2019-2020年高三復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)(人教A)三管齊下：75坐標(biāo)系與參數(shù)方程含解析

1、2019-2020年高三復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)（人教A）三管齊下：75坐標(biāo)系與參數(shù)方程含解析導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解坐標(biāo)系的有關(guān)概念，理解簡(jiǎn)單圖形的極坐標(biāo)方程.2.會(huì)進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化.3.理解直線、圓及橢圓的參數(shù)方程，會(huì)進(jìn)行參數(shù)方程與普通方程的互化，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用.課前準(zhǔn)備區(qū)回扣教材夯實(shí)基礎(chǔ)自主梳理1 .極坐標(biāo)系的概念在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)。引一條射線Ox,叫做;再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時(shí)針方向），這樣就建立了一個(gè).設(shè)M是平面上任一點(diǎn)，極點(diǎn)。與點(diǎn)M的距離OM叫做點(diǎn)M的，記為p；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的，記

2、為。有序數(shù)對(duì)（p,）叫做點(diǎn)M的,記作（p,k2 .極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是（x,y）,極坐標(biāo)為（p,九則它們之間的關(guān)系為x=,y=.另種關(guān)系為：2=,tan0=3 .簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程（1）一般地，如果一條曲線上任意一點(diǎn)都有一個(gè)極坐標(biāo)適合方程網(wǎng)p,0）=0,并且坐標(biāo)適合方程Mp,。=0的點(diǎn)都在曲線上，那么方程（Xp,。=0叫做曲線的.（2）常見曲線的極坐標(biāo)方程圓的極坐標(biāo)方程表示圓心在（r,0）半徑為|r|的圓；兀表示圓心在（r,2）半徑為|r|的圓；表示圓心在極點(diǎn)，半徑為|r

3、|的圓.直線的極坐標(biāo)方程表示過極點(diǎn)且與極軸成口角的直線；表示過（a,0）且垂直于極軸的直線；.兀.表示過（b,2）且平行于極軸的直線；psin（9-力=posin（0o一勸表示過（6，）且與極軸成a角的直線方程.4 .常見曲線的參數(shù)方程（1）直線的參數(shù)方程x=xo+lcosa,若直線過（x0,y0）,a為直線的傾斜角，則直線的參數(shù)方程為I一這是直線y=yo+lSina.的參數(shù)方程，其中參數(shù)l有明顯的幾何意義.（2）圓的參數(shù)方程rx=a+rcos%若圓心在點(diǎn)M（a,b）,半徑為R,則圓的參數(shù)方程為00<a<2ty=b+rsina,（3）橢圓的參數(shù)方程中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與十y2=1的

4、參數(shù)方程為ixaCOs蝕為參數(shù)）.ably=bsin（f）（4）拋物線的參數(shù)方程2X=2pt2,拋物線y2=2Px（p>0）的參數(shù)方程為ly=2pt.自我檢測(cè)1. （2010北京）極坐標(biāo)方程（p1）（0-）=0（p>0）表示的圖形是（）A.兩個(gè)圓B.兩條直線C.一個(gè)圓和一條射線D.一條直線和一條射線（t為參數(shù)）所表示的圖形x=-1t,2. （2010湖南）極坐標(biāo)方程p=cos。和參數(shù)方程1|y=2+3t分別是（）A.圓、直線B.直線、圓C.圓、圓D.直線、直線3. （2010重慶）直線y=*x+/2與圓心為A、B兩點(diǎn)，則直線 AD與BD的傾斜角之和為x = V3+-j3cos 依的

5、圓t 廠（長(zhǎng)0,2兀）交于7= 1 + v3sin 0）7A.3兀64C.£兀34.（2011廣州一模）在極坐標(biāo)系中，直線由in（0+ 4） = 2被圓p= 4截得的弦長(zhǎng)為B.5兀45D-713x=COSa,5.（2010陜西）已知圓C的參數(shù)方程為1（a為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正y=1+sina半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為psin0=1,則直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.突破考點(diǎn)研析熱點(diǎn)探究點(diǎn)一求曲線的極坐標(biāo)方程例1在極坐標(biāo)系中，以（a,2）為圓心，a為半徑的圓的方程為.變式遷移1如圖，求經(jīng)過點(diǎn)A（a,0）（a>0）,且與極軸垂直的直線l的極坐標(biāo)方程.探究點(diǎn)

