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1、專(zhuān)題三 圓的證明與計(jì)算類(lèi)型一 切線(xiàn)的判定判定某直線(xiàn)是圓的切線(xiàn),首先看是否有圓的半徑過(guò)直線(xiàn)與圓的交點(diǎn),有半徑則證垂直;沒(méi)有半徑,則連接圓心與切點(diǎn),構(gòu)造半徑證垂直 (2016·黃石)如圖,O的直徑為AB,點(diǎn)C在圓周上(異于A,B),ADCD,(1)若BC3,AB5,求AC的值;(2)若AC是DAB的平分線(xiàn),求證:直線(xiàn)CD是O的切線(xiàn) 【分析】 (1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角,利用勾股定理求AC的長(zhǎng);(2)連接OC,利用AC是DAB的平分線(xiàn),證得OACCAD,再結(jié)合半徑相等,可得OCAD,進(jìn)而結(jié)論得證 1(2016·六盤(pán)水)如圖,在O中,AB為直徑,D,E為圓上兩點(diǎn),C為圓外一點(diǎn)
2、,且EC90°.(1)求證:BC為O的切線(xiàn);(2)若sin A,BC6,求O的半徑 2(2017·濟(jì)寧)如圖,已知O的直徑AB12,弦AC10,D是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DEAC,交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.(1)求證:DE是O的切線(xiàn);(2)求AE的長(zhǎng) 類(lèi)型二 切線(xiàn)的性質(zhì)已知某條直線(xiàn)是圓的切線(xiàn),當(dāng)圓心與切點(diǎn)有線(xiàn)段連接時(shí),直接利用切線(xiàn)的性質(zhì):圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑;當(dāng)圓心與切點(diǎn)沒(méi)有線(xiàn)段相連時(shí),則作輔助線(xiàn)連接圓心與切點(diǎn),再利用切線(xiàn)的性質(zhì)解題 (2016·資陽(yáng))如圖,在O中,點(diǎn)C是直徑AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作O的切線(xiàn),切點(diǎn)為D,連接BD.(1)求證:ABDC;(2)若CM平分
3、ACD,且分別交AD,BD于點(diǎn)M,N,當(dāng)DM1時(shí),求MN的長(zhǎng) 【分析】 (1)連接OD,由切線(xiàn)的性質(zhì)可得CDBODB90°,由AB是直徑,可得ADB90°,進(jìn)而可得AABD90°,進(jìn)而求得ABDC;(2)由角平分線(xiàn)及三角形外角性質(zhì)可得AACMBDCDCM,即DMNDNM,再根據(jù)勾股定理求得MN的長(zhǎng) 3(2016·南平)如圖,PA,PB是O切線(xiàn),A,B為切點(diǎn),點(diǎn)C在PB上,OCAP,CDAP于點(diǎn)D.(1)求證:OCAD;(2)若P50°,O的半徑為4,求四邊形AOCD的周長(zhǎng)(精確到0.1,參考數(shù)據(jù)sin 50°0.77,cos 50
4、176;0.64,tan 50°1.19) 4(2017·長(zhǎng)沙)如圖,AB與O相切于點(diǎn)C,OA,OB分別交O于點(diǎn)D,E,.(1)求證:OAOB;(2)已知AB4,OA4,求陰影部分的面積 類(lèi)型三 圓與相似的綜合 圓與相似的綜合主要體現(xiàn)在圓與相似三角形的綜合,一般結(jié)合切線(xiàn)的判定及性質(zhì)綜合考查,求線(xiàn)段長(zhǎng)或半徑一般的解題思路是利用切線(xiàn)的性質(zhì)構(gòu)造角相等,進(jìn)而構(gòu)造相似三角形,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出所求線(xiàn)段或半徑 (2016·荊門(mén))如圖,AB是O的直徑,AD是O的弦,點(diǎn)F是DA延長(zhǎng)線(xiàn)的一點(diǎn),AC平分FAB交O于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作CEDF,垂足為點(diǎn)E.(1)求證:CE是O的
5、切線(xiàn);(2)若AE1,CE2,求O的半徑 【分析】 (1)連接CO,證得OCACAE,由平行線(xiàn)的判定得到OCFD,再證得OCCE即可;(2)連接BC,由圓周角定理得到BCA90°,再證得ABCACE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得半徑 5(2017·德州)如圖,已知RtABC,C90°,D為BC的中點(diǎn)以AC為直徑的O交AB于點(diǎn)E.(1)求證:DE是O的切線(xiàn);(2)若AEEB12,BC6,求AE的長(zhǎng) 6(2017·黃岡)如圖,已知MN為O的直徑,ME是O的弦,MD垂直于過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)DE,垂足為點(diǎn)D,且ME平分DMN.求證:(1)DE是O的切線(xiàn);(2)ME2M
6、D·MN. 7(2016·丹東)如圖,AB是O的直徑,點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,CD與O相切于點(diǎn)D,CEAD,交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.(1)求證:BDCA;(2)若CE4,DE2,求AD的長(zhǎng) 參考答案【例1】 (1)AB是O的直徑,點(diǎn)C在O上,ACB90°,AC4.(2)如圖,連接OC,AC平分DAB,OACCAD.OAOC,OACOCA,OCACAD,OCAD.ADCD,OCCD.OC是O的半徑,直線(xiàn)CD是O的切線(xiàn)【變式訓(xùn)練】 1(1)證明:A與E所對(duì)的弧都是,AE.EC90°,AC90°,ABC180°AC90°.即ABBC.
