雙曲線知識(shí)點(diǎn)及題型總結(jié)精華.

1、雙曲線知識(shí)點(diǎn)1 雙曲線定義：到兩個(gè)定點(diǎn) F1 與 F2 的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng) （ |F1F2|）的點(diǎn)的軌跡（ PF1 PF 22a F1F2 （ a為常數(shù)） 這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)要注意兩點(diǎn)：（ 1）距離之差的絕對(duì)值 .（2） 2a |F 1F 2|，這兩點(diǎn)與橢圓的定義有本質(zhì)的不同.當(dāng) |MF 1| |MF 2|=2a 時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F 2 所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng) |MF 1| |MF 2|= 2a 時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F1 所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng) 2a=|F1 F2 |時(shí)，軌跡是一直線上以 F1、 F 2 為端點(diǎn)向外的兩條射線；當(dāng) 2a | F1F2| 時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在 .動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn) F

2、的距離與它到一條定直線l 的距離之比是常數(shù) e( e 1)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線l 叫做雙曲線的準(zhǔn)線22222.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： x 2y2 1和 y2x21（ a0，b 0）. 這里 b2c 2a2 ，其中 | F1F2 |=2c.abab要注意這里的 a、 b、 c 及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果 x2 項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x 軸上；如果 y 2 項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在 y 軸上 . 對(duì)于雙曲線， a 不一定大于 b，因此不能像橢圓那樣，通過(guò)比較分母的大小來(lái)判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上 .4. 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

3、，應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題：系數(shù)法求解 .5. 曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)x2y 2a 2b2 =1（ a0， b 0）范圍： |x|a， y R對(duì)稱性：關(guān)于 x、y 軸均對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱頂點(diǎn)：軸端點(diǎn) A1 （ a， 0）， A2（ a，0）漸近線：正確判斷焦點(diǎn)的位置；設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定yM 1M 2PF1 A1K1o K 2A 2 F 2x若雙曲線方程為x2y21漸近線方程x2y20yb xa2b2a2b 2x2y 2a若漸近線方程為yb xxy0雙曲線可設(shè)為aaba 2b 2若雙曲線與x 2y 21有公共漸近線，可設(shè)為x 2y 2（0，焦點(diǎn)在 x 軸上，0 ，焦點(diǎn)在 y 軸a 2b 2a 2b2

4、上）特別地當(dāng) ab時(shí)離心率 e2兩漸近線互相垂直，分別為y= x ，此時(shí)雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為 x2y 2； y= b x， y= b xaaa2準(zhǔn)線： l1： x=a2a 2， l 2： x=，兩準(zhǔn)線之距為 K1 K22ca2cc焦半徑： PF1e( x)exa ，（點(diǎn) P 在雙曲線的右支上xa ）；e( a2cPF2x)exa ，（點(diǎn) P 在雙曲線的右支上xa ）；c當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程及相應(yīng)性質(zhì)（略）與雙曲線 x2y21共漸近線的雙曲線系方程是x2y2(0)a2b2a2b2與雙曲線 x2y21共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是x2ky21a2b2a2b2k6 曲線的內(nèi)外部(1)點(diǎn) P(

5、 x0x2y21(a0, b0) 的內(nèi)部x02y021 ., y0 ) 在雙曲線2b2a2b2a(2)點(diǎn) P( x , yx2y21(a0, b0) 的外部x02y021 .) 在雙曲線00a2b2a2b27 曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1 ）若雙曲線方程為x2y21漸近線方程：x2y20yb x .a2b2a2b2x2y2a(2)若漸近線方程為yb xxy0 雙曲線可設(shè)為.若雙曲線與 x 2y 2aabx 2y 2a2b 2(3)1有公共漸近線，可設(shè)為（0 ，焦點(diǎn)在 x 軸上，0 ，焦點(diǎn)在 y 軸a 2b 2a 2b2上） .8 雙曲線的切線方程(1) 雙曲線 x2y21(a0,b0) 上

6、一點(diǎn) P( x0 , y0 ) 處的切線方程是x0xy0 y1.a2b2a2b2（ 2）過(guò)雙曲線 x2y21(a0,b0) 外一點(diǎn) P( x0, y0 ) 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是x0xy0 y1.a2b2a2b2（ 3）雙曲線 x2y21(a 0,b0) 與直線 AxBy C0 相切的條件是 A2a2B2b2c2 .a2b29 線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式AB(x1x2 )2( y1y2 )2若斜率為 k 的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB ， A 、B 兩點(diǎn)分別為 A(x 1， y1)、 B(x 2,y2)，則弦長(zhǎng)AB1 k 2x2x(1k 2 )( xx )24 x x2112111y2y(1

