關(guān)于某極值點(diǎn)地幾個(gè)題目

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案關(guān)于極值點(diǎn)與零點(diǎn)的幾個(gè)題一解答題（共7 小題）1已知函數(shù)（ 1）若 y=f （x）在（ 0，+）恒單調(diào)遞減，求 a 的取值范圍；（ 2）若函數(shù) y=f（ x）有兩個(gè)極值點(diǎn) x1 ，x2（ x1x2），求 a 的取值范圍并證明 x1+x2 22已知函數(shù) f （ x） =xlnx x2 x+a（aR）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)（ 1）求 a 的取值范圍；（ 2）記兩個(gè)極值點(diǎn) x1，x2，且 x1 x2 ，已知 0，若不等式 x1? x2 e1+ 恒成立，求的取值范圍3已知函數(shù) f （ x） =ln ax2+x，（ 1）討論函數(shù) f （x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（ 2）若 f （x）有兩個(gè)極

2、值點(diǎn) x1， x2 ，證明： f （x1）+f （ x2 ） 34ln2 4已知函數(shù) f （ x） =（e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（ 1）若 a= ，求函數(shù) f （x）的單調(diào)區(qū)間；（ 2）若 f （1）=1，且方程 f （x）=1 在（0，1）內(nèi)有解，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案5已知函數(shù) f （ x） =lnx ax（）若函數(shù) f （x）在（ 1，+）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；（）當(dāng) a=1 時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) x1 ，x2，且 x1x2求證：x1+x216已知 f （x）=ln （mx+1） 2（ m 0）（ 1）討論 f （x）的單調(diào)性；（ 2）若 m0，g（x）=f （

3、x） +存在兩個(gè)極值點(diǎn) x1， x2 ，且 g（x1） +g（x2） 0，求 m的取值范圍7已知函數(shù) f （ x） =x（lnx ax）（aR）， g（x）=f （ x）（ 1）若曲線 y=f （x）在點(diǎn)（ 1，f （1）處的切線與直線 3xy1=0 平行，求實(shí)數(shù) a 的值；（ 2）若函數(shù) F（ x） =g（x）+ x2 有兩個(gè)極值點(diǎn) x1， x2，且 x1 x2，求證： f （x2） 1 f （ x1）文檔2）a0 時(shí)， y=F（x）在實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案關(guān)于極值點(diǎn)的幾個(gè)題目-有點(diǎn)難參考答案與試題解析一解答題（共7 小題）1（2017? 達(dá)州模擬）已知函數(shù)（ 1）若 y=f （x）在（ 0，+）恒單

4、調(diào)遞減，求 a 的取值范圍；（ 2）若函數(shù) y=f（ x）有兩個(gè)極值點(diǎn) x1 ，x2（ x1x2），求 a 的取值范圍并證明 x1+x2 2【分析】（ 1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可；（ 2）求出函數(shù) f （x）的導(dǎo)數(shù)，令 F（ x） =f' （x）=lnx ax+1，求出函數(shù) F（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論 a 的范圍求出 a 的范圍，證明即可【解答】 解：（1）因?yàn)?f' （x）=lnx ax+1（x0），所以由 f' （x） 0 在（ 0，+）上恒成立得，令，易知g（ x）在（ 0，1）單調(diào)遞增（ 1， +

5、）單調(diào)遞減，所以 ag（1）=1，即得： a1 （ 5 分）（ 2）函數(shù) y=f （ x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（ x1x2 ），即 y=f' （x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且均為正，f' （ x） =lnx ax+1（ x 0），令 F（x）=f' （x）=lnx ax+1，由可知1）a0 時(shí)，函數(shù) y=f （x）在（ 0， +）上是增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)是增函數(shù)在是減函數(shù)，此時(shí)為函數(shù)的極大值，也是最大值當(dāng)時(shí)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，所以才可能有兩個(gè)零點(diǎn)，文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案得： 0a1 （ 7 分）此時(shí)又因?yàn)?，令，?a）在（ 0，1）上單調(diào)遞增，所以（ a）（ 1）=3e2，即綜

6、上，所以 a 的取值范圍是（ 0，1） （ 8 分）下面證明 x1+x2 2由于 y=F（x）在是增函數(shù)在是減函數(shù)，可構(gòu)造出構(gòu)造函數(shù)則，故 m（x）在區(qū)間上單調(diào)減又由于，則， 即 有m（ x1 ） 0在上 恒 成 立 ， 即 有成立由于， y=F（x）在是減函數(shù)，所以所以成立 （ 12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、 最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題2（2017? 天心區(qū)校級(jí)一模）已知函數(shù)f （ x）=xlnx x2 x+a（a R）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（ 1）求 a 的取值范圍；（ 2）記兩個(gè)極值點(diǎn) x1，x2，且 x1 x2 ，已

