第20屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初1第2試

1、、選擇題（以下每題的四個(gè)選項(xiàng)中，僅有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將表示正確答案的英文字母寫(xiě)在每題后 面的圓括號(hào)內(nèi).）2253471 226139A. 311B.-11C.112.每只玩具熊的售價(jià)為 250元.熊的四條腿上各有兩個(gè)飾物，標(biāo)號(hào)依次為111, 2, 3,，8.賣(mài)家說(shuō):“第 1, 2, 就免費(fèi)贈(zèng)送. A. 5元 3.如圖1 ,3, 4,，8號(hào)飾物依次要收 1, 2, 4, 8,，128 ”若按這樣的付費(fèi)辦法，這只熊比原售價(jià)便宜了（B. -5 元C. 6元直線(xiàn)MN / PQ ,點(diǎn)O在PQ上.射線(xiàn)OA OB ,分別交MN于點(diǎn)C和D . BOQ 30旋轉(zhuǎn)30 ,則圖中60的角共有（.若將射線(xiàn)OB繞點(diǎn)O逆

2、時(shí)針）A, 4個(gè)C. 6個(gè)4.如果有理數(shù)B. 5個(gè)D, 7個(gè)b使得U那么A. a b是正數(shù)5. As in Fig. 2,b 1B. a b是負(fù)數(shù) in the circular ringC.of whicha b2是正數(shù)center is pointAO BO , and the area of the shadowy part is 25cicular ring equals to- -2A. 147cm2C. 167cmB.D.)(式 3.14.)157cm22177cm6.已知多項(xiàng)式Pi(x)2x25x 1 和 p2(x)3x簡(jiǎn)結(jié)果為A.C.6x26x323x223x223x23xB.

3、D.7.若三角形的三邊長(zhǎng)圖1元.如果購(gòu)買(mǎi)全部飾物，那么玩具熊）D. -6 元D.O , if2cm , then the area of thePi(x)是負(fù)數(shù)P2（x）的最Fig. 2b26x26x323x223x223x23xcat2abt32中圖3t12最大D.t32最小C. t2最大（擬題：李耀文山東棗莊市第四十中學(xué)277200）8.如圖3,邊長(zhǎng)20m的正方形池塘的四周是草場(chǎng)，池塘圍欄的M , N , P , Q處各有一根鐵樁，QP PN MN 4m ,用長(zhǎng) 20m的繩子將一頭牛拴在一根鐵樁上，若要使牛的活動(dòng)區(qū)域的面積最大， 則繩子應(yīng)拴在（）上.A. Q樁B. P樁C. N樁D. M樁

4、9.電影票有10元、15元、20元三種票價(jià)，班長(zhǎng)用 500元買(mǎi)了 30張電影票，其中票價(jià)為 20元的比票價(jià)為10元的多（A. 20 張B. 15 張C. 10 張D. 5 張10 .將圖4中的正方體的表面展開(kāi)到平面內(nèi)可以是下列圖形中的（）望（擬題：劉麗勝福建省泉州市洛江區(qū)河市中學(xué)362013)二、填空題11.據(jù)測(cè)算,11瓦節(jié)能燈的照明效果相當(dāng)于80瓦的白熾燈.某教室原來(lái)裝有100瓦白熾燈一只.為了16.若 abcabc abc a lb c abc的最大值是（擬題：吳健陜西省禮泉縣科協(xié)教學(xué)室713200)節(jié)約能量，并且保持原來(lái)的照明效果，可改為安裝 瓦（取整數(shù)）的節(jié)能燈一只.12 .將五個(gè)有理

