線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 大學(xué)線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章 行列式 二三階行列式N階行列式：行列式中所有不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積的和 （奇偶）排列、逆序數(shù)、對(duì)換行列式的性質(zhì)：行列式行列互換，其值不變。（轉(zhuǎn)置行列式） 行列式中某兩行（列）互換，行列式變號(hào)。 推論：若行列式中某兩行（列）對(duì)應(yīng)元素相等，則行列式等于零。 常數(shù)k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。 推論：若行列式中兩行（列）成比例，則行列式值為零； 推論：行列式中某一行（列）元素全為零，行列式為零。 行列式具有分行（列）可加性 將行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不變行列式依行（列）展開：余子式、代數(shù)余子式

2、定理：行列式中某一行的元素與另一行元素對(duì)應(yīng)余子式乘積之和為零。 克萊姆法則： 非齊次線性方程組 ：當(dāng)系數(shù)行列式時(shí)，有唯一解： 齊次線性方程組 ：當(dāng)系數(shù)行列式時(shí)，則只有零解 逆否：若方程組存在非零解，則D等于零 特殊行列式：轉(zhuǎn)置行列式：對(duì)稱行列式:反對(duì)稱行列式: 奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式值為零三線性行列式: 方法：用把化為零，?；癁槿切涡辛惺缴希ㄏ拢┤切涡辛惺?行列式運(yùn)算常用方法（主要）行列式定義法（二三階或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降階法、升階法、歸納法、 第二章 矩陣 矩陣的概念：（零矩陣、負(fù)矩陣、行矩陣、列矩陣、n階方陣、相等矩陣) 矩陣的運(yùn)算：加法（同型矩陣）-交換、結(jié)

3、合律 數(shù)乘-分配、結(jié)合律 乘法注意什么時(shí)候有意義 一般AB=BA，不滿足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 轉(zhuǎn)置 (反序定理) 方冪： 幾種特殊的矩陣：對(duì)角矩陣：若AB都是N階對(duì)角陣，k是數(shù)，則kA、A+B、 AB都是n階對(duì)角陣 數(shù)量矩陣：相當(dāng)于一個(gè)數(shù)（若） 單位矩陣、上（下）三角形矩陣（若） 對(duì)稱矩陣 反對(duì)稱矩陣 階梯型矩陣：每一非零行左數(shù)第一個(gè)非零元素所在列的下方 都是0 分塊矩陣：加法，數(shù)乘，乘法：類似，轉(zhuǎn)置：每塊轉(zhuǎn)置并且每個(gè)子塊也要轉(zhuǎn)置 注：把分出來的小塊矩陣看成是元素 逆矩陣：設(shè)A是N階方陣，若存在N階矩陣B的AB=BA=I則稱A是可逆的， (非奇異矩陣、奇異矩陣|A|=0、伴

4、隨矩陣) 初等變換1、交換兩行（列）2.、非零k乘某一行（列）3、將某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等變換不改變矩陣的可逆性 初等矩陣都可逆 初等矩陣：單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的（對(duì)換陣 倍乘陣 倍加陣） 等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 矩陣的秩r(A)：滿秩矩陣 降秩矩陣 若A可逆，則滿秩 若A是非奇異矩陣，則r（AB）=r（B） 初等變換不改變矩陣的秩 求法：1定義2轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式或階梯形 矩陣與行列式的聯(lián)系與區(qū)別： 都是數(shù)表；行列式行數(shù)列數(shù)一樣，矩陣不一樣；行列式最終是一個(gè)數(shù)，只要值相等，就相等，矩陣是一個(gè)數(shù)表，對(duì)應(yīng)元素相等才相等；矩陣，行列式 逆矩陣注：AB=BA=I則A與B一定是方陣 BA=A

