第十五章 Fourier級數(shù)

1、第十五章 Fourier級數(shù)教學(xué)基本要求:1.熟練掌握函數(shù)的Fourier級數(shù)展開;2.正確理解Fourier級數(shù)的分析性質(zhì)；3.了解Fourier級數(shù)收斂性的證明§1 Fourier級數(shù)教學(xué)目的:理解三角函數(shù)系及其正交性、會求解以為周期的按段光滑的函數(shù)的傅里葉展開式，識記傅里葉系數(shù)公式及收斂定理.教學(xué)內(nèi)容:1.三角函數(shù)系及其正交性;2.三角級數(shù)及收斂定理;3.傅里葉系數(shù)公式、函數(shù)的傅里葉級數(shù)及其收斂定理（不含證明）;4.以為周期的函數(shù)的傅里葉展開式的求解教學(xué)重點:傅里葉系數(shù)公式、函數(shù)的傅里葉級數(shù)及其收斂定理以為周期的函數(shù)的傅里葉展開式的求解零引言-aa在科學(xué)試驗與工程技術(shù)經(jīng)常碰到一

2、種周期運動, 比如單擺在振幅很小時的擺動,交流電的電流、電壓等都可用正弦函數(shù) 來描述, 這種運動也常稱為簡諧運動, 若干個簡諧運動的迭加則可描述更復(fù)雜的周期運動. 比如方波 就可看成無窮多個奇次正弦函數(shù)的迭加型如的函數(shù)項級數(shù)稱為三角級數(shù). 三角級數(shù)的理論不僅在函數(shù)概念起過很大作用,還有許多數(shù)學(xué)上的基本概念來自三角級數(shù), 這一理論一直是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支.一 三角級數(shù)·正交函數(shù)系：1. 三角級數(shù)的一般形式: 一般的三角級數(shù)為 .由于 ,設(shè) , 得三角級數(shù)的一般形式 它是由三角函數(shù)列(或三角函數(shù)系)所產(chǎn)生. 2. 三角級數(shù)的收斂性:定理1 若級數(shù)收斂, 則級數(shù)在R 內(nèi)絕對且一致收斂

3、.證 ( 用M 判別法).由于二. 三角函數(shù)正交系統(tǒng): 1. 內(nèi)積和正交: 由R中的內(nèi)積與正交概念引入.設(shè)函數(shù)和在區(qū)間上黎曼( R)可積. 定義內(nèi)積為.當(dāng)時,稱函數(shù)和在區(qū)間上正交.函數(shù)的正交性與區(qū)間有關(guān).例如函數(shù)和在區(qū)間上并不正交 ( 因為 ) , 但在區(qū)間卻是正交的.2. 正交函數(shù)系統(tǒng): 標(biāo)準(zhǔn)正交系, 完全系.3. 三角函數(shù)正交系統(tǒng):三角函數(shù)系是區(qū)間上的正交系統(tǒng). 驗證如下:, ;, ;對且,有和.該系統(tǒng)不是標(biāo)準(zhǔn)正交系, 因為 , .因此,三角函數(shù)系是標(biāo)準(zhǔn)正交系. 與R中的坐標(biāo)系比較 ）三. 以為周期函數(shù)的Fourier級數(shù)：1 三角級數(shù)的系數(shù)與其和函數(shù)的關(guān)系：Th2 若在整個數(shù)軸上 且等式

4、右端的級數(shù)一致收斂，則有如下關(guān)系式 ， ， 證 1P642 Fourier系數(shù)和Fourier級數(shù)：EulerFourier公式：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上（R）可積，稱公式 ， ， 為Fourier公式. 稱由Fourier公式得到的和為函數(shù)的Fourier系數(shù).并稱以Fourier系數(shù)和為系數(shù)的三角級數(shù)為函數(shù)的Fourier級數(shù), 記為 例1 設(shè), . 求函數(shù)的Fourier級數(shù).解 由于是上的奇函數(shù); .因此, . 四. 收斂定理: 1 按段光滑函數(shù): .定義 若的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 則稱函數(shù)在區(qū)間上光滑. 若函數(shù)在區(qū)間上至多有有限個第一類間斷點, 且僅在區(qū)間上有限個點處不連續(xù)且為第一類間斷點,

