2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.5橢圓文

1、2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.5橢圓文U知識梳理要點講解深層突破1.橢圓的概念平面內(nèi)到兩個定點Fl,F2的距離的和等于常數(shù)(大于F的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點Fl,F2叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.集合P=M|MF+MF=2a,FiF2=2c,其中a0,c0,且a,c為常數(shù)：(1)若些,則集合P為橢圓；(2)若2=孰則集合P為線段；(3)若ab0)yxg+討=1(ab0)圖形yr。昆1fA性質(zhì)范圍awx&a-byb-bxbawywa對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點頂點A(a,0),A(a,0)B(0,-b),R(0,b)A(0,a),A(0,a)B

2、(b,0),B2(b,0)軸長軸AA的長為2a；短軸BB的長為2b焦距RF2=2c離心率ce=；C(0,1)aa,b,c的關(guān)系a2=b2+c2【知識拓展】點P(x。，y。和橢圓的關(guān)系(1)點P(x。, y。)在橢圓內(nèi)?22X0 y0/ b21.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打或“x”)(1)平面內(nèi)與兩個定點Fi,F2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.(x)(2)橢圓上一點P與兩焦點Fi,F2構(gòu)成PFF2的周長為2a+2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距).(V)(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.(x)(4)方程mX+ny2x y1.(教材改編)橢圓后;一+4=1的

3、焦距為4,則m=.10- m m- 2答案 4或8解析 當(dāng)焦點在x軸上時，10mm- 20,10- m- ( m- 2) = 4, 1, m= 4.當(dāng)焦點在y軸上時，m- 210- n0,m- 2-(10 - m) = 4,m= 8.2.(2015 廣東)已知橢圓 2+4=1( m0)的左焦點為F一4,0),則m=.25 m答案 3解析 由題意知25 m=16,解得m= 9,又m0,所以m= 3.x2 y233.已知橢圓C： 1+，=1 ( ab0)的左、右焦點為 F1、F2,離心率為學(xué)過F2的直線l交C于A、B兩點，若/ AFB的周長為4/3,則C的方程為 22答案 3 + y2= 1解析

4、,AFB的周長為4也， 4 a=4#,，a=m，二.離心率為除，c=1,=1(n0,n0,廿n)表示的曲線是橢圓.(V)22(5)：+2=1(awb)表示焦點在y軸上的橢圓.(x)2222考點自測(6)/看=1(ab0)與+=1(2此0)的焦距相等.(V)快速解答自直自糾，b=、a2c2=娘，.橢圓C的方程為卷+4=1.324 .如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是.答案（0,1）解析將橢圓方程化為x-+y-=1,因為焦點在y軸上，則22,即k0,所以0k。,所以題型分類深度剖析題型一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程命題點1橢圓定義的應(yīng)用例1如圖所示，一圓形紙片的圓心為Q

5、F是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CQ設(shè)CD與O段于點P,則點P的軌跡是答案橢圓解析由條件知PM=PFPOPF=POPM=OM=ROF.P點的軌跡是以QF為焦點的橢圓.命題點2利用待定系數(shù)法求橢圓方程例2（1）已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點R3Q），則橢圓的方程為.P(啊 1) , P2(-3, “),(2)已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點則橢圓的方程為x6m+ n= 1,3m+ 2n= 12y2x2答案9+y=1或8r+=19+y3=1.一一X2y2.,3202一解析(1)右焦點在x軸上，設(shè)方程為a2+b2

6、=1(ab0),橢圓過P(3,0)，孑+2=1,即a=3,又2a=3X2b,-b=1,方程為不+y2=1.9若焦點在y軸上，設(shè)方程為a2+b2=1(ab0).02 32.橢圓過點p(3,o).，孑+1=1,即 b= 3.又 2a=3X2 b, a=9,2281+?=1.2x所求橢圓的方程為 -+92 y2j2 y=1 或所+=1.(2)設(shè)橢圓方程為m)2+ ny2= 1( m0, n0 且 m n).橢圓經(jīng)過點P2, 點P, P2的坐標(biāo)適合橢圓方程.兩式聯(lián)立,解得1n=3.所求橢圓方程為看+=1.93思維升華(1)求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定形狀時，一定要注意常數(shù)2a

