中考數(shù)學(xué)壓軸精品動(dòng)態(tài)幾何3

1、 動(dòng)圖中的函數(shù)關(guān)系 圖形中引入動(dòng)點(diǎn)以后 ，隨著點(diǎn) 的移動(dòng)，便會(huì)引起其他相關(guān)量的變化，這樣就會(huì)出現(xiàn)變量之間的函數(shù)關(guān)系；而動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，也會(huì)引起相關(guān)圖形的變化，這樣就可能產(chǎn)生特定形狀、特定位置或特定關(guān)系的圖形。這些問(wèn)題就需要借助方程來(lái)解決。但不管是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題引出的函數(shù)。還是由動(dòng)點(diǎn)引出的方程，卻都需要借助于幾何計(jì)算來(lái)建立。因此，幾何計(jì)算才是圖形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題得以解決的真正核心基礎(chǔ)，也即圖形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題通過(guò)幾何計(jì)算（主要是解直角形和三角形的相似關(guān)系函數(shù)（變化規(guī)律）方程（特定形狀的圖形、特定位置的圖形、特定關(guān)系的圖形） 一、圖形中動(dòng)點(diǎn)形成的函數(shù)例1 如圖（1），中，點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A，C重合）。，點(diǎn)P

2、到AB的距離為。（1）求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）試討論以P為圓心，半徑為的圓與AB所在直線的位置關(guān)系，并指出相應(yīng)的取值范圍。ACBPQACBP（1） （1）【觀察與思考】（1）如圖（1），若于Q，要建立PQ和CP的函數(shù)關(guān)系，可以通過(guò)和 的相似關(guān)系。（2）就是討論P(yáng)的半徑（即）和圓心P到AB的距離（即）的大小關(guān)系。解：（1）過(guò)P作于Q，如圖（1），則，易知，化簡(jiǎn)得：。（2）令，即解得，此時(shí)P與直線AB相切。對(duì)應(yīng)地有：時(shí)，P與直線AB相離；時(shí)，P與直線AB相交?！菊f(shuō)明】本題的關(guān)鍵就是通過(guò)兩直角三角形相似關(guān)系構(gòu)成的比例等式導(dǎo)出函數(shù)關(guān)系式，再通過(guò)P和AB相切這一特殊情況來(lái)判斷P和AB的三種位置關(guān)系。AP

3、NBM例2 如圖（1），已知P為的邊上的一點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)的的兩邊分別交射線于兩點(diǎn)，且為銳角）。當(dāng)以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，從PM邊與重合的位置開(kāi)始，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（保持不變）時(shí)，兩點(diǎn)在射線上同時(shí)以不同的速度向右平行移動(dòng)。設(shè)，的面積為。若。（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)30（即）時(shí)，求點(diǎn)N移動(dòng)的距離；（2）寫(xiě)出與之間的關(guān)系式；（1）（3）試寫(xiě)出隨變化的函數(shù)關(guān)系式，并確定的取值范圍。【觀察與思考】首先要把題目的背景分析清楚：為銳角，且，得；APBN（M）6060APBN（M）3060旋轉(zhuǎn)前，PM邊與邊重合，對(duì)應(yīng)的圖形為圖，其中是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形。 對(duì)于問(wèn)題（1），旋轉(zhuǎn)30后變?yōu)閳D形，可知此時(shí)和都是直角三角形，弄清楚這

4、些特點(diǎn)，問(wèn)題很容易解決。對(duì)于問(wèn)題（2）和（3），又要回到原題圖，借助直角三角形及相似三角形，通過(guò)幾何計(jì)算可求出函數(shù)的表達(dá)式。解：（1）初始狀態(tài)時(shí)，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形（如圖），當(dāng)旋轉(zhuǎn)30到位置時(shí)對(duì)應(yīng)的圖形為圖（）。在中，。點(diǎn)N的移動(dòng)距離為2。（2）如圖（1）在和中，。，即。，（）過(guò)P點(diǎn)作，垂足為D（如圖），在中，。在中，（）由（）和（）式得，即。APNBMD（3）在中，OM邊上的高PD為，（見(jiàn)圖）。即。又的取值范圍是。 （）是的正比例函數(shù)，且比例系數(shù)，即。【說(shuō)明】、對(duì)于運(yùn)動(dòng)中變化中的圖形，在題目的圖示中往往只給出一種一般情況下的圖形，但要把題目的全部背景和整個(gè)變化過(guò)程搞清楚，就需要如本題那樣

