計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)與分析復(fù)習(xí)題與答案

1、算法分析與設(shè)計(jì)期末復(fù)習(xí)題(二)一、簡要回答下列問題 ：1. 算法重要特性是什么？ 2. 算法分析的目的是什么？3. 算法的時(shí)間復(fù)雜性與問題的什么因素相關(guān)？4. 算法的漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜性的含義？5. 最壞情況下的時(shí)間復(fù)雜性和平均時(shí)間復(fù)雜性有什么不同？6. 簡述二分檢索（折半查找）算法的基本過程。7. 背包問題的目標(biāo)函數(shù)和貪心算法最優(yōu)化量度相同嗎？8. 采用回溯法求解的問題，其解如何表示？有什么規(guī)定？9. 回溯法的搜索特點(diǎn)是什么？ 10. n皇后問題回溯算法的判別函數(shù)place的基本流程是什么？11. 為什么用分治法設(shè)計(jì)的算法一般有遞歸調(diào)用？12. 為什么要分析最壞情況下的算法時(shí)間復(fù)雜性？ 13. 簡

2、述漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜性上界的定義。14. 二分檢索算法最多的比較次數(shù)？15. 快速排序算法最壞情況下需要多少次比較運(yùn)算？16. 貪心算法的基本思想？17. 回溯法的解（x1,x2,xn）的隱約束一般指什么？18. 闡述歸并排序的分治思路。19. 快速排序的基本思想是什么。 20. 什么是直接遞歸和間接遞歸？消除遞歸一般要用到什么數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)？21. 什么是哈密頓環(huán)問題？22. 用回溯法求解哈密頓環(huán)，如何定義判定函數(shù)？23. 請(qǐng)寫出prim算法的基本思想。參考答案：1. 確定性、可實(shí)現(xiàn)性、輸入、輸出、有窮性2. 分析算法占用計(jì)算機(jī)資源的情況，對(duì)算法做出比較和評(píng)價(jià)，設(shè)計(jì)出額更好的算法。3. 算法的時(shí)間復(fù)雜性

3、與問題的規(guī)模相關(guān)，是問題大小n的函數(shù)。4當(dāng)問題的規(guī)模n趨向無窮大時(shí)，影響算法效率的重要因素是T(n)的數(shù)量級(jí)，而其他因素僅是使時(shí)間復(fù)雜度相差常數(shù)倍，因此可以用T(n)的數(shù)量級(jí)(階)評(píng)價(jià)算法。時(shí)間復(fù)雜度T(n)的數(shù)量級(jí)(階)稱為漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜性。5. 最壞情況下的時(shí)間復(fù)雜性和平均時(shí)間復(fù)雜性考察的是n固定時(shí)，不同輸入實(shí)例下的算法所耗時(shí)間。最壞情況下的時(shí)間復(fù)雜性取的輸入實(shí)例中最大的時(shí)間復(fù)雜度：W(n) = max T(n，I) , IDn平均時(shí)間復(fù)雜性是所有輸入實(shí)例的處理時(shí)間與各自概率的乘積和：A(n) =P(I)T(n，I) IDn6. 設(shè)輸入是一個(gè)按非降次序排列的元素表Ai：j 和x，選取A(i+

4、j)/2與x比較，如果A(i+j)/2=x，則返回(i+j)/2，如果A(i+j)/2<x，則Ai：(i+j)/2-1找x，否則在A (i+j)/2+1：j 找x。上述過程被反復(fù)遞歸調(diào)用。回溯法的搜索特點(diǎn)是什么7. 不相同。目標(biāo)函數(shù)：獲得最大利潤。最優(yōu)量度：最大利潤/重量比。8. 問題的解可以表示為n元組：（x1,x2,xn），xiSi, Si為有窮集合，xiSi, （x1,x2,xn）具備完備性，即（x1,x2,xn）是合理的，則（x1,x2,xi）(i<n)一定合理。9. 在解空間樹上跳躍式地深度優(yōu)先搜索，即用判定函數(shù)考察xk的取值，如果xk是合理的就搜索xk為根節(jié)點(diǎn)的子樹，如

5、果xk取完了所有的值，便回溯到xk-1。10. 將第K行的皇后分別與前k-1行的皇后比較，看是否與它們相容，如果不相容就返回false，測試完畢則返回true。11 . 子問題的規(guī)模還很大時(shí)，必須繼續(xù)使用分治法，反復(fù)分治，必然要用到遞歸。12 最壞情況下的時(shí)間復(fù)雜性決定算法的優(yōu)劣，并且最壞情況下的時(shí)間復(fù)雜性較平均時(shí)間復(fù)雜性游可操作性。 13 .T(n)是某算法的時(shí)間復(fù)雜性函數(shù)，f(n)是一簡單函數(shù)，存在正整數(shù)No和C，nNo，有T(n)<f(n)，這種關(guān)系記作T(n)=O(f(n)。14 .二分檢索算法的最多的比較次數(shù)為 log n 。15.最壞情況下快速排序退化成冒泡排序，需要比較n2

