第20屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽初1第2試

1、、選擇題（以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的，請將表示正確答案的英文字母寫在每題后 面的圓括號內(nèi).）2253471 226139A. 311B.-11C.112.每只玩具熊的售價為 250元.熊的四條腿上各有兩個飾物，標(biāo)號依次為111, 2, 3,，8.賣家說:“第 1, 2, 就免費贈送. A. 5元 3.如圖1 ,3, 4,，8號飾物依次要收 1, 2, 4, 8,，128 ”若按這樣的付費辦法，這只熊比原售價便宜了（B. -5 元C. 6元直線MN / PQ ,點O在PQ上.射線OA OB ,分別交MN于點C和D . BOQ 30旋轉(zhuǎn)30 ,則圖中60的角共有（.若將射線OB繞點O逆

2、時針）A, 4個C. 6個4.如果有理數(shù)B. 5個D, 7個b使得U那么A. a b是正數(shù)5. As in Fig. 2,b 1B. a b是負(fù)數(shù) in the circular ringC.of whicha b2是正數(shù)center is pointAO BO , and the area of the shadowy part is 25cicular ring equals to- -2A. 147cm2C. 167cmB.D.)(式 3.14.)157cm22177cm6.已知多項式Pi(x)2x25x 1 和 p2(x)3x簡結(jié)果為A.C.6x26x323x223x223x23xB.

3、D.7.若三角形的三邊長圖1元.如果購買全部飾物，那么玩具熊）D. -6 元D.O , if2cm , then the area of thePi(x)是負(fù)數(shù)P2（x）的最Fig. 2b26x26x323x223x223x23xcat2abt32中圖3t12最大D.t32最小C. t2最大（擬題：李耀文山東棗莊市第四十中學(xué)277200）8.如圖3,邊長20m的正方形池塘的四周是草場，池塘圍欄的M , N , P , Q處各有一根鐵樁，QP PN MN 4m ,用長 20m的繩子將一頭牛拴在一根鐵樁上，若要使牛的活動區(qū)域的面積最大， 則繩子應(yīng)拴在（）上.A. Q樁B. P樁C. N樁D. M樁

4、9.電影票有10元、15元、20元三種票價，班長用 500元買了 30張電影票，其中票價為 20元的比票價為10元的多（A. 20 張B. 15 張C. 10 張D. 5 張10 .將圖4中的正方體的表面展開到平面內(nèi)可以是下列圖形中的（）望（擬題：劉麗勝福建省泉州市洛江區(qū)河市中學(xué)362013)二、填空題11.據(jù)測算,11瓦節(jié)能燈的照明效果相當(dāng)于80瓦的白熾燈.某教室原來裝有100瓦白熾燈一只.為了16.若 abcabc abc a lb c abc的最大值是（擬題：吳健陜西省禮泉縣科協(xié)教學(xué)室713200)節(jié)約能量，并且保持原來的照明效果，可改為安裝 瓦（取整數(shù)）的節(jié)能燈一只.12 .將五個有理

5、數(shù)5, ,12每兩個的剩積由小到大地排列，則最小的是 38 2317 19最大的是.13 .十進制的自然數(shù)可以寫成2的方哥的降哥的多項式，如：_4_3_2_10191016 2 1 1 24 0 23 0 22 1 21 1 20 100112 ,即十進制的數(shù)19對應(yīng)二進制的數(shù)10011.按照上述規(guī)則，十進制的數(shù)413對應(yīng)的二進制數(shù)是214 .如圖5,點P在正萬形 ABCD外，PB 10cm, APB的面積是60cm ,22 BPC的面積是30cm ,則正萬形 ABCD的面積是 cm15.若x17.已知F(x)表示關(guān)于x的運算規(guī)律： F(x) x3 (例如F(2) 23 8, F(3) 33

6、27 J").又規(guī)定 F(x) F(x 1) F(x),則 4Fla b) .18. 一條公交線路從起點到終點有8個站.一輛公交車從起點站出發(fā)，前 6站上車100人，前7站下車80人.則從前6站上車而在終點站下車的乘客有 人. 19. If the product of a simple binomial x m and a quadratic x 1 is a cubic multinomial 2x 5是xx ax b , then a =, b , m .20.方程 x一x- HI 4ti 2009 的解是 x .1 2 1 2 31 2 32009 px2 q的一個因式，則

