初中數(shù)學(xué)《公理和定理(冀教版)》

1、初中數(shù)學(xué)公理和定理（冀教版）一、公理（不需證明1、兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；2、兩條平行線被笫三條直線所截,同位角相等；3、兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（SAS4、角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（ASA5、邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（SSS6、等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.7、線段公理:兩點(diǎn)之間，線段最短。8、直線公理:過兩點(diǎn)有且只有一條直線。9、平行公理:過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行10、垂直性質(zhì):經(jīng)過直線外或直線上一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直注:（1其中1-6 要求能作為對(duì)其它定理進(jìn)行證明的依據(jù)710作為基本事實(shí)應(yīng)了

2、解。（2等式和不等式的有關(guān)性質(zhì)也可視為公理。以下對(duì)初中階段所學(xué)的公理、定理進(jìn)行分類：一、直線與角1、兩點(diǎn)之間，線段最短。2、經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。3、同角或等角的補(bǔ)角相等，同角或等角的余角相等。4、對(duì)頂角相等二、平行與垂直5、經(jīng)過直線外或直線上一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直。6、經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。7、連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短。8、夾在兩平行線間的平行線段相等9、平行線的判定：(1同位角相等,兩直線平行；(2內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行；(3同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；(4垂直于同一條直線的兩條的直線互相平行.(5如果兩條

3、直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行(6利用三角形中位線定理10、平行線的性質(zhì)：(1兩直線平行,同位角相等。(2兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等。(3兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。三、角平分線、垂直平分線、圖形的變化(軸對(duì)稱、平稱、旋轉(zhuǎn)11、角平分線的性質(zhì):角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.12、角平分線的判定:到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.13、線段垂直平分線的性質(zhì):線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.14、線段垂直平分線的判定:到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平 分線上.15、軸對(duì)稱的性質(zhì)：(1如果圖形關(guān)于某一直線對(duì)稱，那么連結(jié)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的

4、線段被對(duì)稱軸垂直平分.(2對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等。16、平移:經(jīng)過平移，圖形上的每個(gè)點(diǎn)都沿著相同方向移動(dòng)了相同的距離,平移后，新圖形和原 圖形的形狀和大小都沒有發(fā)現(xiàn)改變，即它們是全等圖形。即對(duì)應(yīng)線段平行且相等,對(duì)應(yīng)角相等, 對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等17、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱：(1圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度(2對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；(3對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等18、中心對(duì)稱：(1具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的所有性質(zhì)：(2中心對(duì)稱圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱中心平分四、三角形(一一般性質(zhì)19、三角形內(nèi)角和定理:三角形的內(nèi)角和等于180。20、三角形外角的性質(zhì):三角形的一個(gè)外角等于與

5、它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角;三角形的外角和等于3 60。21、三邊關(guān)系:(1兩邊的和大于第三邊;(2兩邊差小于第三邊22、三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.23、三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)(外心，這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離(外接圓半徑相等。24、三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)(內(nèi)心，這點(diǎn)到三邊的距離(內(nèi)切圓半徑相等。(二特殊性質(zhì)：25、等腰三角形、等邊三角形(1等腰三角形的兩個(gè)底角相等.(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”(2如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.(簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”(3“三線合一”定理:等腰三角形

6、的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合(4等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.(5三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。(6有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形26、直角三角形：(1直角三角形的兩個(gè)銳角互余；(2勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；(3勾股定理逆定理:如果一個(gè)三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，那么這個(gè)三 角形是直角三角形.(4直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.(5在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.(6三角形一邊的中線等于這邊的一半，這個(gè)三角形是直角三角形。五、四邊形27、

7、多邊形中的有關(guān)公理、定理：四邊形的內(nèi)角和為360。多邊形的內(nèi)角和定理:n邊形的內(nèi)角和等于(n-2xl80。.多邊形的外角和定理:任意多邊形的外角和都為360。.28、平行四邊形的性質(zhì)：(1平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；(2平行四邊形的對(duì)角相等；(3平行四邊形的對(duì)角線互相平分.29、平行四邊形的判定：(1兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；(2 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(3兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(4兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；(5對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.30、矩形的性質(zhì)：(1具有平行四邊形的所有性質(zhì)(2矩形的四個(gè)角都是直角；(3矩形的對(duì)角線相

8、等且互相平分.31、矩形的判定:(1有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。(2有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.(3對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。32、菱形的性質(zhì):(1具有平行四邊形的所有性質(zhì)(2菱形的四條邊都相等；(3菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.33、菱形的判定：(1四條邊相等的四邊形是菱形.(2 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。(3對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。34、正方形的性質(zhì)：(1具有矩形、菱形的所有性質(zhì)(2正方形的四個(gè)角都是直角；(3正方形的四條邊都相等；(4正方形的兩條對(duì)角線相等，且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.35、正方形的判定乂證明既是矩形乂是

9、菱形有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；有一組鄰邊相等的矩形是正方形.對(duì)角線相等的菱形是正方形對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形36、等腰梯形的判定：(1同一條底邊上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形；(2兩條對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形.37、等腰梯形的性質(zhì)：(1等腰梯形的同一條底邊上的兩個(gè)內(nèi)角相等；(2等腰梯形的兩條對(duì)角線相等.38、*梯形的中位線平行于梯形的兩底邊，并且等于兩底和的一半.(課本沒有四、相似形與全等形39、全等多邊形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等.40、全等三角形的判定：(1)如果兩個(gè)三角形的三條邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角 形全等(SSS.) . (2)如果兩個(gè)三角形有兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等

10、，那么這兩個(gè)三角形 全等.（S AS.） （3）如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角 形全等（A SA. （4）有兩個(gè)角及其中一個(gè)角的對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（AAS.）（5）如果兩個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等. （H.L.） 41、相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊、周長(zhǎng)、對(duì)應(yīng)線段的比均等于相似比，面積比等 于 相似比的平方42、相似三角形的判定：（1）如果一個(gè)三角形的兩角分別與另一個(gè)三角形的 兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似；（2）如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的 兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；（3

11、）如果一個(gè)三角形的三條 邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩 個(gè)三角形相似.43、相似多邊形的性質(zhì)： 同相似三角形44、相似多邊形的判定：對(duì)應(yīng)邊成比例且對(duì)應(yīng)角相等五、圓45、（1）圓是軸 對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸。（2）圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓 心。46、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。47、垂徑定理推論: 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。注：垂徑定理及推論：如 果一條直線具有過圓心、垂直弦、平分弦、平分弦所對(duì) 的劣?。▋?yōu)弧）中的兩個(gè)性質(zhì)就具有 其余性質(zhì)。48、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦

12、相等。49、同圓或等圓中， 如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相 等.50、圓周角定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半（1）半圓或直徑所對(duì) 的圓周角都相等，都等于90。（直角）；（2） 90。的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑.（3在同圓或 等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，圓周角相等則所對(duì)的弧相等；51、不在同一條直線 上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.52、切線的判定（1）經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓 的切線.53、切線的性質(zhì)（2）圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑。以下命題，要熟悉其內(nèi)容，如 在填空、選擇出現(xiàn)可直接使用，但在解 答題中如有需要確實(shí)要用，應(yīng)在結(jié)論后加括號(hào)注明定 理內(nèi)容（中考一般不會(huì)