5、，仔細(xì)研究圖形變動(dòng)的每種形態(tài)和聯(lián)系。、由本題的解可以看出，要順利建立出函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)題目中的三角形之相似關(guān)系以及恰當(dāng)?shù)匾煤蜆?gòu)造直角三角形。ABCDPNMFE【練習(xí)】1、如圖，在矩形中，P為AC的中點(diǎn)，直線，且分別與AB，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)。設(shè)的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式。 例3 如圖（1），已知直角梯形中，動(dòng)點(diǎn)BCADCP沿的路線以秒的速度向C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q沿線路以秒的速度向C運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)分別從A，B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為。（1）求AD的長(zhǎng)及的取值范圍；（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并具體描述在P，Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的面積隨變化而增大或

6、減小的情況。ADBCQP【觀察與思考】首先，要把題目的背景搞清楚，如圖（1），將AB平移至DE，易得，即得。其次，要把運(yùn)動(dòng)全過(guò)程搞清楚：首先從時(shí)間上來(lái)看，點(diǎn)Q共可運(yùn)動(dòng)8秒；點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)秒，在DC上運(yùn)動(dòng)秒，也是共運(yùn)動(dòng)8秒，再看的變（1）動(dòng)情況：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在AD上，此階段圖形大致如圖（2），而在時(shí)，此階段圖形大致如圖（3）。把這些情況都搞清楚了，問(wèn)題（1）和問(wèn)題（2）就容易解決了。ADBCQPADBC1213E1235ADBCEPMQ（1）（2） （3）解：（1）在梯形中，過(guò)D作于E點(diǎn)。在中，。點(diǎn)P從出發(fā)到點(diǎn)C共需（秒），點(diǎn)Q從出發(fā)到C共需（秒）。又。（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在AD邊上，P到BC的垂線

7、段長(zhǎng)。（）。ADBCEPMQ當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在DC上，（圖（3），。過(guò)點(diǎn)P作于M，得。，即又，當(dāng)時(shí)，的面積隨的增大而增大。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，的面積隨的增大而（繼續(xù)）增大。當(dāng)時(shí)，的面積隨的增大而減小?！菊f(shuō)明】本題突現(xiàn)了函數(shù)表達(dá)式的分段情況源起于對(duì)圖形動(dòng)點(diǎn)引出的相關(guān)圖形不同的變化形態(tài)，足見(jiàn)深入和全面審題的重要。二、圖形中動(dòng)點(diǎn)形成的方程特定形狀圖形特定位置圖形特定數(shù)量圖形圖形動(dòng)點(diǎn)幾何計(jì)算方程ABCDPQ例1 如圖，（1），在等腰梯形中，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以的速度沿CD，DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)。（P，Q兩點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)終止）。設(shè)P，Q同時(shí)出發(fā)并運(yùn)動(dòng)了秒。

8、（1）當(dāng)PQ將梯形分成兩個(gè)直角梯形時(shí)，求的值；（2）試問(wèn)是否存在這樣的，使四邊形的面積是梯形面積的一半？若存在，求出這樣的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 （1）【觀察與思考】第一，搞清楚背景圖形：略；第二，搞清楚運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程：從時(shí)間上來(lái)看，點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)4秒鐘，而點(diǎn)Q在CD上運(yùn)動(dòng)2秒，在DA上需運(yùn)動(dòng)6秒。這樣，它們共同運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4秒，即點(diǎn)Q在DA上最多運(yùn)動(dòng)到處。再?gòu)膶?duì)應(yīng)的圖形來(lái)看，在時(shí)，對(duì)應(yīng)圖形如原圖（1），而在時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖形就像圖（1）。ABCDPQ 有了以上的研究，再來(lái)看看相應(yīng)問(wèn)題的解決方向和方法：對(duì)于問(wèn)題（1），對(duì)應(yīng)的圖形如圖（1），可通過(guò)構(gòu)造關(guān)于的方程來(lái)求解。（1）對(duì)于問(wèn)題（2），應(yīng)計(jì)算出

9、來(lái)（是關(guān)于的代數(shù)式），令它ABCDPQFE等于，從所得方程解出相應(yīng)的值。但應(yīng)特別注意，在計(jì)算時(shí)，需分點(diǎn)Q在CD上還是在DA上兩種情況來(lái)討論。解：（1）過(guò)D作于E，過(guò)C作于F，如圖（1）。（1），若四邊形APQD是直角梯形，則四邊形DEPQ為矩形，有，即。當(dāng)秒時(shí)，PQ將分成兩個(gè)直角梯形。（2）在中，（8+2）。當(dāng)時(shí)，ABCDPQHG如圖（1），若點(diǎn)Q在CD上，即，則。，解得（舍去）。如圖（1），若點(diǎn)在上，即。（1）由圖（1）易知，過(guò)點(diǎn)作于，其反向延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于，如圖（1），在中，在中，。設(shè)，也即，得即。解得（不合題意，舍去），）。存在，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半?！菊f(shuō)明】