7、AB是直徑,BC為O的切線(xiàn)(2)解:sin A,BC6,AC10.在RtABC中,AB8,AOAB4,即O的半徑是4.2(1)證明:如圖,連接OD.D是的中點(diǎn),BODBAE,ODAE.DEAC,AED90°,ODE90°.ODDE,DE是O 的切線(xiàn)(2)解:如圖,過(guò)點(diǎn)O作OFAC于點(diǎn)F.AC10,AFCFAC×105.OFEDEFODE90°,四邊形OFED是矩形,F(xiàn)EODAB6,AEAFFE5611.【例2】 (1)如圖,連接OD,CD是O的切線(xiàn),ODC90°,BDCODB90°.AB是O的直徑,ADB90°,AABD90
8、°.OBOD,OBDODB,AODB90°,ABDC.(2)CM平分ACD,DCMACM.ABDC,AACMBDCDCM.即DMNDNM.ADB90°,DM1,DNDM1,MN.【變式訓(xùn)練】 3(1)證明:PA是O的切線(xiàn),A為切點(diǎn),OAPA,即OAD90°.OCAP,COA180°OAD180°90°90°.CDPA,CDAOADCOA90°,四邊形AOCD是矩形,OCAD.(2)解:PB切O于點(diǎn)B,OBP90°.OCAP,BCOP50°.在RtOBC中,sinBCO,OB4,OC5.
9、22,矩形OADC的周長(zhǎng)為2(OAOC)2×(45.22)18.4.4(1)證明:如圖,連接OC.AB與O相切于點(diǎn)C,ACO90°.,AOCBOC,AB,OAOB.(2)解:由(1)可知OAB是等腰三角形,BCAB2,sinCOB,COB60°,B30°,OCOB2,S扇形OCE,SOCB×2×22,S陰影SOCBS扇形OCE2.【例3】 (1)如圖,連接CO,OAOC,OCAOAC.AC平分FAB,OACFAC,OCAFAC,OCFD.CEFD,CEOC.OC是O的半徑,CE是O的切線(xiàn)(2)如圖,連接BC,在RtACE中,AC.AB
10、是O的直徑,BCA90°,BCACEA.CAEBAC,ACEABC,即,AB5,AOAB2.5即O的半徑是2.5.【變式訓(xùn)練】 5(1)證明:如圖,連接OE,CE.AC是O的直徑,AECBEC90°.D是BC的中點(diǎn),EDBCDC,12.OEOC,34,1324,即OEDACD.ACD90°,OED90°,即OEDE.又E是O上一點(diǎn),DE是O的切線(xiàn)(2)解:由(1)知BEC90°.在RtBEC與RtBCA中,B為公共角,BECBCA,即BC2BE·BA.AEEB12,設(shè)AEx,則BE2x,BA3x.又BC6,622x·3x.x,即AE.6證明:(1)ME平分DMN,OMEDME.OMOE,OMEOEM,DMEOEM,OEDM.DMDE,OEDE.OE是O的半徑,DE是O的切線(xiàn)(2)如圖,連接EN,DMDE,MN為O的直徑,MDEMEN90°,NMEDME,MDEMEN,ME2MD·MN.7(1)證明:如圖,連接OD,CD是O的切線(xiàn),
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