7、RF2這一條件.(2)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a,b的方程組.如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx+ny2=1(m0,n0,n廿n)的形式.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知圓(x+2)2+y2=36的圓心為M設(shè)A為圓上任一點，且點N(2,0),線段AN的垂直平分線交MN點P,則動點P的軌跡是.22（2）過點（聲-木）,且與橢圓4+91有相同焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.2（2014安徽）設(shè)Fi,F2分別是橢圓E：*2+，=1（0MN由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓.22（2）方法一橢圓25

8、+x9=1的焦點為（0,4）,（0,4）,即c=4.由橢圓的定義知，2a=IJf3-。+5-h!+l30+-yf5-,解得a=2事.由c2=a2b2可得b2=4.22.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為25+x4=1.22方法二.所求橢圓與橢圓好9,的焦點相同,，其焦點在y軸上，且c2=25-9=16.22設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為02+b2=1（ab0）.c2=16,且c2=a2b2,故a2b2=16.又點（3,一乖）在所求橢圓上,由得b2=4a2=20,22.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為次+X4=1.設(shè)點B的坐標(biāo)為(xo,yo).2.x2+/=1,F1(-1-b2,0),E(b0)的右焦點F(c,0)關(guān)于直線y=&x的對

9、稱點Q在橢圓上，則橢圓的離心率是-2答案(1)2(2)方解析(1)設(shè)Rx。，y。)，則PF=(1x。，一y。)，.PE=(1x0,yo),PF+PR=(2x0,2y0),|PF1+PF2I=44x0+4y2=2/2-2yo+yo=2-y0+2.2 點P在橢圓上，0y0bo）與雙曲線mn2=i（mo,n0）有相同白向焦點（c,0)和(c,0),若c是a、m的等比中項，n2是2m與c2的等差中項，則橢圓的離心率是.22(2)已知橢圓O2+b2=1(ab0)的左、右焦點分別為F1(-c,0)、F2(c,0),若橢圓上存在點P使樂/ PFF2 sin / PF2Fi,則橢圓的離心率的取值范圍為答案1(

10、1)2 (2)(也一1,1)解析(1)在雙曲線中m2+n2=c2,又2n2=2m2+c2,解得cm= 2,又c = am故橢圓的離心率ce = 一： a12.(2)依題意及正弦定理,rtPE a _ , ，一得淀=-(注意到P不與F1, F2共線)，PF c目“ P桎a即 2aPFTc，2a c-1 = 一PE 1 a2a c2a=-+ 1,PFa a 1 a+ c，(e+1) 22.又 0e1,因止匕小一1eb0)的左、右焦點分別為Fl、F2,過F2的直線交橢圓于P, Q兩點，且PQL PF.(1)若PF=2+42,PR=2-啦,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；34(2)若PQ=入PF,且入3,試確定橢圓

11、離心率e的取值范圍解(1)由橢圓的定義，2a=PF+PR=(2+72)+(2/)=4,故a=2.設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知PFXPF5,因此2c=F1F2=MpR+pF=，2+V22+2-皿2=2V3,即c=淄，從而b=yja_c2=1.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為X227+y = 1.(2)如圖，連結(jié)FiQ由PFLPQPQ=XPF,得=41+2PF.由橢圓的定義，PF+PR=2a,QF+QF=2a,進(jìn)而PF+PgQF=4a,于是(1+入+寸1+入2)PF=4a,4a解得R皿2a故PFa=2a-PF=由勾股定理得pA+pF=fU=(2c)2=4c2,從而4a 21 +入+寸1+72a 入 + /1