7、1)( yy2)24 y y ,這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想；k 21k 2112高考題型解析題型一：雙曲線定義問(wèn)題1.“ ab<0 ”是“曲線 ax2+by2=1 為雙曲線”的 ()A. 充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件2.若 k R ，則“ k3 ”是“方程x2y21 表示雙曲線”的 ()k 3k3A .充分不必要條件 .B.必要不充分條件. C.充要條件 .D. 既不充分也不必要條件 .3.給出問(wèn)題： F1、 F2 是雙曲線 x 2 y 2=1 的焦點(diǎn)，點(diǎn)P 在雙曲線上 .若點(diǎn) P 到焦點(diǎn) F 1 的距離等于9，求點(diǎn) P 到162

8、0焦點(diǎn) F2 的距離 .某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，由 |PF1 | |PF 2|=8，即 |9 |PF 2|=8，得 |PF 2|=1 或 17.該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請(qǐng)將他的解題依據(jù)填在下面橫線上；若不正確， 將正確結(jié)果填在下面橫線上 ._.4. 過(guò)雙曲線 x2- y2=8 的左焦點(diǎn) F1有一條弦 PQ 在左支上，若 | PQ|=7 ， F2 是雙曲線的右焦點(diǎn)，則PF2Q 的周長(zhǎng)是.題型二：雙曲線的漸近線問(wèn)題1.雙曲線 x2 y 2=1 的漸近線方程是 ()49A . y=± 3xB.y=± 2xC.y=± 9xD.y=± 4x23

9、x 2492.過(guò)點(diǎn)（ 2， 2）且與雙曲線2有公共漸近線的雙曲線方程是()2 y =1y2x2=1x2y 2=1y2x2x2y2A .4B.2C.=1D.=1244224題型三：雙曲線的離心率問(wèn)題1 已知雙曲線x2y2= 1 (a 0,b0)的左右焦點(diǎn)分別為F 1、F2，點(diǎn) P 在雙曲線的右支上， 且 PF 1 =4 PF2 ,22abe 的最大值為則此雙曲線的離心率（）457A 3B 3CD 32.已知 F1 ,F2是雙曲線 x 2y 21, ( ab0 ) 的左、右焦點(diǎn) ,過(guò) F1 且垂直于 x 軸的直線與雙曲線的左支交于A 、a 2b 2B兩點(diǎn),若ABF2 是正三角形 ,那么雙曲線的離心

10、率為()A.2B.3C. 2D. 3x2y21b2的直線 l ,若 l 與雙曲線 M3.過(guò)雙曲線 M:的左頂點(diǎn) A 作斜率為 1的兩條漸近線分別相交于B、 C,且|AB|=|BC|, 則雙曲線 M 的離心率是()105105A.B.C.3D.212 ，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為4.在給定雙曲線中， 過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為2 ，則該雙曲線的離心率為()A.2B. 2C .2D. 2225.已知雙曲線x2y21(a>0,b<0) 的右焦點(diǎn)為 F，若過(guò)點(diǎn) F 且傾斜角為 60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)a2b2交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是A.( 1,2)B. (1,2

11、)C.2,+ )D.(2,+ )題型四：雙曲線的距離問(wèn)題1.設(shè) P 是雙曲線x 2y 23x 2y=0 ，F(xiàn)1、F2 分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn) .a 2=1 上一點(diǎn)， 雙曲線的一條漸近線方程為9若 |PF 1|=3，則 |PF 2|等于 ()A.1或5x 2y 2B.6C.7D.92.已知雙曲線1的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn) F 的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線斜率的124取值范圍是A.(33B. (-3 ,3 )C.33D. -3, 3,3),3333.已知圓 C 過(guò)雙曲線 x2 y 2=1 的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是916_.題型五：軌跡問(wèn)題