10、由本題可以看出：求動(dòng)點(diǎn)引起的特定形狀（PQ將梯形ABCD分成兩個(gè)直角梯形）、特定數(shù)量（四邊形PBCQ的面積為梯形面積的一半）的圖形，都是通過(guò)構(gòu)造相應(yīng)的方程來(lái)解決。ABCPQEF【練習(xí)】2、如圖，等邊三角形中，點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)A重合，但不與點(diǎn)B重合），過(guò)點(diǎn)P作，垂足為E；過(guò)點(diǎn)E作，垂足為F；過(guò)點(diǎn)F作，垂足為Q。設(shè)。（1）寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)BP的長(zhǎng)等于多少時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合。例2 如圖，在中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊向點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)。P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一

11、點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，關(guān)于直線PQ對(duì)稱的圖形是。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）。（1）為何值時(shí)，四邊形是梯形？（2）是否存在時(shí)刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。【觀察與思考】首先，搞清楚背景圖形（略）；其次，搞清運(yùn)動(dòng)全過(guò)程，在這里重點(diǎn)是搞清楚四邊形是由和它關(guān)于PQ對(duì)稱的圖形組成的。對(duì)于問(wèn)題（1），應(yīng)以，這一特征構(gòu)造關(guān)于的方程來(lái)解決。對(duì)于問(wèn)題（2），應(yīng)像圖（1）那樣，用來(lái)反映，并由此構(gòu)造關(guān)于的方程來(lái)解決。AB CCC CCQ CCP CCD CCM CCAB CCC CCQ CCP CCD CC(1) （1）解：（1）如圖（1），若是梯形，由于AB與BQ顯然不平行，AB CCC C

12、CQ CCP CCD CC故應(yīng)以，即。，解得。當(dāng)秒時(shí)，四邊形是梯形。 （1）（2）設(shè)存在時(shí)刻，使得，延長(zhǎng)PD交BC于點(diǎn)M，如圖（1），則，。又，若，即有，則即，解得。當(dāng)秒時(shí)，。【說(shuō)明】在本題，研究動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中何時(shí)使“四邊形是梯形”變化中成為特定形狀的圖形，能否使“”變化成為特定位置關(guān)系的圖形，都是借助構(gòu)造方程來(lái)解決的。三、圖形中動(dòng)點(diǎn)形成的函數(shù)和方程在更多情況下，是同時(shí)研究圖形引入動(dòng)點(diǎn)形成的函數(shù)及方程問(wèn)題。例1 如圖，中，點(diǎn)M在邊AB上，且。ACBDM（1）動(dòng)點(diǎn)D在邊AC上運(yùn)動(dòng)，且與點(diǎn)A，C均不重合，設(shè)。設(shè)與的面積之比為，求與之間的函數(shù)ACBEMD關(guān)系式（寫(xiě)出自變量的取值范圍）。當(dāng)取何值時(shí)，

13、是等腰三角形？寫(xiě)出你的理由。（2）如圖，以圖中的BC，CA為一組鄰邊的矩形中，D在矩形邊上運(yùn)動(dòng)一周，能使是以為頂角的等腰三角形共有多少個(gè)？（直接寫(xiě)出結(jié)果，不要求說(shuō)明理由。）【觀察與思考】第一，搞清楚背景圖形，如在圖中，；第二，搞清楚運(yùn)動(dòng)全過(guò)程，在（1）中，點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng)，的邊DA的長(zhǎng)隨之變化，但該邊上的高不變，邊AM也是不變的；在（2）中，點(diǎn)D可以運(yùn)動(dòng)至矩形上的任意一點(diǎn)，所以的形狀也相應(yīng)地變化著，但AM這條邊是不變的。ACBDMH解：（1），又。過(guò)點(diǎn)M作于H。（如圖），得。（其中）。要使為等腰三角形，只有以下三種可能：、，此時(shí)。、，即在圖中應(yīng)有，而，也即。、（如圖）。若過(guò)D作于點(diǎn)E，易知，且