7、pq的值是.（擬題：曾寶君廣東省佛山市石門實驗中學(xué)528222）解答題（每題都要寫出推算過程.）21 .如果兩個整數(shù) x, y的和、差、積、商的和等于100.那么這樣的整數(shù)有幾對？求 x與y的和的最小值，及x與y的積的最大值.22 .某林場安排了 7天的植樹工作.從第二天起每天都比前一天增加5個植樹的人，但從第二天起每人每天都比前一天少植 5棵樹.且同一天植樹的人，植相同數(shù)量的樹.若這 7天共植樹9947棵，則植樹最多的那天共植了多少棵？植樹最少的那天，有多少人在植樹？23 . 5個有理數(shù)兩兩的剩積是如下的10個數(shù)：-12, 0. 168, 0. 2, 80, -12. 6, -15, -60

8、00, 0. 21, 84, 100.請確定這 5 個有理數(shù)，并簡述理由.答,提示、選擇題題號12345678910答案ABDDBACCCD提 示5324725 34 75 34 76 1 00631226123926139613922 1 002211故選A.2 .若按飾物收費，應(yīng)收 1+2+4+8+16+32+64+128=255 (元)，比標(biāo)價250元貴了 5元，也就是比標(biāo)價便 宜了 -5元.故選B3 .如圖6,將射線OB以點O為中心，逆時針旋轉(zhuǎn) 30后，角 的終邊OE交MN于F .則圖中60的角有EOQ , AOE , AOP , OCF , ACM , OFC , EFN , 共7個

9、.故選D.4 .由-1 0 ,可知b 1且a 1 .所以a b2是負(fù)數(shù).b 1圖7故選D.5 .譯文：如圖 2,以O(shè)為圓心的圓環(huán)中，AO BO,陰影部分的面積是225 cm ,則圓環(huán)的面積等于( )A . 147 cm2B.157 cm 2C.167 cm2D.177cm2解：如圖7,設(shè)外圓半徑為 R,內(nèi)圓半徑為r ,則圓環(huán)的面積為 MR2 r2) .題目 中沒有直接給出 R 和 r , 但是隨影 Sa aobSa cod1R2- r21R2 r2 ,即 25 1 R2r2,所以2222R2 r2 50 ,于是 環(huán)tR2 <2n R2 r250 n.故選B26 . R(x) p2(x)

10、2x 5x 1 3x 4故選A.326x 23x23x 4 .7 .由 t； t2a2 bcb2 ca.一 22.a b a b c 0,得 ti t2,由13.因為 41310256 128 16 8 4 1.2222t2 13b ca c abb c b c a 0 得 t； t2,所以ti2t2t32故選C.8 .如圖8,當(dāng)拴牛在N樁時，它的活動區(qū)域的面積是3 兀 202300 兀 m2 ；4當(dāng)拴牛在P或M樁時，它的活動區(qū)域的面積都是121222-% 20兀 416268兀 m ;24當(dāng)拴牛在Q樁上時，它的活動區(qū)域的面積是121222-71 20- 71 812252 Tt m ;24因

11、為300n268n252 Tt,故選C.9 .設(shè)購買10元、15元、20元的電影票分別為 x, y,z張，由題意得x y z 30,10x 15y 20z 500,x 10.由-15,得也就是說所購買的電影票中20元的比10的多10張.故選C.10 .觀察四個選項知僅D符合.二、填空題題號 111213141516171819204102答案 143； 11001101 180 150 4; -43ab 3 a b 120 -3 ; 2; 2 1005提示11 .設(shè)x表示安裝節(jié)能燈的瓦數(shù).則為安裝14瓦的節(jié)能燈一只.12 . 5個有理數(shù)大小依次是：581223 11 10011: 80= x：

12、 100,解得x13.75 ,取整數(shù)得14,則可改8010 12 15 217 19 23 3 .它們兩兩乘積中最小的首先應(yīng)是個負(fù)數(shù).其次應(yīng)是最小的負(fù)數(shù)與最大的正數(shù)的乘積，即 M 2.8312 51025兩兩乘積中最大的可能是兩個負(fù)數(shù)的乘積也可能是兩個最大的正數(shù)的乘積，即-10 與，或817682 153 23因為空6810一.23,故所給的5個有理數(shù)的兩兩乘積中最大的是2323876543211 21 20 20 21 21 20 20 21 20110011101 2所以十進制的數(shù) 413對應(yīng)的二進制數(shù)是 110011101.14.如圖9,從點A作AE垂直于PB的延長線于點E ,從點C作C

