中考數(shù)學(xué)真題分類匯編第三期專題9一元二次方程及其應(yīng)用試題含解析

1、一元二次方程及其應(yīng)用一.選擇題1.（2018·云南省昆明·4分）關(guān)于x的一元二次方程x22x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）Am3Bm3Cm3Dm3【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x22x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得=（2）24m0，求出m的取值范圍即可【解答】解：關(guān)于x的一元二次方程x22x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，=（2）24m0，m3，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式=b24ac當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根2. （

2、2018呼和浩特3分）下列運(yùn)算及判斷正確的是（）#ERR1A5×÷（）×5=1B方程（x2+x1）x+3=1有四個(gè)整數(shù)解C若a×5673=103，a÷103=b，則a×b=D有序數(shù)對(duì)（m2+1，m）在平面直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一定在第一象限【解答】解：A5×÷（）×5=1×（5）×5=25，故錯(cuò)誤；B方程（x2+x1）x+3=1有四個(gè)整數(shù)解：x=1，x=2，x=3，x=1，故正確；C若a×5673=103，a÷103=b，則a×b=×=，故錯(cuò)誤；D

3、有序數(shù)對(duì)（m2+1，m）在平面直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一定在第一象限或第四象限或x軸正半軸上，故錯(cuò)誤；故選：B3.（2018·湖北咸寧·3分）已知一元二次方程2x2+2x1=0的兩個(gè)根為x1，x2，且x1x2，下列結(jié)論正確的是（）A. x1+x2=1 B. x1x2=1 C. |x1|x2| D. x12+x1=【答案】D【解析】【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)A.B進(jìn)行判斷；由于x1+x20，x1x20，則利用有理數(shù)的性質(zhì)得到x1.x2異號(hào)，且負(fù)數(shù)的絕對(duì)值大，則可對(duì)C進(jìn)行判斷；利用一元二次方程解的定義對(duì)D進(jìn)行判斷【詳解】根據(jù)題意得x1+x2=1，x1x2=，故A.B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

4、x1+x20，x1x20，x1.x2異號(hào)，且負(fù)數(shù)的絕對(duì)值大，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；x1為一元二次方程2x2+2x1=0的根，2x12+2x11=0，x12+x1=，故D選項(xiàng)正確，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.4.（2018·遼寧大連·3分）如圖，有一張矩形紙片，長(zhǎng)10cm，寬6cm，在它的四角各減去一個(gè)同樣的小正方形，然后折疊成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒若紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是32cm2，求剪去的小正方形的邊長(zhǎng)設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)是xcm，根據(jù)題意可列方程為（）A10×64×6x=32B（

5、102x）（62x）=32C（10x）（6x）=32D10×64x2=32解：設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)是xcm，則紙盒底面的長(zhǎng)為（102x）cm，寬為（62x）cm，根據(jù)題意得：（102x）（62x）=32故選B二.填空題1. （2018·湖北荊州·3分）關(guān)于x的一元二次方程x22kx+k2k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1.x2，且x12+x22=4，則x12x1x2+x22的值是 【解答】解：x22kx+k2k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1.x2，x1+x2=2k，x1x2=k2k，x12+x22=4，=4，（2k）22（k2k）=4，2k2+2k4=0，k2+k2=0，k

6、=2或1，=（2k）24×1×（k2k）0，k0，k=1，x1x2=k2k=0，x12x1x2+x22=40=4故答案為：42.（2018·云南省曲靖·3分）關(guān)于x的方程ax2+4x2=0（a0）有實(shí)數(shù)根，那么負(fù)整數(shù)a=2（一個(gè)即可）【解答】解：關(guān)于x的方程ax2+4x2=0（a0）有實(shí)數(shù)根，=42+8a0，解得a2，負(fù)整數(shù)a=1或2故答案為23.（2018·浙江省臺(tái)州·5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m=【分析】利用判別式的意義得到=324m=0，然后解關(guān)于m的方程即可，【解答】解：根據(jù)題意得=

