中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)時拋物線中的一個動點問題

1、第19課時 拋物線中的一個動點問題(40分) 圖6311(20分)2017·酒泉如圖631，已知二次函數(shù)yax2bx4的圖象與x軸交于點B(2，0)，點C(8，0)，與y軸交于點A.(1)求二次函數(shù)yax2bx4的表達式；(2)連結(jié)AC，AB，若點N在線段BC上運動(不與點B，C重合)，過點N作NMAC，交AB于點M，當(dāng)AMN面積最大時，求N點的坐標(biāo)；(3)連結(jié)OM，在(2)的結(jié)論下，求OM與AC的數(shù)量關(guān)系【解析】 (1)用待定系數(shù)法，將點B，點C的坐標(biāo)分別代入yax2bx4，解得a，b，即可求出二次函數(shù)的表達式；(2)設(shè)點N的坐標(biāo)為(n，0)(2n8)，則BNn2，CN8n.由題意

2、可知，BC10，OA4，SABC20，SABN2(n2)，因MNAC，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，由AMN，ABN是同高三角形，可得出，從而得出AMN的面積S與n的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的頂點性質(zhì)，即可求出當(dāng)n3時，即N(3，0)時，AMN的面積最大；(3)當(dāng)N(3，0)時，N為BC邊中點，由NMAC推出M為AB邊中點，根據(jù)直角三角形中線定理可得OMAB，利用勾股定理，易得AB2，AC4，即可求出OMAC.解：(1)將點B，點C的坐標(biāo)分別代入yax2bx4，得解得a，b.該二次函數(shù)的表達式為yx2x4；(2)設(shè)點N的坐標(biāo)為(n，0)(2n8)；則BNn2，CN8n.B(2，0)，C(

3、8，0)，BC10.令x0，得y4，A(0，4)，OA4，MNAC，.OA4，BC10，SABCBC·OA20. SABNBN·OA(n2)×42(n2)，又，SAMNSABN(8n)(n2)(n3)25.當(dāng)n3時，即N(3，0)時，AMN的面積最大；(3)當(dāng)N(3，0)時，N為BC邊中點M為AB邊中點，OMAB，AB2，AC4，ABAC，OMAC.圖6322(20分)2016·貴港如圖632，拋物線yax2bx5(a0)與x軸交于點A(5，0)和點B(3，0)，與y軸交于點C.(1)求該拋物線的表達式；(2)若E為x軸下方拋物線上的一動點，當(dāng)SABES

4、ABC時，求點E的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，拋物線上是否存在點P，使BAPCAE？若存在，求出點P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：(1)把A，B兩點坐標(biāo)代入表達式，可得解得拋物線的表達式為yx2x5；(2)在yx2x5中，令x0，可得y5，點C坐標(biāo)為(0，5)，SABESABC，且點E在x軸下方，點E縱坐標(biāo)和點C縱坐標(biāo)相同，當(dāng)y5時，代入可得x2x55，解得x2或x0(舍去)，點E坐標(biāo)為(2，5)；(3)假設(shè)存在滿足條件的P點，其坐標(biāo)為，如答圖，連結(jié)AP，CE，AE，過點E作EDAC于點D，過點P作PQx軸于點Q，第2題答圖則AQAOOQ5m，PQ，在RtAOC中，OAOC5，則AC5，

5、ACODCE45°，由(2)可得EC2，在RtEDC中，可得DEDC，ADACDC54，當(dāng)BAPCAE時，則EDAPQA，即，m2m5(5m)或m2m5(5m)，當(dāng)m2m5(5m)時，整理可得4m25m750，解得m或m5(與點A重合，舍去)，當(dāng)m2m5(5m)時，整理可得4m211m450，解得m或m5(與點A重合，舍去)，存在滿足條件的點P，其橫坐標(biāo)為或.(40分)圖6333(20分)2016·南寧如圖633，已知拋物線經(jīng)過原點O，頂點為A(1，1)，且與直線yx2交于B，C兩點(1)求拋物線的表達式及點C的坐標(biāo)；(2)求證：ABC是直角三角形；(3)若N為x軸上的一個

6、動點，過點N作MNx軸與拋物線交于點M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點的三角形與ABC相似？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解析】 (1)頂點坐標(biāo)為(1，1)，設(shè)拋物線表達式為ya(x1)21，又拋物線過原點，0a(01)21，解得a1，拋物線的表達式為y(x1)21，即yx22x，聯(lián)立拋物線和直線表達式，可得解得或B(2，0)，C(1，3)；(2)證明：如答圖，分別過A，C兩點作x軸的垂線，交x軸于D，E兩點，第3題答圖則ADODBD1，BEOBOE213，EC3.ABOCBO45°，即ABC90°，ABC是直角三角形；(3)假設(shè)存在滿足條件的點N，設(shè)N(x