5、數(shù)5, ,12每?jī)蓚€(gè)的剩積由小到大地排列，則最小的是 38 2317 19最大的是.13 .十進(jìn)制的自然數(shù)可以寫(xiě)成2的方哥的降哥的多項(xiàng)式，如：_4_3_2_10191016 2 1 1 24 0 23 0 22 1 21 1 20 100112 ,即十進(jìn)制的數(shù)19對(duì)應(yīng)二進(jìn)制的數(shù)10011.按照上述規(guī)則，十進(jìn)制的數(shù)413對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)是214 .如圖5,點(diǎn)P在正萬(wàn)形 ABCD外，PB 10cm, APB的面積是60cm ,22 BPC的面積是30cm ,則正萬(wàn)形 ABCD的面積是 cm15.若x17.已知F(x)表示關(guān)于x的運(yùn)算規(guī)律： F(x) x3 (例如F(2) 23 8, F(3) 33

6、27 J").又規(guī)定 F(x) F(x 1) F(x),則 4Fla b) .18. 一條公交線(xiàn)路從起點(diǎn)到終點(diǎn)有8個(gè)站.一輛公交車(chē)從起點(diǎn)站出發(fā)，前 6站上車(chē)100人，前7站下車(chē)80人.則從前6站上車(chē)而在終點(diǎn)站下車(chē)的乘客有 人. 19. If the product of a simple binomial x m and a quadratic x 1 is a cubic multinomial 2x 5是xx ax b , then a =, b , m .20.方程 x一x- HI 4ti 2009 的解是 x .1 2 1 2 31 2 32009 px2 q的一個(gè)因式，則

7、pq的值是.（擬題：曾寶君廣東省佛山市石門(mén)實(shí)驗(yàn)中學(xué)528222）解答題（每題都要寫(xiě)出推算過(guò)程.）21 .如果兩個(gè)整數(shù) x, y的和、差、積、商的和等于100.那么這樣的整數(shù)有幾對(duì)？求 x與y的和的最小值，及x與y的積的最大值.22 .某林場(chǎng)安排了 7天的植樹(shù)工作.從第二天起每天都比前一天增加5個(gè)植樹(shù)的人，但從第二天起每人每天都比前一天少植 5棵樹(shù).且同一天植樹(shù)的人，植相同數(shù)量的樹(shù).若這 7天共植樹(shù)9947棵，則植樹(shù)最多的那天共植了多少棵？植樹(shù)最少的那天，有多少人在植樹(shù)？23 . 5個(gè)有理數(shù)兩兩的剩積是如下的10個(gè)數(shù)：-12, 0. 168, 0. 2, 80, -12. 6, -15, -60

8、00, 0. 21, 84, 100.請(qǐng)確定這 5 個(gè)有理數(shù)，并簡(jiǎn)述理由.答,提示、選擇題題號(hào)12345678910答案ABDDBACCCD提 示5324725 34 75 34 76 1 00631226123926139613922 1 002211故選A.2 .若按飾物收費(fèi)，應(yīng)收 1+2+4+8+16+32+64+128=255 (元)，比標(biāo)價(jià)250元貴了 5元，也就是比標(biāo)價(jià)便 宜了 -5元.故選B3 .如圖6,將射線(xiàn)OB以點(diǎn)O為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 30后，角 的終邊OE交MN于F .則圖中60的角有EOQ , AOE , AOP , OCF , ACM , OFC , EFN , 共7個(gè)

9、.故選D.4 .由-1 0 ,可知b 1且a 1 .所以a b2是負(fù)數(shù).b 1圖7故選D.5 .譯文：如圖 2,以O(shè)為圓心的圓環(huán)中，AO BO,陰影部分的面積是225 cm ,則圓環(huán)的面積等于( )A . 147 cm2B.157 cm 2C.167 cm2D.177cm2解：如圖7,設(shè)外圓半徑為 R,內(nèi)圓半徑為r ,則圓環(huán)的面積為 MR2 r2) .題目 中沒(méi)有直接給出 R 和 r , 但是隨影 Sa aobSa cod1R2- r21R2 r2 ,即 25 1 R2r2,所以2222R2 r2 50 ,于是 環(huán)tR2 <2n R2 r250 n.故選B26 . R(x) p2(x)