5、則稱是區(qū)間上的按段光滑函數(shù).按段光滑函數(shù)的性質(zhì): 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上按段光滑, 則 在區(qū)間上可積; 對, 都存在, 且有 , . ( 用Lagrange中值定理證明 ) 在區(qū)間上可積 . 2. 收斂定理:Th3 設(shè)函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)且在區(qū)間上按段光滑, 則在每一點, 的Fourier級數(shù)收斂于在點的左、右極限的算術(shù)平均值, 即 ,其中和為函數(shù)的Fourier系數(shù). ( 證明在§3中進行 )推論 若是以為周期的連續(xù)函數(shù),且在上按段光滑, 則的Fourier級數(shù)在內(nèi)收斂于.注: 若是以為周期的函數(shù),則， ， 其中為任意實數(shù).3. 函數(shù)的周期延拓:五. 展開舉例:例5 把函數(shù)展開為Fou

6、rier級數(shù).解 參閱例1 ,有例5 展開函數(shù).解 ; . 函數(shù)在上連續(xù)且按段光滑, 又, 因此有 . ( 若令, 就有 , )例4 設(shè) 求函數(shù)的Fourier級數(shù)展開式. 1P66 E1.例5 把函數(shù)展開成Fourier級數(shù). 1P67 E2 Ex 1P7071 18.§2 以為周期的函數(shù)的展開式教學(xué)目的:理解以為周期的函數(shù)的傅里葉系數(shù)公式及傅里葉展開式，理解函數(shù)展開成正弦級數(shù)、余弦級數(shù)或一般傅里葉級數(shù)的方法及收斂定理教學(xué)內(nèi)容:1.以為周期的函數(shù)的傅里葉系數(shù)公式及其傅里葉展開式;2.奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)、函數(shù)展開成正弦級數(shù)、余弦級數(shù)教學(xué)重點:以為周期的函數(shù)的傅里葉系數(shù)公式及其

7、傅里葉展開式;奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)、函數(shù)展開成正弦級數(shù)、余弦級數(shù)一. 以為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù):設(shè)函數(shù)以為周期, 在區(qū)間上 (R )可積 . 作代換, 則函數(shù)以為周期.由是線性函數(shù), 在區(qū)間上(R )可積.函數(shù)的Fourier系數(shù)為 . . , ； , 還原為自變量, 注意到, 就有其中 , ；, 當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上按段光滑時, 可展開為Fourier級數(shù).注： 三角函數(shù)系 是區(qū)間上的正交函數(shù)系統(tǒng) .例1 把函數(shù)展開成Fourier級數(shù). 1P94 E1 二. 正弦級數(shù)和余弦級數(shù):1. 區(qū)間上偶函數(shù)和奇函數(shù)的Fourier級數(shù):2. 奇展開和偶展開:例2 設(shè), . 求的Fourie

8、r級數(shù)展開式. 1 P74 E2例3 把定義在上的函數(shù) ( 其中之一 展開成正弦級數(shù). 1 P75 E3例1 把函數(shù) 在內(nèi)展開成: >正弦級數(shù); > 余弦級數(shù). 1P99 E4 Ex 1 P77 16 .§3 收斂定理的證明教學(xué)目的：理解貝塞爾不等式，黎曼勒貝格定理、預(yù)備定理2，了解傅里葉級數(shù)收斂定理的證明教學(xué)內(nèi)容:貝塞爾不等式、黎曼勒具格定理、預(yù)備定理2;函數(shù)傅里葉級數(shù)收斂定理的證明Dini定理 設(shè)以為周期的函數(shù)在區(qū)間上按段光滑,則在每一點, 的Fourier級數(shù)收斂于在點的左、右極限的算術(shù)平均值, 即 ,其中和為的Fourier系數(shù).證明思路: 設(shè)對每個, 我們要證明