7、知 0，若不等式 x1? x2 e1+ 恒成立，求的取值范圍【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系知可轉(zhuǎn)化為方程f （ x） =lnx ax=0 在（ 0，+）有兩個(gè)不同根；再轉(zhuǎn)化為函數(shù) y=lnx 與函數(shù) y=ax 的圖象在（ 0，+）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)；（ 2）原式等價(jià)于，令 t=，t （ 0，1），則不等式 lnt 在 t （ 0，1）上恒成立令 h（ t ）=lnt ，t （0，1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出即可【解答】 解：（1）由題意知，函數(shù)f （x）的定義域?yàn)椋?0，+），方程 f （ x） =0 在（ 0， +）有兩個(gè)不同根，即方程lnx ax=0 在（0，+）有兩個(gè)不同根；轉(zhuǎn)化為函數(shù) y

8、=lnx 與函數(shù) y=ax 的圖象在（ 0， +）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖示：，可見(jiàn)，若令過(guò)原點(diǎn)且切于函數(shù)y=lnx 圖象的直線斜率為k，只須 0ak令切點(diǎn) A（ x0 ，lnx 0），故 k=y|x=x 0=，又 k=，故=，解得， x0=e，故 k= ，故 0a ；文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1+ x1 ?等價(jià)于 1+ lnx 1+lnx 2 （ 2）因?yàn)?ex2由（ 1）可知 x1 ，x2 分別是方程 lnx ax=0 的兩個(gè)根，即 lnx 1=ax1，lnx 2=ax2所以原式等價(jià)于 1+ ax +ax =a（ x+ x），因?yàn)?0， 0 xx ，121212所以原式等價(jià)于 a，又由 lnx 1 =

9、ax1，lnx 2=ax2 作差得， ln=a（ x1 x2 ），所以原式等價(jià)于，因?yàn)?0x1 x2，原式恒成立，即ln恒成立令 t=，t （ 0， 1），則不等式 lnt 在 t （ 0， 1）上恒成立令 h（t ）=lnt ， t （ 0，1），又 h（ t ）=，當(dāng) 2 1 時(shí)，可見(jiàn) t （ 0，1）時(shí)， h（ t ） 0，所以 h（t ）在 t （ 0，1）上單調(diào)增，又 h（1）=0， h（ t ） 0 在 t （ 0，1）恒成立，符合題意當(dāng) 2 1 時(shí)，可見(jiàn) t （0， 2）時(shí)， h（ t ） 0， t （ 2， 1）時(shí) h（ t ） 0，所以 h（t ）在 t （ 0， 2 ）時(shí)單

10、調(diào)增，在t （ 2， 1）時(shí)單調(diào)減，又h（ 1）=0，所以 h（t ）在 t （ 0，1）上不能恒小于 0，不符合題意，舍去綜上所述，若不等式e1+ x1? x2恒成立，只須 2 1，又 0，所以1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合的思想方文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案法的應(yīng)用，是一道綜合題3（2017? 湖北模擬）已知函數(shù)f （x）=lnax2 +x，（ 1）討論函數(shù) f （x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（ 2）若 f （x）有兩個(gè)極值點(diǎn) x1， x2 ，證明： f （x1）+f （ x2 ） 34ln2 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論 a 的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函

11、數(shù)的極值的個(gè)數(shù)；（ 2）根據(jù) x1 ，x2 是方程 2ax2 x+1=0 的兩根，得到，求出 f （x1）+f （x2），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可【解答】 解：（1）由，得：，（） a=0 時(shí)，x（ 0， 1），f （ x） 0， x（ 1，+），f （ x） 0，所以 x=1， f （x）取得極小值， x=1 是 f （x）的一個(gè)極小值點(diǎn)（） a0 時(shí)， =1 8a0，令 f （ x）=0，得顯然， x1 0，x2 0，f （x）在 x=x1 取得極小值， f （x）有一個(gè)極小值點(diǎn)（） a0 時(shí)， =1 8a0 即時(shí)， f （ x） 0，f （x）在（ 0，+）是減函數(shù)， f （ x）無(wú)極值