6、二極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化例2（2009遼寧）在直角坐標(biāo)系xOy中，以。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為pcos；=1,M、N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn).3寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M、N的極坐標(biāo);(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P,求直線OP的極坐標(biāo)方程.變式遷移2(2010東北三校第一次聯(lián)考)在極坐標(biāo)系下，已知圓O:p=cos0+sin。和直線l:psin(。一(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)(0,句時(shí)，求直線l與圓。公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo).探究點(diǎn)三參數(shù)方程與普通方程的互化例3將下列參數(shù)方程化為普通方程:fx=k-21 + k 6k之片Q?x= 1 sin 2 0

7、；(2)|y= sin 0+ cos；(3)21 -tX=21+tty=2y 1+t變式遷移3化下列參數(shù)方程為普通方程,并作出曲線的草圖.1x= 2sin 2 0(。為參數(shù));、y=sin0+cos0<x=7（2*（t為參數(shù)）.ly=N2匚探究點(diǎn)四參數(shù)方程與極坐標(biāo)的綜合應(yīng)用x=2+2t例4求圓p=3cos。被直線（t是參數(shù)）截得的弦長(zhǎng).ly=1+4tX=2C0Sa,變式遷移4（2011課標(biāo)全國(guó)）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為1y=2+2sina.（a為參數(shù)）M是Ci上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足OP=2OM,P點(diǎn)的軌跡為曲線C2.求C2的方程；（2）在以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐

8、標(biāo)系中，射線與Ci的異于極點(diǎn)的父3點(diǎn)為A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B,求|AB|.課堂小結(jié)本節(jié)內(nèi)容要注意以下兩點(diǎn)：一、簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程可結(jié)合極坐標(biāo)系中p和。的具體含義求出，也可利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化得出.同直角坐標(biāo)方程一樣，由于建系的不同，曲線的極坐標(biāo)方程也會(huì)不同.在沒有充分理解極坐標(biāo)的前提下，可先化成直角坐標(biāo)解決問題.二、在普通方程中，有些F（x,y）=0不易得到，這時(shí)可借助于一個(gè)中間變量（即參數(shù)）來找到變量x,y之間的關(guān)系.同時(shí)，在直角坐標(biāo)系中，很多比較復(fù)雜的計(jì)算（如圓錐曲線），若借助于參數(shù)方程來解決，將會(huì)大大簡(jiǎn)化計(jì)算量.將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù)，

9、此時(shí)要注意其中的x,y（它們都是參數(shù)的函數(shù)）的取值范圍，也即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性.參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧有：代入消元、加減消元、平方后相加減消元等.同極坐標(biāo)方程一樣，在沒有充分理解參數(shù)方程的前提下，可先化成直角坐標(biāo)方程再去解決相關(guān)問題.謖后糠司區(qū)精題精練規(guī)范答題（滿分：75分）一、選擇題（每小題5分，共25分）.,一“.兀1.在極坐標(biāo)系中，與點(diǎn)（3,§）關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是（）.一2、c小京八一4、r小5、A.（3,3吊B.（3,3）C.（3,3力D.（3,g力2.曲線的極坐標(biāo)方程為p=2cos*1的直角坐標(biāo)方程為（）2121

10、_12,21a.x+（y2）=4b.（x2）+y=4入21212.2C.x+y=4d.x+y=1兀3. （2010湛江模擬）在極坐標(biāo)方程中，曲線C的方程是p=4sin0,過點(diǎn)（4,g）作曲線C的切線，則切線長(zhǎng)為（）A.4B.5C.272D.2v34. （2010佛山模擬）已知?jiǎng)訄A方程x2+y2-xsin20+2”ysin（時(shí)3=0（°為參數(shù)），那么圓心的軌跡是（）A.橢圓B.橢圓的一部分C.拋物線D.拋物線的一部分Jx=2+3cos0,i（。為參數(shù)），直線l的方程為x'y=-1+3sin0-3y+2=0,則曲線C上到直線l距離為*°的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3

11、D.4二、填空題（每小題4分，共12分）x=t,6.（2010天津）已知圓C的圓心是直線（t為參數(shù)）與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直ly=1+17. （2011廣東）已知兩曲線參數(shù)方程分別為x="75cos 0, 、y= sin 0線x+y+3=0相切，則圓C的方程為.x=5t2(0<0<T)和4y=tR）,它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為.fx=2cosa8. （2010廣東深圳高級(jí)中學(xué)一模）在直角坐標(biāo)系中圓C的參數(shù)方程為"（ay=2+2sin&為參數(shù)），若以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則圓C的極坐標(biāo)方程為三、解答題（共38分）Fx=5cos（）,9. （1