12、+ 入 z-12、1 +入+ J1 +入 2=4c；兩邊除以4a2,得41+入+小+入2 2+入+ 41+ 入 2-12+入 +5 + 入 2= e2.若記t=1+入+底+入2,則上式變成4+ t-2t22-=81 1 2 1 廠 4 +2.由:w入2，并注意到t=1+入+1+入2關(guān)于入的單調(diào)性，得3t4,即vjw；.434t3進(jìn)而;Ve29,即b0)的離心率ab乎，且右焦點F到左準(zhǔn)線l的距離為3.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過F的直線與橢圓交于 A,B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線 l和AB于點P, C,若PO2AB求直線AB的方程解(1)由題意，得c=g a 2且 c+，3,c解得a=/

13、，c=1,則b=1,x22所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為-+y 2k2若k = 0,則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意從而kw 0,故直線PC的方程為=1.(2)當(dāng)AB!x軸時，AB=R又CP=3,不合題意.當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=k(x1),A(x1,y。，Rx2,y2),將AB的方程代入橢圓方程，得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,則 Xl,2 =2k2 42 1+k2C的坐標(biāo)為k、，1 + 2k2 且y+Hx.1 1+ 2kk2k21 + 2k2AB=yjx2x12+y2y1+kx2x122也1+k25k2+2則P點的坐標(biāo)為2,k+2k2從而P

14、C=k21+k2|k2k因為PC=2AB,所以23k2+1M？4*1+k2Iki2k2解得k=1.此時直線AB的方程為y=x1或y=x+1.思維升華解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.涉及弦中點的問題時用“點差法”解決，往往會更簡單.跟蹤訓(xùn)練3(2015北京)已知橢圓C：x2+3y2=3,過點D(1,0)且不過點E(2,1)的直線與橢圓C交于A,B兩點，直線AE與直線x=3交于點M(1)求橢圓C的離心率；(2)若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系，并說明理由.x2

15、2解(i)橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為w+y=i，3所以a=而，b=1,c=成.所以橢圓C的離心率e春平(2)因為AB過點D(1,0)且垂直于x軸，所以可設(shè)A(1,yi),B(1,yi),直線AE的方程為y1=(1-yi)(x-2),令x=3,得M(3,2-yi),2yi+yi所以直線BM勺斜率kBg；=i.3 I直線BM5直線DE平行，證明如下：當(dāng)直線AB的斜率不存在時，由(2)可知kB仁i.一，,rfari0,又因為直線DE的斜率kDET-=i,所以BM/DE2i當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y=k(xi)(kwi),設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),則直線一、一r,yiiAE的方程為yi=

16、(x2).xi2令x = 3,得點yi + xi 3 xi-22x2+3y2=3,由11|y=k x- i得(i +3k2) x2-6k2x + 3k2- 3=0,所以6k2 xi+x2=i73?3k2-3 xix2=i+3k2,yi+xi3n-y2直線x123 一 x2BM勺斜率kBM=因為kBMikXi+Xi3kX2Xi)、3X2Xi3X2Xi2k|_XiXz+2Xi+X233-X2Xi-9(-3k2+3i2k2、kT,i+3k2+i+3k2-3J=FXXj所以kBM=i=kDE,所以BM/DE綜上可知，直線BM與直線DE平行.高頻小考點8.高考中求橢圓的離心率問題22典例（i）（20i5

17、福建）已知橢圓E：a2+b2=i（ab0）的右焦點為F,短軸的一個端點為M4直線l:3x4y=0交橢圓E于A,B兩點.若A斗BF=4,點M到直線l的距離不小于則5橢圓E的離心率的取值范圍是.22（2）（20i4江西）設(shè)橢圓C：與+2=i（ab0）的左，右焦點為Fi,F2,過F2作x軸的垂線與C相交于A B兩點，F(xiàn)iB與y軸相交于點解析(i)如圖，設(shè)左焦點為 Fo,連結(jié)1. AF+ BF= 4, . AF+ AFo=4, a = 2.4b 4設(shè) M0, b),則三，iw b0,e=2+42他2雜2V3.中的b用a,c表達(dá)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓的離心率問題難點的根本方法.思