12、點(diǎn)當(dāng)時(shí)， =18a0，令 f （ x） =0，得當(dāng) x（0，x1）和 x（x2，+）f （ x） 0，x（ x1，x2）時(shí)， f （x）0， f （ x）在 x1 取得極小值，在 x2 取得極大值，所以 f （ x）有兩個(gè)極值點(diǎn)綜上可知：（） a0 時(shí)， f （ x）僅有一個(gè)極值點(diǎn)；（） 當(dāng)時(shí)， f （x）無(wú)極值點(diǎn)；（）當(dāng)時(shí)， f （x）有兩個(gè)極值點(diǎn)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（ 2）證明：由（ 1）知，當(dāng)且僅當(dāng)a（ 0，）時(shí)， f （ x）有極小值點(diǎn)x1 和極大值點(diǎn) x2 ，且 x1，x2 是方程 2ax2x+1=0 的兩根，=，設(shè)，時(shí)， g（ a）是減函數(shù)， f （ x1）+f （x2 ） 34ln2

13、 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、 最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論數(shù)思想，是一道綜合題4（ 2016? 包頭校級(jí)三模） 已知函數(shù) f（ x）=（e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（ 1）若 a= ，求函數(shù) f （x）的單調(diào)區(qū)間；（ 2）若 f （1）=1，且方程 f （x）=1 在（0，1）內(nèi)有解，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍【分析】（1）若 a= ，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù) f （x）的單調(diào)區(qū)間；（ 2）根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)存在零點(diǎn)問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可【解答】 解：（1）若 a=，f （x）=（x2+b

14、x+1） e x，文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案則 f （x）=（ 2x+b）e x（ x2+bx+1）ex = x 2+（b2）x+1be x=（x1）x （ 1b）e x，由 f （ x）=0 得（ x 1） x （ 1 b） =0 ，即 x=1 或 x=1 b，若 1b=1，即 b=0 時(shí)， f （ x）=（x1）2 e x 0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為（， +）若 1b1，即 b 0 時(shí)，由 f （x）=（x1）x （ 1b）e x0 得（ x 1） x （ 1 b） 0，即 1x1b，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增區(qū)間為（1， 1 b），由 f （ x）=（ x 1） x （ 1b）e x 0

15、 得（ x1）x （ 1 b） 0，即 x1，或 x 1b，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為（，1），（1 b， +），若 1b1，即 b 0 時(shí)，由 f （x）=（x1）x （ 1b）e x0 得（ x 1） x （ 1 b） 0，即 1bx1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增區(qū)間為（1 b， 1），由 f （ x）=（ x 1） x （ 1b）e x 0 得（ x1）x （ 1 b） 0，即 x1b，或 x1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為（，1 b），（ 1， +）（ 2）若 f （1）=1，則 f （1）=（2a+b+1） e 1=1，即 2a+b+1=e，則 b=e12a，若方程 f （

16、 x）=1 在（ 0， 1）內(nèi)有解，即方程 f （ x）=（2ax2 +bx+1）e x=1 在（ 0，1）內(nèi)有解，即 2ax2+bx+1=ex 在（ 0，1）內(nèi)有解，即 ex2ax2bx1=0，設(shè) g（x）=ex 2ax2bx1，則 g（x）在（ 0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，設(shè) x0 是 g（ x）在（ 0，1）內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，則 g（0） =0，g（1）=0，知函數(shù) g（x）在（ 0，x0）和（ x0， 1）上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減，設(shè) h（x）=g（ x），文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案則 h（x）在（ 0，x0）和（ x0， 1）上存在零點(diǎn)，即 h（x）在（ 0，1）上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，g（ x） =e

17、x4ax b， h（ x）=ex 4a，當(dāng) a時(shí)， h（ x） 0，h（ x）在（ 0，1）上遞增， h（x）不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn)，當(dāng) a時(shí)， h（ x） 0，h（ x）在（ 0，1）上遞減， h（x）不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn)，當(dāng)a時(shí)，令 h（ x）=0，得 x=ln （ 4a）（ 0，1），則 h（x）在（ 0，ln （4a）上遞減，在（ ln （4a），1）上遞增， h（x）在（ 0，1）上存在最小值 h（ln （4a）若 h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則有h（ ln （4a） 0，h（0） 0，h（1） 0，h（ln （4a）=4a4aln （4a） b=6a4aln （4a）+1e， a，設(shè)（

18、x）=xxlnx+1 e，（ 1 x e），則（ x） = lnx ，令（ x） = lnx=0 ，得 x=，當(dāng) 1x 時(shí)，（ x） 0，此時(shí)函數(shù)（ x）遞增，當(dāng) x e 時(shí)，（ x） 0，此時(shí)函數(shù)（ x）遞減，則（ x）max=（）=+1e0，則 h（ln （ 4a） 0 恒成立，由 h（0）=1b=2ae+2 0， h（ 1） =e4ab 0，得a ，當(dāng) a 時(shí)，設(shè) h（ x）的兩個(gè)零點(diǎn)為 x1，x2，則 g（x）在（ 0，x1）遞增，在（ x1，x2）上遞減，在（ x2， 1）遞增，則 g（x1） g（ 0）=0，g（x2） g（1） =0，則 g（x）在（ x1 ，x2）內(nèi)有零點(diǎn)，文檔

