第五節(jié) 傅立葉級數(shù)

1、第五節(jié) 傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)最初應(yīng)用在天文學(xué)中，這是由于太陽系的行星運動是周期性，歐拉于1729年解行星問題時就得出了這方面的一些結(jié)果，到1829年狄里赫萊第一次論證了傅立葉級數(shù)收斂的充分條件。教學(xué)目的：什么是函數(shù)的傅立葉級數(shù)，給出函數(shù)展為傅立葉級數(shù)的充分條件，求函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式的方法教學(xué)重點：了解傅立葉級數(shù)的概念和狄立克萊收斂定理。教學(xué)難點：如何將上的函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)教學(xué)內(nèi)容：一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性正弦函數(shù)是一種常見的而簡單的函數(shù)，例如描述簡諧振動的函數(shù)y=Asin(t+)就是一個以為周期的正弦函數(shù)。其中y表示動點的位置，t表示時間，A為振幅，為角頻率，為初相。在實際問題

2、中，除了正弦函數(shù)外，還回遇到非正弦函數(shù)，它們反映了叫復(fù)雜的周期運動。例如電子技術(shù)中常用的周期為的矩形波。具體的說將周期為T的周期函數(shù)用一系列以T為周期的正弦函數(shù)組成的級數(shù)來表示，記為 （1）其中都是常數(shù)。將周期函數(shù)按上述方式展開，它的物理意義是很明顯的，這就是把一個比較復(fù)雜的周期運動看成許多不同運動 的疊加，為了 以后討論方便起見，我們將正弦函數(shù)按三角公式變形得 并令則（1）式右端的級數(shù)就可以寫成 （2）一般的，型如（2）的式的級數(shù)叫三角級數(shù)，其中都是常數(shù)。如同討論冪級數(shù)是一樣，我們必須討論三角級數(shù)（2）的收斂問題，以及給定周期為2的周期函數(shù)如何把 它展開成三角級數(shù)（2）為此，我們首先介紹三角

3、函數(shù)系的正交性。所謂三角函數(shù)系 （3）在區(qū)間上正交，就是指在三角函數(shù)系（3）中任何不同的兩個函數(shù)的乘積在區(qū)間上的積分等于零，即 以上等式，都可以通過計算定積分來驗證，現(xiàn)將第四式驗證如下利用三角學(xué)中積化合差的公式當(dāng)kn時，有 其余不證。在三角函數(shù)系（3）中，兩個相同函數(shù)的乘積在區(qū)間上的積分不等于零，即二、傅立葉級數(shù)1若以為周期的函數(shù)可展為三角函數(shù)，即， （4）我們假設(shè)上式可以逐項積分。先求,對上式從到逐項積分：根據(jù)三角函數(shù)（3）的正交性，等式右除第一項，其余都為零，所以于是得其次求用乘（4）式兩端，再從到逐項積分，我們得到根據(jù)三角函數(shù)系（3）的正交性等式右端除k=n的一項處，其余各項均為零，所以

4、于是得如果（5）式的積分都存在，這時它們的系數(shù)叫函數(shù)的傅立葉系數(shù)，將這些系數(shù)代入（4）式右，所得的三角級數(shù)叫做傅立葉級數(shù)。2（Diriclilet收斂定理） 設(shè)是周期為的周期函數(shù)，如果它滿足： 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點 在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點，則的傅立葉級數(shù)收斂，且當(dāng)是的連續(xù)點時，級數(shù)收斂于；當(dāng)是的間斷點時，級數(shù)收斂于例1 已知，求 設(shè)的周期為，將展開為傅立葉級數(shù)； 證明解 從而有 令，有令，有注：利用周期函數(shù)的定積分性質(zhì)，有3正弦級數(shù)和余弦級數(shù)當(dāng)為奇函數(shù)時，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，故 （5）即知奇函數(shù)的傅立葉級數(shù)是含有正弦項的正弦級數(shù) （6）當(dāng)為偶函數(shù)時，是偶函數(shù)是奇函

5、數(shù)故 （7）即知偶函數(shù)的 傅立葉級數(shù)是只含有常數(shù)項和余弦項的余弦級數(shù) （8）例2 將函數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。解 先求正弦級數(shù)。為此對函數(shù)進(jìn)行奇延拓。按公式（5）有將求得的代入（6）得在端點及處級數(shù)的和顯然為零，它不代表原來函數(shù)的值再求余弦級數(shù)。為此對進(jìn)行偶延拓。按公式（7）有將所求得的代入余弦級數(shù)（8）得4若的周期為，則有，其中 （只需作變量代換，由2可得）5當(dāng)為奇函數(shù)時，其中當(dāng)為偶函數(shù)時，其中6當(dāng)定義在上時要先對進(jìn)行奇偶延拓，再周期延拓可將展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)。小結(jié)：函數(shù)展為傅立葉級數(shù)的問題本來是由分解周期函數(shù)為諧波引出的，對非周期函數(shù)，甚至只是定義在上的函數(shù)，當(dāng)它在上滿足狄氏條件時，它的傅立葉級數(shù)在上收斂，而且由于其各項都有周期，故在上都收斂，其和函數(shù)是上的以為周期的函數(shù)。在之外與一般是不同的。但是，如果把定義在上的函數(shù)按周期延拓到數(shù)軸所有點上去，得到一個以為周期的新的函數(shù)，并且仍用表示這個新的函數(shù)，那么在整個數(shù)軸上就應(yīng)有展開式：，若是的連續(xù)點，上式左邊即是。傅立葉級數(shù)，作為一種函數(shù)的解析表達(dá)式，消除了初等函數(shù)和用幾個式子聯(lián)合分段表達(dá)的函數(shù)之間的界限他們都融合成為一類無窮