 )卅 + q 嚴)+ + Er (/)x = 0的基本解組，那么，非齊線性方

40、程(5.28 )的滿足初始條件0仏)=0,0仏)=0,01(/。) = 0的解由下面公式給出0（f）=L竝 J；X-lu必|/|（心兀（必 ，俎（$）” W冊（$）宀（必心（$） I ""(5.29)這里叫占小昇心是X（S）,X2（S），心（$）的伏朗斯基行列式， %舛（以兀2（$），-%（$）是在卬陸，乳衛(wèi)）,7（$）中的第k列代以（0.0,-.0,1/ 后得到的行列式,而且（5.28 ）的任一解“都具有形式"(0 = £：內(0 + <?沁2")+ _£(')+ 0(0(5.30 )這里G Cp,q是適當選取的常數(shù)。

41、公式（5.29 ）稱為（5.28 ）的常數(shù)變易公式。這時方程（5.28 ）的通解可以表為X = c內（0 +（2大2（0+ + _£+ 0（0其中G%g是任意常數(shù)。并且由推論3知道，它包括了方程（5.28 ）的所有解。 這就是第四童定理7的結論。當 = 2時，公式（5.29）就是q冬斗（$）,兀2（$）J VVa：,（5）,X2（5）f(s)ds 但0 勺($)I X；(s)=_兀2($)怡陸（$）,勺（$）= ；：； ；=X|（$）因此，當11 = 2時，常數(shù)變易公式變?yōu)?lt;p(f)=£/ J 吃西（S）-X|（f）/2（S）I/（$）$Wk(S),X2(S>(

42、5.31)而通解就是 5.32 )x = qxt) + cx,(t) +(p(t)這里GG是任慧常數(shù).例3試求方程X*+y=tgt解易知對應的齊線性方程F + H = O的基本解組為西= cosz , X2(f) = sinf。直接 利用公式(5.31)來求方程的一個解。這時cosZsin/sinfcos/由公式(5.31)即得(取 = 0)0(f) = £ (sin t cos s - cos f sin s)fgsds=sin fjo sin sds - cosz£ sin stgsds=sin Z(1 一 cosz) + cosf(sin r - In sec t +

43、 tgt)=sin f - cos fin |secz +注意，因為sin/是對應的齊線性方程的一個解，所以函數(shù)0(/)= -COS/In SQCt+tgt也是原方程的一個解。§5.3常系數(shù)線性微分方程組本節(jié)硏究常系數(shù)線性微分方程組的問題，主要討論齊線性微分方程組x' = Ax(5.33 )的基解矩陣的結構,這里A是必,?常數(shù)矩陣。我們將通過代數(shù)的方法,尋求(533 ) 的一個基解矩陣。最后討論拉普拉斯變換在常系數(shù)線性微分方程組中的應用。5.3.1矩陣指數(shù)exp A的定義和性質為了尋求(5.33 )的一個基解矩陣，需要定義矩陣指數(shù)exp A (或寫作/ ),這 要利用5丄2中

44、關于矩陣序列的有關定義和結果。如果A是一個“X"常數(shù)矩陣,我們定義矩陣指數(shù)exp A為下面的矩陣級數(shù)的和(5.34 )其中£為階單位矩陣，A川是矩陣4的?次幕。這里我們規(guī)定A° = £ , 0! = L這 個級數(shù)對于所有的A都是收斂的,因而,exp A是一個確定的矩陣。事實上,由5.1.2中的性質1 ,易知對于一切正整數(shù)A ,有£<塑一 k'k'又因對于任一矩陣A ,岡是一個確定的實數(shù)，所以數(shù)值級數(shù) I叭州+坊是收斂的（注意，它的和是）。由5.1.2知道，如果一個矩陣級數(shù)的每一 項的范數(shù)都小于f 收斂的數(shù)值級數(shù)的對應項,貝

45、IJ這個矩陣級數(shù)是收斂的,因而（5.34 ）對于一切矩陣A都是絕對收斂的。級數(shù)4U K(5.35)在/的任何有限區(qū)間上是一致收斂的。事實上對于一切正整數(shù)k，當t<c （cSM 一正常數(shù)）時，有k-k'一 kC而數(shù)值級數(shù)£理?-是收斂的,因而（5.35 ）是一致收斂的。 D k 矩陣指數(shù)exp A有如下性度：!如果矩陣A , B是可交換的,即=則(5.36)exp( A + B) = exp A+exp B事實上,由于矩陣級數(shù)（5.34 ）是絕對收斂的,因而關于絕對收斂數(shù)值級數(shù) 運算的一些定理，如項的重新1莎1不改變級數(shù)的收斂性和級數(shù)的和以及級數(shù)的乘法定 理等都同樣地可以

46、用到矩陣級數(shù)中來。由二項式定理及肋=34 得旳(4 +歷£1常_£±A-0(5.37)JU另一方面由絕對收斂級數(shù)的乘法定理得* A訂*爐 expA + expB =工 f-o f V H J* >» J(5.38 )務/!伙一/)!比較(5.37 )和(5.38廠推得(5.36 ).2 對于任何矩陣4(exp q)7存在,且(exp A)"" =exp(-A)(5.39 )事實上,A與一4是可交換的,故在(536 )中,令8 = -/1 ,我們推得exp A exp(-A) = exp( A + A) = exp 0 =

47、63;由此即有(exp A 尸=exp(-A)3 如果T是非奇異矩陣，則exp(廠'AT)=廠' (expA)T(5.40 )事實上exp(廠"ATWE + f A-)二廠I/Vt*0 K Y二屮= E + T'T = TexpA)TVA-1走理9矩陣(5.41 )e(r) = exp/V是(5.33 )的基解矩陣,且0>(0) = E 證明由定義易知0(0) = £ ,微分(5.41 ),我們得到'(f) = (ex 卩加)一 + 譽 + 寫 + . +(："；! + .=仏 pA/ = /l(f)這就表明,e是(5.33

48、)的解矩陣，又因為det0(O) = det£ = l ,因此，是 (5.33 )的基解矩陣。證畢。(5.42 )由定理9 ,我們可以?!)用這個基解矩陣推知(5.33 )的任一解0(r)都具有形式X) = (ex P At)c在某些特殊情況下容易得到(5.33 )的基解矩陣exp Ar的具體形式。例1如果A是f對角形矩陣，A=(非主對角線上的元素都疑零)試找出/ =山的基解矩陣。解由(5.34 )可得q0o')0 00“2 0 -+04； 0i!«00 Q "/!_004;exp At = E +2!a； 000於0根據定理9 ,這就是一個基解矩陣,當然

49、，這個結果是很明顯的,因為在現(xiàn)在的 情況下，方程組可以寫成X；="內，k = l,2，皿，它可以分別進行積分。X的基解矩陣。2 1=20+0 202解因為A =0 I0 0,而且后面的兩個矩陣是可交換的,我們得到"0 r2"0 0"_0 0._0 0_但是，exp At = eKp/ex p2!所以,級數(shù)只有兩項。因此,基解矩陣就是exp A/ =戶5.3.2基解矩陣的計算公式定理9告訴我們,(5.33 )的基解矩陣就是矩陣exp如但是exp/V是一個矩陣 級數(shù),這個矩陣的每一個元素是十么呢？事實上還沒有具體給出,上面只就一些很特 殊的情況，計算了 ex

50、p/V的元素。本段利用線性代數(shù)的基本知識，仔細地討論expAf 的計算方法.從而解決常系數(shù)線性微分方程組的基解矩陣的結構問題。為了計算(5.33 )的基解矩陣exp/V ,我們需要引進矩陣的特征值和特征向量的 概念。類似于第四童的422 ,試圖尋求y=Av(5.33 )的形如(5.43 )的解,其中常數(shù)2和向量C是待定的。為此，將(5.43 )代入(5.33 ),得到因為0刀工0，上式變?yōu)?5.44 )這就表示(是(5.33 )的解的充要條件是常數(shù)2和向量C滿足方程(5.44 )。方程 (5.44 )可以看作是向量。的個分量的一個齊次線性代數(shù)方程組，根據線性代數(shù)知識, 這個方程組具有非零解的充

51、要條件就是A滿足方程det(2£ A) = 0這就引出下面的定義:假設A是一個n X /I常數(shù)矩陣,使得關于»的線性代數(shù)方程組(5.45)（久£一小=0具有非零解的常數(shù)2稱為A的一個特征值。（5.45 ）的對應于任T彭正值兄的非零解 »稱為A的對應于特征值久的特征向量。/?(2) = det(/l£ - A)稱為A的特征多項式，n次代數(shù)方程(5.46)稱為A的特征方程，也稱它為（5.33 ）的特征方程。根據上面的討論，/c是（5.33 ）的解，當且僅當2是4的特征值，且C是對應于兄的特征向量。A的特征值就是特征方程（5.46 ）的根。因為&qu

52、ot;次代數(shù)方程有n個根,所以A有n個特征值,當然不一定"個都互不相同。如果兄=右是特征方程的單根,則稱幾。是簡單特征根。如果幾是特征方程的k重根,則稱A是k重特征根。例3試擁陣A =3 5-5 3的特征值和對應的特征向量。=0解A的特征值就是特征方程det(A AE)=3-/1-553-2=A" 6/1 + 34 = 0的根。幾、解之得到無=3±5幾 對應于特征值入=3 + 5/的特征向量Ity必須滿足線性代如程組'-5/5 «1 一5-5L(A-XQm =因此，滿足方程組-illy + 心=0_坷-iity =0所以，對于任竜常數(shù)qhOit

53、= a是對應于入=3 + 5/的特征向量。類似地可以求得對應于/U=3-5/的特征向量為其中/7工0是任蕙常數(shù)。例4試擁陣A =2 1-I 4的特征值和對應的特征向量。解特征方程為det(兄 £ A)=2-2 -1144=，一62 + 9 = 0因此,2 = 3是A的二重特征值。為了尋求對應于2 = 3的特征向量.考慮方程組'II -I(3E-A)c =或者F cCy=Qq _ 為=0因此，向量是對應于持征值/1 = 3的特征向量,其中aHO是任竜常數(shù)。-個,矩陣最多有個線性無關的特征向量。當然,在任何情況下最低限度 有f 特征向量，因為最低限度有f 特征值。首先,讓我們討論

54、當A具有"個線性無關的特征向量時(特別當A具有"個不同 的特征值時，就是這種情形).微分方程組(5.33 )的基解矩陣的計算方法。走理10如果矩陣4具有個線性無關的特征向量片宀，心，它們對應的特征值分 別為入，兒（不必各不相同），那么矩陣,-O0<f <-K>9是常系數(shù)線性微分方程組x' = Ax(5.33 )的f基解矩陣。證明由上面關于特征值和特征向量的討論知道，每一個向量函數(shù)/匕（7 = 12E ） 都是（533 ）的一個解。因此，矩陣50 =是（5.33 ）的一個解矩陣。因為，向量片宀兒是線性無關的所以det (0) = det片衛(wèi)2,心=0根據521的定理2末推得，是（5.33 ）的f 基解矩陣。定理證畢。例5試求方程組*=Aj其中q =3 5-5 3的f基解矩陣。解由例3知道，人=3 + 5：和人=3-5,是A的特征值，而"f"2 =III片=是對應于人，石的兩個線性無關的特征向量。根據定理10 ”矩陣-(3+5r)f(35f"f-