7、，0)，則M(x，x22x)，ON|x|，MN|x22x|，由(2)在RtABD和RtCEB中，可分別求得AB，BC3，MNx軸于點N，ABCMNO90°，當(dāng)ABC和MNO相似時有或，當(dāng)時，則有，即|x|·|x2|x|，當(dāng)x0時M，O，N不能構(gòu)成三角形，x0，|x2|，即x2±，解得x1，x2，此時點N坐標(biāo)為或；當(dāng)時，則有，即|x|·|x2|3|x|，|x2|3，即x2±3，解得x5或1，此時點N坐標(biāo)為(1，0)或(5，0)，綜上可知，存在滿足條件的點N，其坐標(biāo)為或或(1，0)或(5，0)圖6344(20分)2017·瀘州如圖634，

8、已知二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象經(jīng)過A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)三點(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)點D是該二次函數(shù)圖象上的一點，且滿足DBACAO(O是坐標(biāo)原點)，求點D的坐標(biāo)；(3)點P是該二次函數(shù)圖象上位于第一象限內(nèi)的一個動點，連結(jié)PA分別交BC，y軸于點E，F(xiàn)，若PEB，CEF的面積分別為S1，S2，求S1S2的最大值【解析】 (1)根據(jù)待定系數(shù)法求解；(2)設(shè)直線BD與y軸的交點為M(0，t)根據(jù)tanMBAtanCAO列關(guān)于t的方程求解t，從而可確定直線BD表達式，再求直線BD與拋物線交點坐標(biāo)即可，注意分類討論；(3)過點P作PHy軸交直線BC于點H，設(shè)P(t

9、，at2btc)，根據(jù)直線BC表達式點H的坐標(biāo)，計算線段PH長度；用t表示直線AP表達式，解出點E，F(xiàn)坐標(biāo)從而可表示出線段CF，將S1S2用t表示，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值解：(1)設(shè)拋物線的表達式為ya(x1)(x4)，拋物線圖象過點C(0，2)，4a2，解得a.拋物線的表達式為y(x1)(x4)，即yx2x2；(2)設(shè)直線BD與y軸的交點為M(0，t)DBACAO，MBACAO，tanMBAtanCAO2，2，即t±8.當(dāng)t8時，直線BD表達式為y2x8.聯(lián)立解得 D(3，2)當(dāng)t8時，直線BD表達式為y2x8.聯(lián)立解得 D(5，18)綜上：點D的坐標(biāo)為(3，2)或(5，18)；第

10、4題答圖(3)如答圖，過點P作PHy軸交直線BC于點H，設(shè)P， 直線BC的表達式為yx2，則H，PHyPyHt22t；直線AP的表達式為y(x1)，取x0，得y2t；故F，CF2t；聯(lián)立解得xE，S1(yPyH)(xBxE)，S2··.S1S2··t24x.當(dāng)t時，S1S2有最大值，最大值為.(20分)5(20分)2016·金華在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，平行于x軸的直線與拋物線L：yax2相交于A，B兩點(點B在第一象限)，點D在AB的延長線上(1)已知a1，點B的縱坐標(biāo)為2.如圖635，向右平移拋物線L使該拋物線過點B，與AB的延長線交于

11、點C，求AC的長；如圖，若BDAB，過點B，D的拋物線L2，其頂點M在x軸上，求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖，若BDAB，過O，B，D三點的拋物線L3的頂點為P，對應(yīng)函數(shù)的二次項系數(shù)為a3，過點P作PEx軸交拋物線L于E，F(xiàn)兩點，求的值，并直接寫出的值圖635解：(1)對于二次函數(shù)yx2，當(dāng)y2時，2x2，解得x1，x2，AB2.平移得到的拋物線L1經(jīng)過點B，BCAB2，AC4；如答圖，記拋物線L2的對稱軸與AD相交于點N.根據(jù)拋物線的軸對稱性，得BNDB，OM.設(shè)拋物線L2的函數(shù)表達式為ya2·.由得，點B的坐標(biāo)為，2a2·，解得a24.拋物線L2的函數(shù)表達式為y4；即y4x212x18. 第5題答圖(2)如答圖，設(shè)拋物線L3與x軸交于點G，其對