冪級數(shù)與泰勒展式

1、9.3 冪級數(shù)與泰勒展式在這節(jié)裡，我們將之前的理論應(yīng)用在冪級數(shù)上面。何謂冪級數(shù) (power series)呢？冪級數(shù)有何重要性呢？冪級數(shù)冪級數(shù)為一含有變數(shù)的級數(shù)，其形是，其中與皆為實(shí)數(shù)。冪級數(shù)的例子不勝枚舉，如對於這些冪級數(shù)，我們將討論哪些值會使冪級數(shù)收斂，亦即討論冪級數(shù)的收斂範(fàn)圍，為了方便起見，我們僅討論形如的收斂範(fàn)圍。例題3.1 討論的收斂範(fàn)圍。解：因?yàn)橐还葹榈牡缺燃墧?shù)，故當(dāng)時(shí)，.但當(dāng)時(shí)，顯然發(fā)散。然而或時(shí)呢？時(shí)，；時(shí)，因，故不存在。最後我們可得結(jié)論如下：僅在(或)上收斂。 例題3.2 討論冪級數(shù)的收斂範(fàn)圍。解：令 ，則，故。所以當(dāng)為任意數(shù)時(shí)，絕對收斂。我們可得到以下的結(jié)論：在上收斂

2、(或到處收斂)。 例題3.3 討論冪級數(shù)的收斂範(fàn)圍。解：將視為常數(shù)，考慮該級數(shù)的絕對收斂值。令，則，故。所以當(dāng)時(shí)，收斂。如同例題3.1時(shí)，與時(shí)的收斂性呢？當(dāng)時(shí)，故此級數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，故此級數(shù)發(fā)散。由以上的討論我們可得到以下的結(jié)論：的收斂範(fàn)圍為。 由以上三個(gè)例題可知，冪級數(shù)的收斂範(fàn)圍是以為中心向外擴(kuò)展到(有可能至無窮遠(yuǎn)點(diǎn))的範(fàn)圍，此時(shí)我們稱為的收斂半徑(radius of convergence)。收斂半徑給定一冪級數(shù)，若說級數(shù)在上收斂，且為最大值，則我們稱為該冪級數(shù)收斂半徑。由以上的定義可知，與的收斂半徑相同，這就是為什麼我們只需討論的收斂性即可。由以上的例題可知，與的收斂半徑皆為，而的收斂半徑

3、為，而有沒有收斂半徑為的冪級數(shù)呢？例題3.4 求下列各冪級數(shù)的收斂半徑 . . . 解： 令，則，所以當(dāng)為一常數(shù)時(shí)，故僅在上收斂，而收斂半徑為。 令 ，則，故，所以當(dāng)時(shí)，收斂，且時(shí)，發(fā)散，亦即的收斂半徑為1。 令 ，則，故，所以時(shí)，收斂，且時(shí)發(fā)散，亦即的收斂半徑為。 冪級數(shù)與函數(shù)的泰勒展式(Taylor expansion)有密不可分的關(guān)係，因函數(shù)的泰勒展式即為冪級數(shù)。泰勒級數(shù)(展式) (Taylor series)給定一可無窮微分的函數(shù)，在的泰勒級數(shù)為，其中為微分次在的取值，若則稱為之馬克勞林級數(shù)(Maclaurin series)例題3.5 求在的泰勒級數(shù)。 求在的泰勒級數(shù)。 求之馬克勞林

4、級數(shù)。解： 因，所以在的泰勒級數(shù)為。 因，故由歸納法可知，因，所以在之泰勒級數(shù)為. 因 ，由歸納法知，因，所以之馬克勞林級數(shù)為. 例題3.6 求在的泰勒級數(shù)。解：因，由前一例題可知，因且，所以在時(shí)泰勒展式為. 一個(gè)很重要的問題即是：何時(shí)與在的泰勒級數(shù)相等。例如我們知道與之馬克勞林級數(shù)在上相等。其實(shí)我們有以下的定理。泰勒定理 若在之泰勒展式為，則在該級數(shù)的收斂範(fàn)圍上與該級數(shù)相等。 若與級數(shù)在的附近相等，則為在的泰勒級數(shù)。例題3.7 求在的泰勒級數(shù)。 求在的泰勒級數(shù)。解： 因，令，則.當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)， .由泰勒定理知，在的泰勒級數(shù)為. 令，則，當(dāng)時(shí)，且，故對所有的，。由泰勒定理知之馬克勞林級數(shù)為.

5、 若一冪級數(shù)的收斂半徑為，則此冪級數(shù)有以下的性質(zhì)：冪級數(shù)的特質(zhì)若的收斂半徑為，且在其收斂範(fàn)圍內(nèi)與函數(shù)相等，則在冪級數(shù)收斂範(fàn)圍內(nèi)，.例題3.8 求在的泰勒展式。解：因 ，且當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，.因，故當(dāng)時(shí)，所以在時(shí)的泰勒級數(shù)為. 例題3.9 求函數(shù)之馬克勞林級數(shù)。解：因時(shí)，故之馬克勞林級數(shù)為. 習(xí) 題於1-6題中求各冪級數(shù)的收斂範(fàn)圍。1. . 2. .3. . 4. .5. . 6. .於7-16題中求各冪級數(shù)的收斂半徑。7. . 8. .9. . 10. .11. . 12. .13. . 14. .15. . 16. .於17-24題中求各函數(shù)的馬克勞林級數(shù)。17. . 18. .19. . 2

6、0. .21. . 22. .23. . 24. .25. 求在的泰勒展式。26. 求在的泰勒展式。27. 求在的泰勒展式。28. 求在的泰勒展式。29. 求在的泰勒展式。30. 求在的泰勒展式。9.4 泰勒展式的應(yīng)用在這節(jié)中我們將泰勒級數(shù)的概念應(yīng)用在某些數(shù)值上的逼近 (approximation)。泰勒多項(xiàng)式 (Taylor polynomial)給一無窮可微函數(shù)，在是階泰勒多項(xiàng)式為.若，則稱為之階馬克勞林多項(xiàng)式。例題4.1 利用在之6階泰勒多項(xiàng)式逼近。解：因在之泰勒多項(xiàng)式為，故. 例題4.2 求在之3階泰勒多項(xiàng)式及用其逼近。解：因 ，故，所以. 例題4.3 用8階泰勒多項(xiàng)式逼近。解：題意為先求在之8階泰勒多項(xiàng)式，而因，則，所以，因此我們可得. 例題4.4 利用5階泰勒多項(xiàng)式去逼近。解：因在的泰勒展式為，故，且，所以. 例題4.5 若，求及。解：因時(shí)，故之馬克勞林級數(shù)為，但之馬克勞林級數(shù)為，所以之係數(shù)為，故，。另一方面，之係數(shù)為，故，. 習(xí) 題於1-6題中用階泰勒多項(xiàng)式逼近所給定的數(shù)。1. ；. 2. ；.3. ；. 4. ；.5. ；. 6. ；.於7-12題用階泰勒多項(xiàng)式逼近所給定