18、想方法感憎提高方法與技巧應(yīng)注意定義中的常數(shù)大.當(dāng)橢圓的焦點位置不明確而無1 .橢圓的定義揭示了橢圓的本質(zhì)屬性，正確理解、掌握定義是關(guān)鍵,于F1F2,避免了動點軌跡是線段或不存在的情況2 .求橢圓方程的方法，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時，設(shè)方程為Xm+；=1（仲0,n0,且n）可以避免討論和煩瑣的計算,也可以設(shè)為Ax2+By2=1（A0,B0,且Aw場，這種形式在解題中更簡便3 .討論橢圓的幾何性質(zhì)時，離心率問題是重點，求離心率的常用方法有以下兩種:求得a,c的值,直接代入公式e=a求得;(2)列出關(guān)于a,b,c的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)b2x y方程為+ ：= 1

19、.=a2-c2,消去b,轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.失誤與防范1.判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法為比較標(biāo)準(zhǔn)形式中x2與y2的分母大小2.注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓x2 y2了+版=1 ( ab0)上點的坐標(biāo)為Rx, y)時，則|x| wa,這往往在求與點P有關(guān)的最值問題中用到，也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯誤的原因練出高分A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：40分鐘)1 .設(shè)R,F2分別是橢圓x十七=1的左，右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，O限3,2516則P點到橢圓左焦點的距離為.答案41解析由題意知，在PFF2中，OM=2PE=3,PF=6,PF=2aPF2=106=4.2 .橢圓勺+=1(ab

20、0)的左、右頂點分別是AB,左、右焦點分別是F1、F2,若AF,F1F2,abF1B成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為.答案一5解析由題意知AF1=a-c,FiF2=2c,FiB=a+c,且三者成等比數(shù)列，則FiF2=AFFiB,即4c2=a2c2,a2=5c2,所以e2=5,所以e=除3.已知Fi(1,0),F2(1,0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x的直線與橢圓C交于AB兩點，且AB=3,則C的方程為.22答案x十122xy解析設(shè)橢圓C的萬程為1十東=1(ab0),則c=1.因為過F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A,B兩點，且AB=3,所以b=3,b2=a2-c2,所以a2=4,b2=a

21、2-c2=4-1=3,橢圓的a2224.已知橢圓X4+y2=1上有一點P,Fl,F2是橢圓的左，右焦點，若4FiPF2為直角三角形，則這樣的點P有個.答案6解析當(dāng)/PFF2為直角時，根據(jù)橢圓的對稱性知，這樣的點P有2個；同理當(dāng)/PFFi為直角時，這樣的點P有2個；當(dāng)P點為橢圓的短軸端點時，/F1PF2最大，且為直角，此時這樣的點P有2個.故符合要求的點P有6個.22x2y25.已知圓Mx+y+2mx-3=0(m0)的半徑為2,橢圓C:云+專=1的左焦點為F(c,0),若垂直于x軸且經(jīng)過F點的直線l與圓M相切，則a的值為.答案2解析圓M的方程可化為(x+m)2+y2=3+m2,則由題意得m2+3

22、=4,即n2=1(mb0)的兩個焦點，P為橢圓上一點，且PFPF2=c2,則此橢圓離心率的取值范圍是答案手,半(cx, _ y) = x2_ c2+y2= c2,解析設(shè)Rx,y),則PF-PF2=(-c-x,-y)將y2=b2bx2代入式解得2c2-b2 a2:時a2又 x2C 0,a2 ,，2 c2wa2w3c2,9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓C：=1 ( ab0)的右準(zhǔn)線方程為 x=4,右頂點為A上頂點為B，右焦點為F,斜率為2的直線l經(jīng)過點A，且點F到直線l的距離為平(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)將直線l繞點A旋轉(zhuǎn)，它與橢圓C相交于另一點P,當(dāng)B,F,P三點共線時，試確定直