14、。ACBDME即，得。綜上可知：當(dāng)時(shí)，都可以是等腰三角形。ACBEM（2）注意到要求為等腰三角形，且以為頂角，也就是要求，那么A和D都應(yīng)以點(diǎn)M為圓心，以MA的長(zhǎng)為半徑的圓周上，為此，作草圖如圖，該圓與矩形的邊共有5個(gè)交點(diǎn)（包括點(diǎn)A），這些點(diǎn)中和M，A構(gòu)以M為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形共有4個(gè)，如圖中的?！菊f(shuō)明】在本題中，（1）中的是轉(zhuǎn)化為函數(shù)，（1）中的是轉(zhuǎn)化為方程。而對(duì)于（2），則主要通過(guò)分析圖形的幾何性質(zhì)與畫(huà)草圖來(lái)解決。ABCDEFHG例2 已知，如圖（1），正方形的邊長(zhǎng)為6，菱形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形邊AB，CD，DA上，連結(jié)CF。（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；（2）設(shè)，用含的代數(shù)式表示的面積；（1）

15、（3）判斷的面積能否等于1，并說(shuō)明理由?！居^察與思考】首先應(yīng)當(dāng)清楚，當(dāng)點(diǎn)G在DC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 菱形的形狀、大小從而點(diǎn)F的位置都是變化的。對(duì)于（1），應(yīng)先搞清楚時(shí)菱形的形狀和點(diǎn)F的位置。對(duì)于（2），關(guān)鍵是求中邊CF上的高。ABCDEFHG對(duì)于（3），可借助于方程或函數(shù)的性質(zhì)幫助作出判斷。解：（1）正方形中，。又，即菱形的邊長(zhǎng)為。在和中， 。，。 ，即這時(shí)菱形是正方形。（1）同理可以證明。ABCDEFHGM即點(diǎn)F在BC邊上，如圖（1），同時(shí)可得。（2）作，M為垂足，連結(jié)GE，如圖（1）。，（1）。在和中，又有。，即無(wú)論菱形如何變化，點(diǎn)F到直線CD的距離始終為定值2。（3）若，由，得，此時(shí)在中，。相

16、應(yīng)地，在中，即點(diǎn)E已經(jīng)不在邊AB上。故不可能有。 三、課堂小結(jié)：1. 圖形引入動(dòng)點(diǎn)后，大都會(huì)形成變動(dòng)圖形邊長(zhǎng)或面積的函數(shù)問(wèn)題；2. 這類函數(shù)關(guān)系的建立，核心基礎(chǔ)是“幾何計(jì)算”，注意恰當(dāng)運(yùn)用與構(gòu)建直角三角形及相似三角形；3. 解法的思考要特別注意從支背景圖形和“變化過(guò)程”的全面研究入手。4. 圖形引入動(dòng)點(diǎn)后形成的函數(shù)和方程問(wèn)題，切入點(diǎn)在于深入，全面地研究“變動(dòng)著的圖形”， 解決的關(guān)鍵在于運(yùn)用好“幾何計(jì)算”。4、 作業(yè)布置：1、如圖（1），在梯形中，ADCB（1）如圖（2），動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)以每秒的速度從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BA，AD，DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止。點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)C停止，設(shè)P，Q同時(shí)從點(diǎn)B出

17、發(fā)秒時(shí)，的面積為，求關(guān)于（秒）的函數(shù)關(guān)系式。ADCBQPADCBEP（1）（2） （3）（2）如圖（3），動(dòng)點(diǎn)P以每秒的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在線段CD上隨之運(yùn)動(dòng)，且。設(shè)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)秒時(shí)，四邊形PADE的面積，求關(guān)于（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍。2、如圖，已知矩形的邊長(zhǎng)某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng) 問(wèn)：（1）經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，的面積等于矩形面積的？（2）是否存在時(shí)刻，使以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。ABDCNM3、如圖，在矩形中，。設(shè)P，Q分別為BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P自點(diǎn)D沿DB方向勻速移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q自點(diǎn)B沿BC方向向點(diǎn)C作勻速移動(dòng)，移動(dòng)的速度均為，設(shè)P，Q移動(dòng)的時(shí)間為（）。（1）寫(xiě)出的面積與時(shí)間之間的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？（2）當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形？（3）能否成為等邊三角形？若能，求的值；若不能，說(shuō)明理由。ABCDPQ4、如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)P是BC邊上不與點(diǎn)B，C重合的任意一點(diǎn)，連結(jié)AP，過(guò)點(diǎn)P作交DC于點(diǎn)Q，設(shè)BP的長(zhǎng)為，CQ的長(zhǎng)為。ABCDQP（1）求點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值。5、如圖，