7、324m=0，解得m=故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與=b24ac有如下關(guān)系：當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根4. （4分）已知x1，x2是方程2x23x1=0的兩根，則x12+x22=【分析】找出一元二次方程的系數(shù)a，b及c的值，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積，然后利用完全平方公式變形后，將求出的兩根之和與兩根之積代入，即可求出所求式子的值【解答】解：x1.x2是方程2x23x1=0的兩根，x1+x2=x1x2=，x12+x22=，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程根與

8、系數(shù)的關(guān)系，對(duì)所求的代數(shù)式進(jìn)行正確的變形是解決本題的關(guān)鍵三.解答題1. （2018·廣西梧州·6分）解方程：2x24x30=0【分析】利用因式分解法解方程即可；【解答】解：2x24x30=0，x22x15=0，（x5）（x+3）=0，x1=5，x2=3【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解法因式分解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的解法，屬于中考基礎(chǔ)題2. （2018·湖北江漢·7分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m22=0（1）若該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的最小整數(shù)值；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且（x1x2）2+m2=21，求

9、m的值【分析】（1）利用判別式的意義得到=（2m+1）24（m22）0，然后解不等式得到m的范圍，再在此范圍內(nèi)找出最小整數(shù)值即可；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=（2m+1），x1x2=m22，再利用（x1x2）2+m2=21得到（2m+1）24（m22）+m2=21，接著解關(guān)于m的方程，然后利用（1）中m的范圍確定m的值【解答】解：（1）根據(jù)題意得=（2m+1）24（m22）0，解得m，所以m的最小整數(shù)值為2；（2）根據(jù)題意得x1+x2=（2m+1），x1x2=m22，（x1x2）2+m2=21，（x1+x2）24x1x2+m2=21，（2m+1）24（m22）+m2=21，整理得m

10、2+4m12=0，解得m1=2，m2=6，m，m的值為23. （2018·湖北十堰·7分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2（2k1）x+k2+k1=0有實(shí)數(shù)根（1）求k的取值范圍；（2）若此方程的兩實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x12+x22=11，求k的值【分析】（1）根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根得出=（2k1）24×1×（k2+k1）=8k+50，解之可得（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根據(jù)條件可得到關(guān)于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判別式進(jìn)行取舍【解答】解：（1）關(guān)于x的一元二次方程x2（2k1）x+k2+k1=0有實(shí)數(shù)根，0，即（2k1

11、）24×1×（k2+k1）=8k+50，解得k（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=2k1，x1x2=k2+k1，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（2k1）22（k2+k1）=2k26k+3，x12+x22=11，2k26k+3=11，解得k=4，或k=1，k，k=4（舍去），k=1【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法4（2018·遼寧省沈陽(yáng)市）（8.00分）某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬(wàn)元，由于改進(jìn)技術(shù)，生產(chǎn)成本逐月下降，3月份的生產(chǎn)成本是361萬(wàn)元假設(shè)該公司2.3.4月每個(gè)月生產(chǎn)

12、成本的下降率都相同（1）求每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率；（2）請(qǐng)你預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本【分析】（1）設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為x，根據(jù)2月份、3月份的生產(chǎn)成本，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；（2）由4月份該公司的生產(chǎn)成本=3月份該公司的生產(chǎn)成本×（1下降率），即可得出結(jié)論【解答】解：（1）設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為x，根據(jù)題意得：400（1x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合題意，舍去）答：每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為5%（2）361×（15%）=342.95（萬(wàn)元）答：預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬(wàn)元【點(diǎn)評(píng)】

13、本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列式計(jì)算5（2018·重慶市B卷）（10.00分）在美麗鄉(xiāng)村建設(shè)中，某縣政府投入專項(xiàng)資金，用于鄉(xiāng)村沼氣池和垃圾集中處理點(diǎn)建設(shè)該縣政府計(jì)劃：2018年前5個(gè)月，新建沼氣池和垃圾集中處理點(diǎn)共計(jì)50個(gè)，且沼氣池的個(gè)數(shù)不低于垃圾集中處理點(diǎn)個(gè)數(shù)的4倍（1）按計(jì)劃，2018年前5個(gè)月至少要修建多少個(gè)沼氣池？（2）到2018年5月底，該縣按原計(jì)劃剛好完成了任務(wù)，共花費(fèi)資金78萬(wàn)元，且修建的沼氣池個(gè)數(shù)恰好是原計(jì)劃的最小值據(jù)核算，前5個(gè)月，修建每個(gè)沼氣池與垃圾集中處理點(diǎn)的平均費(fèi)用之比為1：2為加大