9、. 即證明 .方法是把該極限表達式化為積分, 利用RiemannLebesgue定理證明相應(yīng)積分的極限為零.施證方案: 1. 寫出的簡縮形式. 稱這一簡縮形式為的積分形式, 或稱為Dirichlet積分, 即 .利用該表示式, 式 可化為 +,于是把問題歸結(jié)為證明 ,和 .這兩式的證明是相同的, 只證第一式.2. 為證上述第一式, 先利用三角公式 建立所謂Dirichlet積分 , 利用該式把 表示為積分,即把 表示為Dirichlet積分 .于是又把上述1中所指的第一式左端化為 .3. 利用所謂Riemann Lebesgue定理證明上述極限為零.為此,先證明Bessel不等式(1P78預(yù)備

10、定理1 ), 再建立Riemann Lebesgue定理, 然后把以上最后的式子化為 .4. 把上式化為應(yīng)用Riemann Lebesgue定理的形式, 即令 ,則 .為使最后這一極限等于零,由Riemann Lebesgue定理,只要函數(shù)在區(qū)間上可積. 因此希望存在. 由函數(shù)在區(qū)間上按段光滑, 可以驗證存在.預(yù)備定理及其推論: 為實施以上證明方案, 我們先建立以下預(yù)備定理和其推論.預(yù)備定理1 ( Bessel 不等式) 若函數(shù)在區(qū)間上可積, 則有Bessel 不等式 ,其中和為函數(shù)的Fourier系數(shù).證 1P78.推論1 ( Riemann Lebesgue定理) 若函數(shù)在區(qū)間上可積, 則

11、有 , .證 1P79.推論2 若函數(shù)在區(qū)間上可積, 則有 , .證 1P79 80.預(yù)備定理2 若是以為周期的周期函數(shù), 在區(qū)間上可積,則函數(shù)的Fourier級數(shù)部分和有積分表示式 .當(dāng)時, 被積函數(shù)中的不定式由極限 來確定.證 1P80 81.Dirichlet積分: .證 由三角公式 , .Dini定理的證明: 1P8182 . Ex 1 P83 15 .附注 1. Parseval等式 設(shè)可積函數(shù)的Fourier級數(shù)在區(qū)間上一致收斂于, 則成立Parseval等式 .證法一 注意到此時函數(shù)在區(qū)間可積 , 由Bessel 不等式, 有 .現(xiàn)證對, 有.事實上, 令由一致收斂于,對對, 有

12、 , 因此 ,.即當(dāng)時有 .令, . 由的任意性, 有 .綜上即得所證 .證法二 由一致收斂于 .而 .因此, .由雙逼原理, 即得所證等式 .證法三 利用內(nèi)積的連續(xù)性( 可參閱一般泛函書 ) , 有= .Parseval等式還可用公式 ( 其中、與、分別是函數(shù)和的Fourier系數(shù)證明；也可用所謂卷積函數(shù)證明.Parseval等式的意義：設(shè)在單位正系下函數(shù)的Fourier系數(shù)為和，可見 ， ； ， ； 同理有 ; 其中和為函數(shù)的通常Fourier系數(shù).于是, Parseval等式即成為 .注意到, 就有 ,這是勾股定理的推廣, 即在坐標(biāo)系中的勾股定理. 因此, 可稱Parseval等式是無窮維空間中的勾股定理. ( 與三維空間中的勾股定理做比較 ) .1. Fourier級數(shù)與三角級數(shù): Fourier級數(shù)與三角級數(shù)的區(qū)別：Fourier級數(shù)是三角級數(shù)，但收斂的三角級數(shù)卻未必是某個可積函數(shù)的Fourier級數(shù). 一個三角級數(shù)是Fourier級數(shù)( 即是某個可積函數(shù)的Fourier級數(shù) ) 的必要條件為:若三角級數(shù) 為Fourier級數(shù), 則數(shù)項級數(shù)收斂.( 參閱復(fù)旦大學(xué)編數(shù)學(xué)分析下冊P116117 ). 比如正弦級數(shù)是收斂的三角級數(shù)(利用Dirichlet判別法), 由級數(shù)發(fā)散, 正弦級數(shù)不是Fourier級數(shù).例 證明: