函數(shù)的連續(xù)性課件

1、函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)增量的概念函數(shù)增量的概念設(shè)變量設(shè)變量u從它的一個(gè)初值從它的一個(gè)初值1u變到終值變到終值,2u則稱則稱2u1u與初值與初值的差的差12uu 為變量為變量u的的增量增量(改變量改變量),記作記作,u 即即.12uuu 增量增量u 可以是正的可以是正的, 也可以是負(fù)的也可以是負(fù)的. 當(dāng)當(dāng) 為正為正u 時(shí)時(shí),變量變量u的終值的終值uuu 12大于初值大于初值;1u當(dāng)當(dāng) 為負(fù)時(shí)為負(fù)時(shí),u 2u小于初值小于初值.1u注注:而是一個(gè)不可分割的而是一個(gè)不可分割的記號(hào)記號(hào) 不是不是 與與 的積的積,u u記號(hào)記號(hào).函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某一領(lǐng)域內(nèi)有的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義

2、定義1定義定義.個(gè)領(lǐng)域內(nèi)從個(gè)領(lǐng)域內(nèi)從0 x變到變到 )時(shí)時(shí),xx 0相應(yīng)地相應(yīng)地, 函數(shù)函數(shù))(xfy 從從)(0 xf變到變到),(0 xxf 則稱則稱)()(00 xfxxfy 為函數(shù)為函數(shù))(xfy 的對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)增量增量當(dāng)自變量當(dāng)自變量x在在0 x處取得增量處取得增量x (即即 x在這在這函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義.定義定義2如果當(dāng)自變量在點(diǎn)如果當(dāng)自變量在點(diǎn) 的增量的增量 趨于零時(shí)趨于零時(shí),0 xx 函數(shù)函數(shù))(xfy 對(duì)應(yīng)的增量對(duì)應(yīng)的增量y 也趨于零也趨于零, 即即0lim0 yx或或, 0)()(li

3、m000 xfxxfx則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在在 處處連續(xù)連續(xù),)(xf0 x0 x稱為稱為 的的連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn).)(xf注注: 該定義表明該定義表明, 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的本質(zhì)特征是函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的本質(zhì)特征是:自自變量變化很小時(shí)變量變化很小時(shí), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化也很小對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化也很小.函數(shù)的連續(xù)性例如例如, 函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處是來連續(xù)的處是來連續(xù)的,2xy 20 x因?yàn)橐驗(yàn)?)2()2(limlim00fxfyxx 2202)2(lim xfx 20)(4limxxx 在定義在定義2中中, 若令若令,0 xxx 即即,0 xxx 則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)時(shí),0 x即當(dāng)即當(dāng) 時(shí)時(shí),0 xx 有有).(

4、)()()(000 xfxfxfxxfy 函數(shù)的連續(xù)性因而因而, 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) 處連續(xù)的定義又可敘述如下處連續(xù)的定義又可敘述如下:0 x定義定義3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的某一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義有定義. 如果函數(shù)如果函數(shù) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在,)(xf0 xx 且等于它在點(diǎn)且等于它在點(diǎn)0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值),(0 xf即即),()(lim00 xfxfxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)x處處連續(xù)連續(xù).函數(shù)的連續(xù)性例例 1試證函數(shù)試證函數(shù) 0, 00,1sin)(xxxxxf在在0 x處連續(xù)處連續(xù).證證, 01sinlim0 xxx又又, 0)0

5、( f),0()(lim0fxfx 由定義由定義2知，知，函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處連續(xù)處連續(xù).函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)若函數(shù)若函數(shù))(xf在在,(0 xa內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,且且)(lim0 xfxx ),(0 xf 則稱則稱)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處左連續(xù)左連續(xù);若函數(shù)若函數(shù))(xf在在),0bx內(nèi)有定義內(nèi)有定義, , 且且)(lim0 xfxx ),(0 xf 則稱則稱)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處右連續(xù)右連續(xù). .定理定理1 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處連續(xù)的充要條件是處連續(xù)的充要條件是函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù). .函數(shù)

6、的連續(xù)性例例 2討論討論 0, 20, 2)(xxxxxf在在0 x處的連續(xù)性處的連續(xù)性.解解 2lim)(lim00 xxfxx右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù), ,),0(2f 2lim)(lim00 xxfxx),0(2f 故函數(shù)故函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處不連續(xù)處不連續(xù). .函數(shù)的連續(xù)性例例 3已知函數(shù)已知函數(shù) 0,20, 1)(2xbxxxxf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)，處連續(xù)， 求求b的值的值.解解)(lim0 xfx , 1 )(lim0 xfx , b 因?yàn)橐驗(yàn)?(xf點(diǎn)點(diǎn)0 x處連續(xù)，處連續(xù)， 則則 )(lim0 xfx),(lim0 xfx 即即. 1 b)1(lim20 xx

7、)2(lim0bxx 函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù), ,叫做在該區(qū)間內(nèi)叫做在該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù), ,或者說函數(shù)在該或者說函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)連續(xù)區(qū)間內(nèi)連續(xù). .如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間),(ba內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), , 并且在左端點(diǎn)并且在左端點(diǎn)ax 處右連續(xù)處右連續(xù), ,在右端點(diǎn)在右端點(diǎn)bx 處左連續(xù)處左連續(xù), ,則稱則稱連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線. .例如例如, ,有理整函數(shù)在區(qū)間有理整函數(shù)在區(qū)間),( 內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的. .函數(shù)函數(shù))(xf在在閉區(qū)間閉區(qū)間,b

8、a上連續(xù)上連續(xù). ., ,函數(shù)的連續(xù)性例例 4證證),( xy ,2cos2sin2 xxx12cos xx2sin2x . 0 y即函數(shù)即函數(shù)對(duì)任意對(duì)任意都是連續(xù)的都是連續(xù)的.xysin ),( x證明函數(shù)證明函數(shù)xysin 在區(qū)間在區(qū)間內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù).),( x當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，0 x y,x xxxsin)sin( 函數(shù)的連續(xù)性例例 5討論討論 0, 20, 2)(xxxxxf在在0 x處的連續(xù)性處的連續(xù)性.解解 2lim)(lim00 xxfxx, 2 2lim)(lim00 xxfxx, 2 所以所以, , 的左、右極限存在但不相等的左、右極限存在但不相等. .即即)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x)(

9、xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處不連續(xù)處不連續(xù). .函數(shù)函數(shù)函數(shù)的連續(xù)性例例 6解解討論函數(shù)討論函數(shù) 1,11, 110,2)(xxxxxxf在在處的連續(xù)性處的連續(xù)性.1 x, 1)1( f, 2)01( f. 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 所以所以 在在 處不連續(xù)處不連續(xù)( )f x1x 函數(shù)的連續(xù)性例例 7處的連續(xù)性處的連續(xù)性.解解討論函數(shù)討論函數(shù) 0,0,1)(xxxxxf在在0 x,)(lim, 0)(lim00 xfxfxx因?yàn)橐驗(yàn)樵谠诩醇?(xf0 x的右極限不存在的右極限不存在. .函數(shù)的連續(xù)性例例 8討論函數(shù)討論函數(shù)xxf1sin)( 解解在在0 x處的連續(xù)處的連續(xù)性性.

10、)(xf在在0 x處沒有定義處沒有定義, , 且且xx1sinlim0不存在不存在. .所以所以,0 x 在在函數(shù)函數(shù))(xf處不連續(xù)處不連續(xù). .函數(shù)的連續(xù)性例例 9a取何值時(shí)，取何值時(shí)， ,0,0,cos)(xxaxxxf在在0 x處連續(xù)處連續(xù).解解,)0(af )(lim0 xfx )(lim0 xfx xxcoslim0 )(lim0 xax , 1 .a 要使要使),0()00()00(fff 必須必須. 1 a故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，時(shí)，1 a函數(shù)函數(shù)處連續(xù)處連續(xù).)(xf0 x在在函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算定理定理1若函數(shù)若函數(shù))(),(xgxf在點(diǎn)在點(diǎn)0

11、x處連續(xù)處連續(xù), ,則則),()(xgxf ),()(xgxf )()(xgxf)0)(0 xg在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .例如例如, ,在在,sin xxcos),( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,故故,cossintanxxx ,sincoscotxxx ,cos1secxx xxsin1csc 在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù). .函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理定理3設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)處連續(xù), ,且且,)(00ux 而函數(shù)而函數(shù))(ufy 在點(diǎn)在點(diǎn)0uu 處連續(xù)處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù))(xf 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .例如例如, ,x

12、u1 在在), 0()0 ,( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,函數(shù)函數(shù)uysin 在在),( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,函數(shù)函數(shù)xy1sin 在在), 0()0 ,( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .所以所以注注: 根據(jù)這個(gè)定理根據(jù)這個(gè)定理, 求復(fù)合函數(shù)求復(fù)合函數(shù))(xf 的極限的極限函數(shù)的連續(xù)性例例 10求求. )1cos(limxxx 解解 xxxxxxx1)1)(1(limcos xxx11limcos0cos .1 )1cos(limxxx 函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性定理定理4一切初級(jí)函數(shù)一切初級(jí)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定理定理4的結(jié)論非常重要的結(jié)論非常重要, 因?yàn)槲⒎e分

13、的研究遇到的因?yàn)槲⒎e分的研究遇到的函數(shù)基本上是初等函數(shù)函數(shù)基本上是初等函數(shù),其連續(xù)性的條件總是滿足其連續(xù)性的條件總是滿足的的,從而使微積分具有強(qiáng)大的生命力和廣闊的應(yīng)用從而使微積分具有強(qiáng)大的生命力和廣闊的應(yīng)用前景前景. 此外此外,根據(jù)定理根據(jù)定理4, 求初等函數(shù)在其定義區(qū)求初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的極限間內(nèi)某點(diǎn)的極限, 只需求初等函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值只需求初等函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即即 00)()(lim0 xxfxfxx定義區(qū)間定義區(qū)間).函數(shù)的連續(xù)性例例11求求.12lim2 xexx因?yàn)橐驗(yàn)?2 xex是初等函數(shù)是初等函數(shù), 且且20 x是其定是其定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn), 所以所以12 x

14、ex在點(diǎn)在點(diǎn)20 x處連續(xù)處連續(xù),于是于是.512212lim222eexexx 函數(shù)的連續(xù)性最大值和最小值定理最大值和最小值定理定義定義對(duì)于在區(qū)間對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)),(xf如果如果有有,0Ix 使得對(duì)于任一使得對(duì)于任一Ix 都有都有)()(0 xfxf )()(0 xfxf 則稱則稱)(0 xf是函數(shù)是函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I上的最大上的最大(小小)值值. .例如例如, ,sin1xy ,2 , 0 x, 2max y. 0min y,sgn xy 在在),( 上上, , 1max y. 1min y在在), 0(上上, ,. 1minmax yy函數(shù)的連續(xù)性定理定

15、理5(最大值和最小值定理最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值.定理定理6(有界性定理有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界一定在該區(qū)間上有界.函數(shù)的連續(xù)性零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理定義定義如果如果0 x使使, 0)(0 xf則則0 x稱為函數(shù)稱為函數(shù))(xf的零點(diǎn)的零點(diǎn). .定理定理7(零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,且且)(af與與)(bf異號(hào)異號(hào)(即即),0)()( bfaf即至少有即至少有一點(diǎn)一點(diǎn) ),(ba 使使. 0)( f那么在開區(qū)那么在開區(qū)),(ba內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù)間間)(xf的一個(gè)零點(diǎn)的一個(gè)零點(diǎn), ,即方程即方程0)( xf在在),(ba內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根. .函數(shù)的連續(xù)性例例 12證證證明方程證明方程01423 xx少有一個(gè)實(shí)根少有一個(gè)實(shí)根 .令令,14)(23 xxxf則則)(xf在在1, 0上連續(xù)上連續(xù) .又又,01)0( f,02)1( f由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理 , )1, 0( 使使,0)( f即即.01423 方程方程01423 xx根根. 在區(qū)間在區(qū)間)1, 0(內(nèi)至內(nèi)至在在)