12、2分）（2011江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過橢圓（。為參數(shù)）的ly=3sin（）右焦點(diǎn)，且與直線（t為參數(shù)）平行的直線的普通方程.x=4-2t,y=3-t卜=3著t,10. （12分）（2010福建）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（tly=W字為參數(shù)）.在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為p=245sin。求圓C的直角坐標(biāo)方程；5),求 |PA|十 |PB|.11.（14分）（2010課標(biāo)全國(guó)）已知直線Ci：rx= 1 + tcosy=tsin ax= cos 0,(t為參數(shù))，圓C2：*y= sin 0（。為

13、參數(shù)）.（1）當(dāng)"=機(jī)中,求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo);（2）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A,B.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,a變化時(shí)，求P點(diǎn)軌跡（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)O作C1的垂線，垂足為A,P為OA的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)膮?shù)方程，并指出它是什么曲線.75坐標(biāo)系與參數(shù)方程自主梳理1.極軸極坐標(biāo)系極徑極角極坐標(biāo)2.cos0psin0x2+y；(xw0)3.(1)極坐標(biāo)方程(2)p=2rcos0p=2rsin0尸r0=a(pCR)pcos0=apsin0=b自我檢測(cè)1.C2.A3.C4. 4.35. (1,1),(1,1)解析'y=psin0,，直線l的直角坐標(biāo)方程為y=1.X=COSa,由s得X2+(y-1)2=

14、1.y=1+sinay=1,x=-1,x=1,由1x2+(y_12=1付'|y=1或'1y二1.直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1)和(1,1).課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P（p,。）是曲線上任意一點(diǎn)；由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑P和極角。之間的關(guān)系式；將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)，得出曲線上的極坐標(biāo)方程；證明所得方程就是曲線的極坐標(biāo)方程，若方程的推導(dǎo)過程正確，化簡(jiǎn)過程都是同解變形，這一證明可以省略.答案P=asin0,0W族兀解析圓的直徑為a,設(shè)圓心為C,在圓上任取一點(diǎn)A（p,九.一TT.TT則“oc=2e

15、或0-2，I兀即“oc=l。2|.一/兀又p=acoszAOC=acos|0|=asina，圓的方程是p=asin仇0長(zhǎng)兀.變式遷移1解設(shè)P(p,。)是直線l上任意一點(diǎn)，OPcos0=OA,即pcos0=a,故所求直線的極坐標(biāo)方程為pcos0=a.例2解題導(dǎo)引直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運(yùn)用公式x=pcos。及y=psin。直接代入并化簡(jiǎn)即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對(duì)困難一些，解此類問題常通過變形，構(gòu)造形如pcosa岱in0,，的形式，進(jìn)行整體代換.其中方程的兩邊同乘以（或同除以）P及方程兩邊平方是常用的變形方法.但對(duì)方程進(jìn)行變形時(shí)，方程必須同解,因此應(yīng)注意對(duì)變形過程的檢

16、驗(yàn).解（1）由pcos93占1得1pcos0+2sin。尸1.從而C的直角坐標(biāo)方程為%+乎y=1,即x+y3y=2,當(dāng)40時(shí)，尸2,所以M（2,0）.當(dāng)0=北尸攣所以n警，2）（2）M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（2,0）.N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（0,233）.所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為H,£；則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為瞥，6J,一一.,一TT所以直線OP的極坐標(biāo)方程為0=6,pq-oo,+oo）.變式遷移2解（1）圓O：尸cos0+sin0,即2=pcos0+sin0,圓O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=x+y,即x2+y2xy=0.直線l:仿in（04）=乎，即psin0pcos0=1,則直線l的直角坐標(biāo)方程為y-x=

17、1,即xy+1=0.x2+y2xy=0,x=0,（2）由5得1x-y+1=0y=1.,.TT故直線l與圓。公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為（1,2）.例3解題導(dǎo)引參數(shù)方程通過消去參數(shù)化為普通方程.對(duì)于（1）直接消去參數(shù)k有困難，可通過兩式相除，先降低k的次數(shù)，再運(yùn)用代入法消去k;對(duì)于（2）可運(yùn)用恒等式（sin時(shí)cos21t22t2=1+sin2。消去。；對(duì)于（3）可運(yùn)用恒等式（詬2f+（詬2）2=1消去t.另外，參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，不僅要消去參數(shù)，還應(yīng)注意普通方程與原參數(shù)方程的取值范圍保持一致.解（1）兩式相除，得k=”.將k=/代入，得x=32x2x2xy21+點(diǎn)）化簡(jiǎn)，得所求的普通方程是4x2+y