5、B=I則A與B一定互逆； 不是所有的方陣都存在逆矩陣；若A可逆，則其逆矩陣是唯一的。矩陣的逆矩陣滿足的運(yùn)算律： 1、可逆矩陣A的逆矩陣也是可逆的，且 2、可逆矩陣A的數(shù)乘矩陣kA也是可逆的，且 3、可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置也是可逆的，且 4、兩個(gè)可逆矩陣A與B的乘積AB也是可逆的，且 但是兩個(gè)可逆矩陣A與B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但A為N階方陣，若|A|=0，則稱A為奇異矩陣，否則為非奇異矩陣。 5、若A可逆，則伴隨矩陣：A為N階方陣，伴隨矩陣： （代數(shù)余子式）特殊矩陣的逆矩陣：（對(duì)1和2，前提是每個(gè)矩陣都可逆） 1、分塊矩陣 則 2、準(zhǔn)對(duì)角矩陣， 則 3、 4、（A可逆） 5、 6、（A可逆

6、） 7、 8、判斷矩陣是否可逆：充要條件是，此時(shí)求逆矩陣的方法：定義法伴隨矩陣法初等變換法 只能是行變換初等矩陣與矩陣乘法的關(guān)系： 設(shè)是m*n階矩陣，則對(duì)A的行實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等于用同等的m階初等矩陣左乘以A：對(duì)A的列實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等于用同種n階初等矩陣右乘以A （行變左乘，列變右乘） 第3章 線性方程組消元法 非齊次線性方程組：增廣矩陣簡化階梯型矩陣 r(AB)=r(B)=r 當(dāng)r=n時(shí)，有唯一解；當(dāng)時(shí)，有無窮多解 r(AB)r(B)，無解 齊次線性方程組：僅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)n 當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)未知量個(gè)數(shù)，一定有非零解 當(dāng)齊次線性方

7、程組方程個(gè)數(shù)=未知量個(gè)數(shù)，有非零解充要|A|=0 齊次線性方程組若有零解，一定是無窮多個(gè)N維向量：由n個(gè)實(shí)數(shù)組成的n元有序數(shù)組。希臘字母表示（加法數(shù)乘） 特殊的向量：行（列）向量，零向量，負(fù)向量，相等向量，轉(zhuǎn)置向量向量間的線性關(guān)系: 線性組合或線性表示 向量組間的線性相關(guān)（無）：定義向量組的秩：極大無關(guān)組（定義P188） 定理：如果是向量組的線性無關(guān)的部分組，則它是 極大無關(guān)組的充要條件是：中的每一個(gè)向量都可由線性表出。 秩:極大無關(guān)組中所含的向量個(gè)數(shù)。 定理：設(shè)A為m*n矩陣，則的充要條件是：A的列（行）秩為r。現(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)：齊次非齊次、基礎(chǔ)解系線性組合或線性表示注：兩個(gè)向量，若則是線

8、性組合 單位向量組 任意向量都是單位向量組的線性組合 零向量是任意向量組的線性組合 任意向量組中的一個(gè)都是他本身的線性組合向量組間的線性相關(guān)（無）注： n個(gè)n維單位向量組一定是線性無關(guān) 一個(gè)非零向量是線性無關(guān)，零向量是線性相關(guān) 含有零向量的向量組一定是線性相關(guān) 若兩個(gè)向量成比例，則他們一定線性相關(guān)向量可由線性表示的充要條件是 判斷是否為線性相關(guān)的方法：1、定義法：設(shè)，求（適合維數(shù)低的）2、 向量間關(guān)系法：部分相關(guān)則整體相關(guān)，整體無關(guān)則部分無關(guān)3、 分量法（n個(gè)m維向量組）：線性相關(guān)（充要） 線性無關(guān)（充要） 推論當(dāng)m=n時(shí)，相關(guān)，則；無關(guān)，則 當(dāng)mn時(shí)，線性相關(guān)推廣：若向量組線性無關(guān)，則當(dāng)s為

9、奇數(shù)時(shí)，向量組 也線性無關(guān)；當(dāng)s為偶數(shù)時(shí)，向量組也線性相關(guān)。 定理：如果向量組線性相關(guān)，則向量可由向量組線性表出，且 表示法唯一的充分必要條件是線性無關(guān)。極大無關(guān)組注：向量組的極大無關(guān)組不是唯一的，但他們所含向量的個(gè)數(shù)是確定的； 不全為零的向量組的極大無關(guān)組一定存在； 無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組是其本身； 向量組與其極大無關(guān)組是等價(jià)的。齊次線性方程組（I）解的結(jié)構(gòu)：解為 （I）的兩個(gè)解的和仍是它的解； （I）解的任意倍數(shù)還是它的解； （I）解的線性組合也是它的解，是任意常數(shù)。非齊次線性方程組（II）解的結(jié)構(gòu)：解為 （II）的兩個(gè)解的差仍是它的解； 若是非齊次線性方程組AX=B的一個(gè)解，v是其導(dǎo)出

10、組AX=O的一個(gè)解，則u+v是（II）的一個(gè)解。定理： 如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A的秩，則該方程組的基礎(chǔ)解系存在，且在每個(gè)基礎(chǔ)解系中，恰含有n-r個(gè)解。 若是非齊次線性方程組AX=B的一個(gè)解，v是其導(dǎo)出組AX=O的全部解，則u+v是（II）的全部解。第4章 向量空間 向量的內(nèi)積 實(shí)向量定義：（，）=性質(zhì)：非負(fù)性、對(duì)稱性、線性性 (,k)=k(,); (k,k)=(,); (+,)=(,)+(,)+(,)+(,); ,向量的長度 的充要條件是=0；是單位向量的充要條件是（，）=1單位化向量的夾角正交向量：是正交向量的充要條件是（，）=0正交的向量組必定線性無關(guān)正交矩陣：階矩陣 性質(zhì)：1、若A

11、為正交矩陣，則可逆，且，且也是正交矩陣；、若A為正交矩陣，則；、若A、為同階正交矩陣，則也是正交矩陣；、階矩陣（）是正交矩陣的充要條件是的列（行）向量組是 標(biāo)準(zhǔn)正交向量；第五章 矩陣的特征值和特征向量特征值、特征向量 A是N階方陣，若數(shù)使AX=X，即（I-A）=0有非零解，則稱為A的一 個(gè)特征值，此時(shí)，非零解稱為A的屬于特征值的特征向量。 |A|= 注： 1、AX=X 2、求特征值、特征向量的方法 求 將代入（I-A）X=0求出所有非零解 3、對(duì)于不同的矩陣，有重根、單根、復(fù)根、實(shí)根（主要學(xué)習(xí)的） 特殊：的特征向量為任意N階非零向量或 4、特征值： 若是A的特征值 則- 則- 則- 若=A則-

12、=0或1 若=I則-=-1或1 若=O則-=0 跡tr(A )：跡（A）= 性質(zhì)： 1、N階方陣可逆的充要條件是A的特征值全是非零的 2、A與有相同的特征值 3、N階方陣A的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān) 4、5、P281 相似矩陣定義P283：A、B是N階矩陣，若存在可逆矩陣P，滿足，則矩陣A與B 相似，記作AB性質(zhì)1、自身性：AA,P=I 2、對(duì)稱性：若AB則BA 3、傳遞性：若AB、BC則AC - - 4、若AB，則A與B同（不）可逆 5、若AB，則 兩邊同取逆， 6、若AB，則它們有相同的特征值。 （特征值相同的矩陣不一定相似） 7、若AB，則 初等變換不改變矩陣的秩 例子：則 A=O A=I A=矩陣對(duì)角化定理：N階矩陣A與N階對(duì)角形矩陣相似的充要條件是A有N個(gè)線性無關(guān)的特征向量注：1、P與中的順序一致 2、A,則與P不是唯一的推論：若n階方陣A有n個(gè)互異的特征值，則 （P281）定理：n階方陣的充要條件是對(duì)于每一個(gè)重特征根，都有 注：三角形矩陣、數(shù)量矩陣的特征值為主對(duì)角線。約當(dāng)形矩陣 約當(dāng)塊：形如的n階矩陣稱為n階約當(dāng)塊； 約當(dāng)形矩陣：由若干個(gè)約當(dāng)塊組成的對(duì)角分塊矩陣（是約當(dāng)塊）稱為約當(dāng)形矩陣。定理：任何矩陣A都相似于一個(gè)約當(dāng)形矩陣，即