19、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案綜上，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（，）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的求解和判斷， 利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵 綜合性較強(qiáng)，難度較大5（2016? 寧城縣模擬）已知函數(shù)f （x）=lnx ax（）若函數(shù) f （x）在（ 1，+）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；（）當(dāng) a=1 時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) x1 ，x2，且 x1x2求證：x1+x21【分析】（）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分離參數(shù)a，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng) x1 時(shí)恒成立，解出即可；（ ） 求 出 個(gè) 零 點(diǎn)x1 ， x2 ，得 到 構(gòu)造 函 數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可【解答】

20、解：（I ）因?yàn)?f （ x） =lnx ax，則，若函數(shù) f （ x）=lnx ax 在（ 1， +）上單調(diào)遞減，則 1ax 0 在（ 1，+）上恒成立，即當(dāng) x1 時(shí)恒成立，所以 a1（5 分）（ II ）證明：根據(jù)題意，因?yàn)?x1， x2 是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以，兩式相減，可得，（7 分）即，故文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案那么，令，其中 0t 1，則構(gòu)造函數(shù)，（ 10 分）則因?yàn)?0t 1，所以 h' （t ） 0 恒成立，故 h（t ） h（1），即可知，故 x1+x2 1（ 12 分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、 最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查不等式的證明，是一道綜

21、合題6（2016? 河南三模）已知 f （x）=ln （ mx+1） 2（ m 0）（ 1）討論 f （x）的單調(diào)性；（ 2）若 m0，g（x）=f （ x） +存在兩個(gè)極值點(diǎn) x1， x2 ，且 g（x1） +g（x2） 0，求 m的取值范圍【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性；（ 2）求出 g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論 m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值，判斷是否符合題意，從而判斷出 m的范圍即可【解答】 解：（1）由已知得 mx+10，f （ x）=，若 m0 時(shí)，由 mx+10，得： x，恒有 f （ x） 0， f （ x）在（，+）遞增；若 m

22、0，由 mx+1 0，得： x，恒有 f （ x） 0，文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 f （ x）在（，）遞減；綜上， m0 時(shí)， f （ x）在（，+）遞增，m0 時(shí)， f （x）在（，）遞減；（ 2） g（ x） =ln （mx+1） +2，（ m 0）， g（ x）=，2令 h（x）=mx+4m4，m1 時(shí)， h（x） 0，g（ x） 0， g（ x）無(wú)極值點(diǎn)，0m1 時(shí)，令 h（x）=0，得： x1= 2或 x2=2，由 g（x）的定義域可知x且 x 2， 2且 2 2，解得： m， x1，x2 為 g（ x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，即 x1=2，x2=2，且 x1+x2=0，x1? x2=，得：g（x1）

23、 +g（x2） =ln （ mx1+1）+2+ln （mx2 +1）+ 2=ln （ 2m1）2+2，令 t=2m1，F(xiàn)（ t ） =lnt 2 + 2， 0 m 時(shí)， 1t 0， F（ t ） =2ln （ t ） + 2， F（ t ）=0， F（ t ）在（ 1，0）遞減， F（t ） F（ 1） 0，即 0m 時(shí)， g（ x1） +g（x2） 0 成立，符合題意； m1 時(shí)， 0 t 1，文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 F（ t ） =2lnt+2， F（ t ）=0， F（ t ）在（ 0，1）遞減， F（t ） F（1）=0， m1 時(shí)， g（ x1） +g（x2） 0，不合題意，綜上， m（

24、0，）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、 最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想，是一道綜合題7（ 2016? 湖北模擬）已知函數(shù)f （ x）=x（lnx ax）（ a R），g（x）=f （ x）（ 1）若曲線 y=f （x）在點(diǎn)（ 1，f （1）處的切線與直線 3xy1=0 平行，求實(shí)數(shù) a 的值；（ 2）若函數(shù) F（ x） =g（x）+ x2 有兩個(gè)極值點(diǎn) x1， x2，且 x1 x2，求證： f （x2） 1 f （ x1）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，解a；（ 2）利用極值點(diǎn)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求出 a 的范圍，進(jìn)一步求出 f （x）的解析式，通過(guò)求導(dǎo)判斷其單調(diào)性以及最值【解答】 解：（1） f （ x）=ln x 2ax+1， f （ 1）=1 2a因?yàn)?3xy1=0 的斜率為 3依題意，得