23、線l的斜率.解(1)由題意知，直線l的方程為y=2(xa),即2x-y-2a=0,所以右焦點F到直線l的距離為|2c2a|2/5所以ac=1.又因為橢圓C的右準(zhǔn)線為x=4,即c=4,所以c=4,代入上式解得a=2,c=1,所以b2=3,所以橢圓C的方程為5+=1.43(2)由知B(0,m),F(1,0),所以直線BF的方程為y=43(x1),y=一小x-1聯(lián)立方程組x2x+291，x=0,解得y=38x=5.(舍去)或廠所以PE-0一所以直線l的斜率k=f-明,5_3,38=2.2522=1( ab0)，點O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為(a, 0),10.(2015安徽)設(shè)橢圓E的方程為g+(點B

24、的坐標(biāo)為(0,b),點M在線段AB上，滿足BM=2MA直線OM勺斜率為(1)求E的離心率e；(2)設(shè)點C的坐標(biāo)為(0,b),N為線段AC的中點，證明：MN_AB(1)解由題設(shè)條件知，點M的坐標(biāo)為l2a313b?2 ；55 .、_.2.2C進(jìn)而a=q5b,c=ab=2b,故e=(2)證明由N是AC的中點知，點N的坐標(biāo)為a2bj可得Nm=又AB=(a,b),從而有AB.NM=-6a2+6b2=6(5b2-a2).由(1)的計算結(jié)果可知a2=5b2,所以AB-NM=0,故MNLABB組專項能力提升(時間：30分鐘)5b2211.從橢圓與+y2=1(ab0)上一點abP向x軸作垂線，垂足恰為左焦點Fi

25、,A是橢圓與x軸正半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且AB/OPO是坐標(biāo)原點),則該橢圓的離心率解析由題意可設(shè)F(-c,y0)(c為半焦距),y。b,.kO-kAB=-,由于OP/ARcabbcay0a把P-c,C2412.如圖,已知橢圓C的中心為原點QF（2，5,0）為C的左焦點,P為C上一點，滿足OP=OFPF=4,則橢圓C的方程為答案36丫216=1解析設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x-2+a2b2=1(ab0),焦距為2c,右焦點為F,因為R25,0)為C的左焦點，所以c=245.由OP=OF=OF知，,=ZOPF,所以/PFF+/OFP+/FPO/OPF=180,知/即FPLPF.在RU

26、PFF中，由勾股定理，得PF=F2pF橢圓定義，得PF+PF=2a=4+8=12,從而a=6,得a?=36,于是22=16,所以橢圓的方程為y6=i.x22.1八,4.13.橢圓4+y2=1的左，右焦點分別為R,F2,點P為橢圓上一動點,連結(jié)PF,如圖所示.PFF=/FPO/OFPFPO/OPF=90,=V-1V52-42=8.由b2=a2c2=36(2*)2若/F1PE為鈍角，則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是答案（2,62,6)解析設(shè)橢圓上一點P的坐標(biāo)為（x,y）,則F1P=(x+市，y)F2P=(x-小,y).一/FiPF2為鈍角，F(xiàn)P-FP0,即x23+y20,22-y2=17，代入得x23+

27、10,443x22,x2843.解得乎xb0)的左,右焦點，頂點B的坐標(biāo)為(0,b),連結(jié)BF2并延長交橢圓于點A,過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C,連結(jié)FiC.(1)若點C的坐標(biāo)為3,3I；且BF=J2,求橢圓的方程;(2)若F1CAB,求橢圓離心率e的值.解設(shè)橢圓的焦距為2c,則F1(c,0),F2(c,0).(1)因為B(0,b),所以BE=鄧+c2=a.又BF2=y2,故a=g.161因為點c!/橢圓上，所以,+=i,33ab解得b2=1.EL1A、Tx22故所求橢圓的方程為x2+y2=1.AB上,(2)因為B(0,b),F2(c,0)在直線所以直線謝勺方程為x+b=1.xy-+：=1,cb解方程組x2立.