12、1.已知橢圓 x2 +2y2=8 的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，A 為橢圓上任一點(diǎn)。 AP 是 AF 1 F2 的外角平分線， 且 AP F2 P =0.則點(diǎn) P 的軌跡方程是.2.雙曲線 x2 y2 =4 的兩焦點(diǎn)分別為F 、 F，A 為雙曲線上任一點(diǎn)。AP 是FAF的平分線，且AP F2P =0.則點(diǎn) P 的軌跡是1212（）A. 橢圓的一部分B.雙曲線的一部分C.圓的一部分D. 拋物線的一部分3 求與圓 (x 3) 2y 21及 (x3)2y 29 都外切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程高考例題解析1.已知 F1 ,F2是雙曲線 x 2y21 的左、右焦點(diǎn) ,P、Q 為右支上的兩點(diǎn) ,直線 PQ 過(guò) F

13、2 ,且傾斜角為,則2PFQFPQ 的值為 ()11A42B8C22D隨的大小變化答案 : A 解析 : 用雙曲線定義列方程可解AB 42.過(guò)雙曲線2x2y22 0的右焦點(diǎn)作直線l 交曲線于A、B,則這樣的直線存在()兩點(diǎn) 若A 0 條B 1 條C 2 條D 3 條答案 : D 解析 : lx 軸時(shí)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)AB=4 最短為通徑 ,故交右半支弦長(zhǎng)為 4 的直線恰有一條 ;過(guò)右焦點(diǎn)交左右兩支的符合要求的直線有兩條3.直線 y15與曲線x xy2()x91的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是325A 0 個(gè)B1 個(gè)C 2 個(gè)D 3 個(gè)答案 :D解析:(0,5) 點(diǎn)為完整雙曲線和橢圓的極值點(diǎn),故 y=5 為其切線 ,當(dāng)直線

14、斜率不為 0 時(shí) ,直線必與每個(gè)曲線交于兩點(diǎn)4.P 為雙曲線 x 2y21上一點(diǎn) , F1 為一個(gè)焦點(diǎn) ,以 PF1 為直徑的圓與圓 x 2y2a 2 的位置關(guān)系為()a 2b2A內(nèi)切B外切C內(nèi)切或外切D無(wú)公共點(diǎn)或相交答案 : C 解析 : 用兩圓內(nèi)切或外切的條件判斷5.設(shè) F1, F2 是雙曲線 x 2y 21 的兩個(gè)焦點(diǎn) ,點(diǎn) P 在雙曲線上且滿足F1 PF290 ,則 PF1 F2 的面積為()4A1B5C2D52答案 :A 解析 : 勾股定理 ,雙曲線定義聯(lián)立方程組h 或面積公式6.設(shè) F1, F2 是雙曲線 x 2y 21 的左、右焦點(diǎn) ,P 在雙曲線上 ,當(dāng)F1 PF2 的面積為1

15、 時(shí), PF1 PF2的值為 ()41A0B1CD22答案 :A解析 : 不妨設(shè) x p, yp0,由 1 2cy p1 y p1,P(2 30 ,5) PF1 (5 230,5),255555PF( 52 3050,) PFPF2,1255y 27. 過(guò)點(diǎn) A（ 0， 2）可以作 _條直線與雙曲線2x 1 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)答案： 44解析：數(shù)形結(jié)合，兩切線、兩交線22過(guò)點(diǎn) P(4,4) 且與雙曲線 x y 1 只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有()169A1條B2 條C3 條D4 條解析： 如圖所示，滿足條件的直線共有3 條答案： C8. 已知 A（ 3，2），M是雙曲線H： x2y 21上的動(dòng)點(diǎn)， F

16、2 是 H 的右焦點(diǎn)，求 AM12 的最小值及此時(shí) M3MF2的坐標(biāo)。解： 由 e2 ，則AM1MF 2MF 2AM2eAMMM 1AA11521,2）3此時(shí) M 的坐標(biāo)（y 22239. 已知雙曲線 C： x21( x1) ，一條長(zhǎng)為8 的弦 AB 兩端在 C 上運(yùn)動(dòng)， AB 中點(diǎn)為 M ，則距 y 軸最近的 M 點(diǎn)的坐標(biāo)為3。yA 1AM 1MxOBB 1解： 2MM1AA1BB11(AFBF )eMM 11(AFBF )1 AB2e2e又 ec，則 MM122a當(dāng)且僅當(dāng) FAB 時(shí)，取“ =”，由逆徑2b28 ，故可取“ =”a6x0MM 1115又由 kOMkFMb23222a 22即