13、F垂直于PB的延長線于點F .因為PB 10cm , SApab 60cm2 , SAcpb 30cm2 .根據(jù)面積公A, 可得 又 所以 故 于是 所以BAEAE 12cm, CF 6cm, 四邊形ABCD是正方形，CBF , AEB BFC , AB BC , ABE ABCF ,BE CF ,圖9AB2AE222,BE 126180 (2、 cm )即正方形ABCD的面積是2180cm .15.用多項式除法易得42x px2x 52x110 2 p 1 x因為2x5是x42pxq的一個因式,所以1010p 6,pqc均大于0時,150 .得最大值是4；當(dāng)a, b, c均小于0時，得最小值

14、是-4 .17. AF(a b) F(a1)F(a b)=(a1)3(ab)3(ab)18 .設(shè)前7站上車的乘客數(shù)量依次為a2 ，a3, a4，a7人,從第2站到第8站下車的乘客數(shù)量依次為 b2, b3 , b4 , b5 , b6 , b7 , b8 人.顯然有a a2a3a5a6a7 = b2b3b4b5b6b7b8又因為a2a3a4a5a6b2 b3 b4 b5 b6 b780 ,所以也就是12斛：x m x 123x m x 2x 1 = x根據(jù)題意，x3 m2 x21 2m xm 2 0, 因而12m a,m所以a2,3, 2.100 a780 bs,b8 a7 100 80 20

15、.這表明從前6站上車而在終點站下車的乘客共20人.219 .譯文：若一次二項式 x m與二次式 x 1的乘積是三次多項式 x3 ax b,則a20 .由原方程得1x 11 2“I 1n2009,1 2 32009六III21 2009 , 2009 2010212x 一2III 2009, 2009 20102 20102009 ,x 1005.三、解答題21 .由題意，知xy xy - 100 y 0y亦即因為所以2x xyx_ y yx,x y, xx-1y21y是整數(shù)，y, xy都是整數(shù),它們與-的和是整數(shù)100, y22 時，y 12,所以25'或1,75 , 3.452時,所

16、以16,或4,24, 6.102 時,所以9,9,11 ,11.當(dāng)xy12時,所以0,0,（舍去），或200 , 2.由上可知，滿足題意的整數(shù)x,其中,min 20022.設(shè)第每人植樹同理，第xy max2004天有m人植樹，每人植樹 n棵，則第n 5棵，則第3天共植樹m2天共植樹1010棵;第1天共植樹1515棵;第5天共植樹5棵;第6天共植樹1010棵;第7天共植樹1515棵.由7天共植樹9947棵，知15n 15104天共植樹mn棵，于是，第3天有m 5人植樹,5棵;10 n 10 m 5 n 5 mnn 10 m 15 n 159947,化簡，得即因為又所以故因為第4天植樹的棵數(shù)為 其

17、他各天植樹的棵數(shù)為7mn700 9947,mn1521 每天都有人植樹， m 15, n 15.m n 3939 39 1521,*）39 a 39 a 392 a2 1521 a2 1521 （ 其中 a 5或 10 或 15） 所以第 4 天植樹最多，這一天共植樹1521 棵由（*）,知當(dāng)a 15時，392 a2的值最小.又當(dāng) a 15時，植樹人數(shù)為39+15=54 或 39-15=24，所以植樹最少的那天有54 人或 24 人植樹23將5 個有理數(shù)兩兩的乘積由小到大排列：60001512.612 0.168 0.2 0.21 80 84 100因為 5 個有理數(shù)的兩兩乘積中有4 個負(fù)數(shù)且

18、沒有0， 所以這 5 個有理數(shù)中有1 個負(fù)數(shù)和4 個正數(shù)，或 1個正數(shù)和4 個負(fù)數(shù)若這 5 個有理數(shù)是1 負(fù) 4 正，不妨設(shè)為x10 x2x3x4x5 ，x1x5 x1 x4x1 x3x1x20 x2x3x2x5X2X4X3X5X4X5 .（其中X2X5與X3X4的大小關(guān)系暫時不x3x4能斷定 ）所以X1X56000 ， X1 X415 ， X4 X5 100 ，三式相乘，得X1X4X5 2 9 106 ，X1 0， X40 ， X5 0 ，解得X1X4 X53000 ，所以X130 ， X4 0.5， X5 200再由X130， X1X212， X1X312.6，得X20.4， X30.42 經(jīng)檢驗，X130，X20.4，X30.42， X40.5，X5200滿足題意若這 5 個有理數(shù)是4 負(fù) 1 正，不妨設(shè)為X1 X2 X3 X40 X5 ，則X1 X5X2X5X4X5X1X40 X3 X4 X2 X4X