10、2x 5x 1 3x 4故選A.326x 23x23x 4 .7 .由 t； t2a2 bcb2 ca.一 22.a b a b c 0,得 ti t2,由13.因?yàn)?41310256 128 16 8 4 1.2222t2 13b ca c abb c b c a 0 得 t； t2,所以ti2t2t32故選C.8 .如圖8,當(dāng)拴牛在N樁時(shí)，它的活動(dòng)區(qū)域的面積是3 兀 202300 兀 m2 ；4當(dāng)拴牛在P或M樁時(shí)，它的活動(dòng)區(qū)域的面積都是121222-% 20兀 416268兀 m ;24當(dāng)拴牛在Q樁上時(shí)，它的活動(dòng)區(qū)域的面積是121222-71 20- 71 812252 Tt m ;24因

11、為300n268n252 Tt,故選C.9 .設(shè)購(gòu)買(mǎi)10元、15元、20元的電影票分別為 x, y,z張，由題意得x y z 30,10x 15y 20z 500,x 10.由-15,得也就是說(shuō)所購(gòu)買(mǎi)的電影票中20元的比10的多10張.故選C.10 .觀察四個(gè)選項(xiàng)知僅D符合.二、填空題題號(hào) 111213141516171819204102答案 143； 11001101 180 150 4; -43ab 3 a b 120 -3 ; 2; 2 1005提示11 .設(shè)x表示安裝節(jié)能燈的瓦數(shù).則為安裝14瓦的節(jié)能燈一只.12 . 5個(gè)有理數(shù)大小依次是：581223 11 10011: 80= x：

12、 100,解得x13.75 ,取整數(shù)得14,則可改8010 12 15 217 19 23 3 .它們兩兩乘積中最小的首先應(yīng)是個(gè)負(fù)數(shù).其次應(yīng)是最小的負(fù)數(shù)與最大的正數(shù)的乘積，即 M 2.8312 51025兩兩乘積中最大的可能是兩個(gè)負(fù)數(shù)的乘積也可能是兩個(gè)最大的正數(shù)的乘積，即-10 與，或817682 153 23因?yàn)榭?810一.23,故所給的5個(gè)有理數(shù)的兩兩乘積中最大的是2323876543211 21 20 20 21 21 20 20 21 20110011101 2所以十進(jìn)制的數(shù) 413對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)是 110011101.14.如圖9,從點(diǎn)A作AE垂直于PB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E ,從點(diǎn)C作C

13、F垂直于PB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F .因?yàn)镻B 10cm , SApab 60cm2 , SAcpb 30cm2 .根據(jù)面積公A, 可得 又 所以 故 于是 所以BAEAE 12cm, CF 6cm, 四邊形ABCD是正方形，CBF , AEB BFC , AB BC , ABE ABCF ,BE CF ,圖9AB2AE222,BE 126180 (2、 cm )即正方形ABCD的面積是2180cm .15.用多項(xiàng)式除法易得42x px2x 52x110 2 p 1 x因?yàn)?x5是x42pxq的一個(gè)因式,所以1010p 6,pqc均大于0時(shí),150 .得最大值是4；當(dāng)a, b, c均小于0時(shí)，得最小值

14、是-4 .17. AF(a b) F(a1)F(a b)=(a1)3(ab)3(ab)18 .設(shè)前7站上車(chē)的乘客數(shù)量依次為a2 ，a3, a4，a7人,從第2站到第8站下車(chē)的乘客數(shù)量依次為 b2, b3 , b4 , b5 , b6 , b7 , b8 人.顯然有a a2a3a5a6a7 = b2b3b4b5b6b7b8又因?yàn)閍2a3a4a5a6b2 b3 b4 b5 b6 b780 ,所以也就是12斛：x m x 123x m x 2x 1 = x根據(jù)題意，x3 m2 x21 2m xm 2 0, 因而12m a,m所以a2,3, 2.100 a780 bs,b8 a7 100 80 20