17、 y0y0 03y0215y015故M（5,15 ）55422222222y222210.P 為雙曲線x 1 右支上一點(diǎn)， M、N 分別是圓 (x 4) y 4 和 (x 4) y 1 上的點(diǎn)， 則 |PM | |PN|的最大值為 _F ( 4,0)、F (4,0)r 2， r1， | PM|解析： 雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，為兩個(gè)圓的圓心，半徑分別為1212max| PF1| 2，| PN| min | PF2| 1，故 | PM| |PN| 的最大值為 (| PF1| 2) (| PF2| 1) | PF1| | PF2| 3 5. 答案： 5.直線 l ： ykx 1與雙曲線 C：2 x2y

18、21的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B。（）求實(shí)數(shù)k 的取值范圍；（）是否存在實(shí)數(shù) k ，使得以線段 AB 為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C 的右焦點(diǎn) F？若存在， 求出 k 的值。 若不存在，說(shuō)明理由。解：（）將直線的方程1代入雙曲線的方程 2221后, 整理得lykxCxy( k 22) x22kx 20. 依題意，直線l 與雙曲線 C 的右支交于不同兩點(diǎn)，故k 220,(2k) 28( k22)0,2k0解得 k的取值范圍是 2k2k 2220.k 22(x1 , y1 ) 、 (x2 , y2 ) ，則由式得（）設(shè) A 、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1x22k,2k2 2x2x2.k 22假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使

19、得以線段 AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C 的右焦點(diǎn) F（ c,0） .則由 FA FB 得：( x1c)( x2c)y1 y20.即(x1c)( x2c)(kx11)(kx21)0.整理得(k 21) x1 x2( k c)( x1x2 )c210. 把式及 c6代入式化簡(jiǎn)得25k 226k60.解得 k656 或k66( 2, 2)(舍去)5可知 k66使得以線段 AB 為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C 的右焦點(diǎn) .5（四川卷 ）9.已知兩定點(diǎn) F1 (2,0), F2 ( 2,0), 滿足條件 PF 2PF 12 的點(diǎn) P 的軌跡是曲線E ，直線 kx 1 與曲線 E 交于 A、B 兩點(diǎn)。（）求的取值范

20、圍；（）如果AB63, 且曲線E 上存在點(diǎn)C，使 OAOBmOC, 求 m的值和ABC的面積S。本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、思想、方法和綜合解決問(wèn)題的能力。滿分14直線與雙曲線的關(guān)系、分。點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)及解析幾何的基本解：（）由雙曲線的定義可知，曲線E 是以 F12,0, F22,0為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且 c2, a1，易知 b1故曲線 E 的方程為 x2y21 x0設(shè) A x1 , y1, Bx2 , y2，由題意建立方程組ykx1x2y21消去 y ，得 1 k 2 x22kx 2 0又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A,B ，有1k 202k28 1k 20x1x22k0解得2

21、k11k 2x1 x2201k 2AB1 k2x1x21 k 2x1x24x1 x221k22k421k 21k221 k 22k21k 22依題意得21k 22k 26 31k 22整理后得 28k 455k2250 k 25或 k 2574但2k1 k52故直線 AB 的方程為5 xy102設(shè) Cx0 , y0，由已知 OAOBmOC ，得 x1 , y1x2 , y2mx0 ,my0 mx0 , my0x1x2 , y1y2， m 0mm又 x1x224 5， y1 y2k x1x222k22k21k22k2811點(diǎn) C458m,m將點(diǎn) C 的坐標(biāo)代入曲線E 的方程，得 80641 得

22、m4 ，m2m2但當(dāng) m4 時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意 m4 ，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為5, 2C 到 AB 的距離為552 121523122 ABC 的面積 S16 31323練習(xí)題1. 已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F(7，0)，直線 y=x 1與其相交于 M 、N 兩點(diǎn)， MN 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2 ，3則此雙曲線的方程是（）A x2y2 =1 B x2y2=1 C x 2y2=1D x2y2=1344352252. 雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F 2， F 1MF 2=120°，則雙曲線的離心率為（）A. 3B.6C.6D.3233A ， OAF 的面積為 a 23、已知雙曲線 x2y2 1（ a 0，b 0）的右焦點(diǎn)為 F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)（ Oa 2b22為原點(diǎn)），則兩條漸近線的夾角為（）A 30oB 45oC 60oD 90o4、已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1 (5,0) ， F2 (5,0) ，P 是此雙曲線上的一點(diǎn)，且PF1PF2，| PF1 | |PF2 |2，則該雙曲線的方程是A x2y21B x 2y 21C x 2y21D x2y21233244、 F