18、2-6y=0(yw6).(2)由(sin。+cos0)2=1+sin20=2-(1sin20),得y2=2-x.又x=1sin200,2,得所求的普通方程是y2=2-x,x0,2.2由(一)2+(e)2=1,1+t21+t2得x2+4y2=1.1t2得所求的普通方程是X2+4y2=1(xw1).變式遷移3解由y2=(sin。+cos0)2=1+sin20=1+2x,得y2=2x+1.111111 -2<2sin29<2,-2<x<2.2 /2<sin。+cosg業(yè)亞wyw&.故所求普通方程為y2=2x+2i：(-1<x<2,.回圖形為拋物線的一

19、部分.圖形如圖甲所示.(2)由x2+y2=!1pJt2-1；=1&x=；w0,xy-l)-lo知,所求軌跡為兩段圓弧x2+y2=1(0<x<1,0<y<1或一Kx<0,1<y<0).圖形如圖乙所示.甲乙例4解題導(dǎo)引一般將參數(shù)方程化為普通方程，極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程解決.解將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程：p=3cos。即:x2+y2=3x,即(x3)2+y2=9廣2+2t即：2x-y-3=0.241y=1+4t3|2X203|所以圓心到直線的距離d=0,巧(12即直線經(jīng)過圓心，所以圓被直線截得的弦長(zhǎng)為3.變式遷移4解(1)設(shè)P(x,v),則由

20、條件知M(2,由于M點(diǎn)在C1上，x2-2cosa,x=4cosa,所以即12=2+2sina,ly=4+4sin公x=4COSa,從而C2的參數(shù)方程為(a為參數(shù))7=4+4sina(2)曲線Ci的極坐標(biāo)方程為p=4sin依曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=8sin0.，一兀，、，一一，兀射線。=鼻與Ci的交點(diǎn)A的極徑為3=4sin-,33，.-兀，、.兀射線。=鼻與C2的交點(diǎn)B的極徑為2=8sin-33所以|AB|=|a一pi|=25.課后練習(xí)區(qū)1. B由于極徑不變，極角關(guān)于極軸對(duì)稱，兀，其對(duì)稱點(diǎn)為(3,3),故選B.2. B-.p=2cos£1,.,1=poos。即x2+y2=x,(x2)

21、2+y2=1.3. Cp=4sin?；癁槠胀ǚ匠虨閤2+(y2)2=4,點(diǎn)(4,前化為直角坐標(biāo)為(273,2),切線長(zhǎng)、圓心到定點(diǎn)的距離及半徑構(gòu)成直角三角形，由勾股定理：切線長(zhǎng)為#商+(22j22=22,故選C.4. D圓心軌跡的參數(shù)方程為1 x=2sin20,1y=一/sin(0+4)x=sinQcos0,即，；|y=一(sin0+cos0)211消去參數(shù)得y=1+2x(-2<x<2),故選d.x=2+3cos0,5. B曲線C的方程為1(。為參數(shù)),y=1+3sin0.(x-2)2+(y+1)2=9,而l為x-3y+2=0,y2=2.圓心(2, 1)到l的距離d =|2+3+

22、2|_ 77 ,'107 '1014 10干二祠=1。.又，“10<3>3, .有2個(gè)點(diǎn).6. (x+ 1)2+y2=2x=t,解析直線1(t為參數(shù))與x軸的交點(diǎn)為(1,0)、y=1+t故圓C的圓心為(一1,0).又圓C與直線x+y+3=0相切，圓C的半徑為r =|-1 + 0+3|J2, 圓c的方程為(x+1)2+2.57. (1，t)2解析將兩曲線的參數(shù)方程化為一般方程分別為；+y2=1(0WyW1,-<5<x<<5)和y2=5x,聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為（i,-5）.8. p=4sin0解析由參數(shù)方程消去a得圓C的方程為x2+（y2）2=4,將x=（cos0,y=psin。代入得（©os0）2+（psin02）2=4,整理得尸4sina9. 解由題設(shè)知，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=5,短半軸長(zhǎng)b=3,從而c=yja2b2=4,所以右焦點(diǎn)為（4,0