14、美麗鄉(xiāng)村建設(shè)的力度，政府計(jì)劃加大投入，今年后7個(gè)月，在前5個(gè)月花費(fèi)資金的基礎(chǔ)上增加投入10a%，全部用于沼氣池和垃圾集中處理點(diǎn)建設(shè)經(jīng)測(cè)算：從今年6月起，修建每個(gè)沼氣池與垃圾集中處理點(diǎn)的平均費(fèi)用在2018年前5個(gè)月的基礎(chǔ)上分別增加a%，5a%，新建沼氣池與垃圾集中處理點(diǎn)的個(gè)數(shù)將會(huì)在2018年前5個(gè)月的基礎(chǔ)上分別增加5a%，8a%，求a的值【分析】（1）設(shè)2018年前5個(gè)月要修建x個(gè)沼氣池，則2018年前5個(gè)月要修建（50x）個(gè)垃圾集中處理點(diǎn)，根據(jù)沼氣池的個(gè)數(shù)不低于垃圾集中處理點(diǎn)個(gè)數(shù)的4倍，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)單價(jià)=總價(jià)÷數(shù)量可求出修建每

15、個(gè)沼氣池的平均費(fèi)用，進(jìn)而可求出修建每個(gè)垃圾集中點(diǎn)的平均費(fèi)用，設(shè)y=a%結(jié)合總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之即可得出y值，進(jìn)而可得出a的值【解答】解：（1）設(shè)2018年前5個(gè)月要修建x個(gè)沼氣池，則2018年前5個(gè)月要修建（50x）個(gè)垃圾集中處理點(diǎn)，根據(jù)題意得：x4（50x），解得：x40答：按計(jì)劃，2018年前5個(gè)月至少要修建40個(gè)沼氣池（2）修建每個(gè)沼氣池的平均費(fèi)用為78÷40+（5040）×2=1.3（萬(wàn)元），修建每個(gè)垃圾處理點(diǎn)的平均費(fèi)用為1.3×2=2.6（萬(wàn)元）根據(jù)題意得：1.3×（1+a%）×40×

16、（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×（1+10a%），設(shè)y=a%，整理得：50y25y=0，解得：y1=0（不合題意，舍去），y2=0.1，a的值為10【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)沼氣池的個(gè)數(shù)不低于垃圾集中處理點(diǎn)個(gè)數(shù)的4倍，列出關(guān)于x的一元一次不等式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程6. （2018呼和浩特7分）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，請(qǐng)用配方法探索有實(shí)數(shù)根的條件，并推導(dǎo)出求根公式，證明x1x2=解：ax2

17、+bx+c=0（a0），x2+x=，x2+x+（）2=+（）2，即（x+）2=，4a20，當(dāng)b24ac0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，x+=±，當(dāng)b24ac0時(shí)，x1=，x2=；當(dāng)b24ac=0時(shí)，x1=x2=；x1x2=，或x1x2=（）2=，x1x2=7. （2018樂(lè)山10分）先化簡(jiǎn)，再求值：（2m+1）（2m1）（m1）2+（2m）3÷（8m），其中m是方程x2+x2=0的根解：原式=4m21（m22m+1）+8m3÷（8m）=4m21m2+2m1m2=2m2+2m2=2（m2+m1）m是方程x2+x2=0的根，m2+m2=0，即m2+m=2，則原式=2×（21）=27. （2018樂(lè)山10分）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+（15m）x5=0（m0）（1）求證：無(wú)論m為任何非零實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若拋物線y=mx2+（15m）x5=0與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點(diǎn)，且|x1x2|=6，求m的值；（3）若m0，點(diǎn)