15、.這表明從前6站上車(chē)而在終點(diǎn)站下車(chē)的乘客共20人.219 .譯文：若一次二項(xiàng)式 x m與二次式 x 1的乘積是三次多項(xiàng)式 x3 ax b,則a20 .由原方程得1x 11 2“I 1n2009,1 2 32009六III21 2009 , 2009 2010212x 一2III 2009, 2009 20102 20102009 ,x 1005.三、解答題21 .由題意，知xy xy - 100 y 0y亦即因?yàn)樗?x xyx_ y yx,x y, xx-1y21y是整數(shù)，y, xy都是整數(shù),它們與-的和是整數(shù)100, y22 時(shí)，y 12,所以25'或1,75 , 3.452時(shí),所

16、以16,或4,24, 6.102 時(shí),所以9,9,11 ,11.當(dāng)xy12時(shí),所以0,0,（舍去），或200 , 2.由上可知，滿(mǎn)足題意的整數(shù)x,其中,min 20022.設(shè)第每人植樹(shù)同理，第xy max2004天有m人植樹(shù)，每人植樹(shù) n棵，則第n 5棵，則第3天共植樹(shù)m2天共植樹(shù)1010棵;第1天共植樹(shù)1515棵;第5天共植樹(shù)5棵;第6天共植樹(shù)1010棵;第7天共植樹(shù)1515棵.由7天共植樹(shù)9947棵，知15n 15104天共植樹(shù)mn棵，于是，第3天有m 5人植樹(shù),5棵;10 n 10 m 5 n 5 mnn 10 m 15 n 159947,化簡(jiǎn)，得即因?yàn)橛炙怨室驗(yàn)榈?天植樹(shù)的棵數(shù)為 其

17、他各天植樹(shù)的棵數(shù)為7mn700 9947,mn1521 每天都有人植樹(shù)， m 15, n 15.m n 3939 39 1521,*）39 a 39 a 392 a2 1521 a2 1521 （ 其中 a 5或 10 或 15） 所以第 4 天植樹(shù)最多，這一天共植樹(shù)1521 棵由（*）,知當(dāng)a 15時(shí)，392 a2的值最小.又當(dāng) a 15時(shí)，植樹(shù)人數(shù)為39+15=54 或 39-15=24，所以植樹(shù)最少的那天有54 人或 24 人植樹(shù)23將5 個(gè)有理數(shù)兩兩的乘積由小到大排列：60001512.612 0.168 0.2 0.21 80 84 100因?yàn)?5 個(gè)有理數(shù)的兩兩乘積中有4 個(gè)負(fù)數(shù)且

18、沒(méi)有0， 所以這 5 個(gè)有理數(shù)中有1 個(gè)負(fù)數(shù)和4 個(gè)正數(shù)，或 1個(gè)正數(shù)和4 個(gè)負(fù)數(shù)若這 5 個(gè)有理數(shù)是1 負(fù) 4 正，不妨設(shè)為x10 x2x3x4x5 ，x1x5 x1 x4x1 x3x1x20 x2x3x2x5X2X4X3X5X4X5 .（其中X2X5與X3X4的大小關(guān)系暫時(shí)不x3x4能斷定 ）所以X1X56000 ， X1 X415 ， X4 X5 100 ，三式相乘，得X1X4X5 2 9 106 ，X1 0， X40 ， X5 0 ，解得X1X4 X53000 ，所以X130 ， X4 0.5， X5 200再由X130， X1X212， X1X312.6，得X20.4， X30.42 經(jīng)檢驗(yàn)，X130，X20.4，X30.42， X40.5，X5200滿(mǎn)足題意若這 5 個(gè)有理數(shù)是4 負(fù) 1 正，不妨設(shè)為X1 X2 X3 X40 X5 ，則X1 X5X2X5X4X5X1X40 X3 X4 X2 X4X