6、次。16. 是一種依據(jù)最優(yōu)化量度依次選擇輸入的分級(jí)處理方法。基本思路是：首先根據(jù)題意，選取一種量度標(biāo)準(zhǔn)；然后按這種量度標(biāo)準(zhǔn)對(duì)這n個(gè)輸入排序，依次選擇輸入量加入部分解中。如果當(dāng)前這個(gè)輸入量的加入，不滿足約束條件，則不把此輸入加到這部分解中。17回溯法的解（x1,x2,xn）的隱約束一般指個(gè)元素之間應(yīng)滿足的某種關(guān)系。 18. 講數(shù)組一分為二，分別對(duì)每個(gè)集合單獨(dú)排序，然后將已排序的兩個(gè)序列歸并成一個(gè)含n個(gè)元素的分好類的序列。如果分割后子問題還很大，則繼續(xù)分治，直到一個(gè)元素。19.快速排序的基本思想是在待排序的N個(gè)記錄中任意取一個(gè)記錄，把該記錄放在最終位置后，數(shù)據(jù)序列被此記錄分成兩部分。所有關(guān)鍵字比該

7、記錄關(guān)鍵字小的放在前一部分，所有比它大的放置在后一部分，并把該記錄排在這兩部分的中間，這個(gè)過程稱作一次快速排序。之后重復(fù)上述過程，直到每一部分內(nèi)只有一個(gè)記錄為止。20.在定義一個(gè)過程或者函數(shù)的時(shí)候又出現(xiàn)了調(diào)用本過程或者函數(shù)的成分，既調(diào)用它自己本身，這稱為直接遞歸。如果過程或者函數(shù)P調(diào)用過程或者函數(shù)Q，Q又調(diào)用P，這個(gè)稱為間接遞歸。消除遞歸一般要用到棧這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。21.哈密頓環(huán)是指一條沿著圖G的N條邊環(huán)行的路徑，它的訪問每個(gè)節(jié)點(diǎn)一次并且返回它的開始位置。22.當(dāng)前選擇的節(jié)點(diǎn)Xk是從未到過的節(jié)點(diǎn),即XkXi(i=1,2,k-1)，且C(Xk-1, Xk)，如果k=-1，則C(Xk, X1) 。2

8、3. 思路是：最初生成樹T為空，依次向內(nèi)加入與樹有最小鄰接邊的n-1條邊。處理過程：首先加入最小代價(jià)的一條邊到T，根據(jù)各節(jié)點(diǎn)到T的鄰接邊排序，選擇最小邊加入，新邊加入后，修改由于新邊所改變的鄰接邊排序，再選擇下一條邊加入，直至加入n-1條邊。二、復(fù)雜性分析1、 MERGESORT(low，high) if low<high； then mid(low，high)/2； MERGESORT(low，mid)； MERGESORT(mid+1，high)； MERGE(low，mid，high)； endif end MERGESORT答: 1、 遞歸方程 設(shè)n=2k解遞歸方程：2、 pro

9、cedure S1(P，W，M，X，n) i1; a0 while i n do if W(i)>M then return endif aa+i ii+1 ; repeat end 解： i1 ;s0 時(shí)間為：O(1) while i n do 循環(huán)n次 循環(huán)體內(nèi)所用時(shí)間為 O(1) 所以 總時(shí)間為:T(n)=O(1)+ nO(1)= O(n)3.procedure PARTITION(m,p) Integer m,p,i;global A(m:p-1) vA(m);im looploop ii+1 until A(i) v repeatloop pp-1 until A(p) v r

10、epeat if i<p then call INTERCHANGE(A(i),A(p) else exit endif repeat A(m) A(p);A(p) v End PARTITION解：最多的查找次數(shù)是p-m+1次 4.procedure F1(n) if n<2 then return(1) else return(F2(2,n,1,1) endif end F1 procedure F2(i,n,x,y) if in then call F2(i+1,n,y,x+y) endif return(y) end F2解：F2（2，n,1,1）的時(shí)間復(fù)雜度為： T(n)

11、=O(n-2); 因?yàn)閕n時(shí)要遞歸調(diào)用F2，一共是n-2次 當(dāng)n1時(shí)F1(n)的時(shí)間為 O(1)當(dāng)n>1時(shí)F1(n)的時(shí)間復(fù)雜度與F2(2,n,1,1)的時(shí)間復(fù)雜度相同即為為 O(n) 5.procedure MAX(A,n,j) xmaxA(1);j1 for i2 to n do if A(i)>xmax then xmaxA(i); ji;endif repeatend MAX 解：xmaxA(1);j1 時(shí)間為：O(1) for i2 to n do 循環(huán)最多n-1次 所以 總時(shí)間為:T(n)=O(1)+ (n-1)O(1)= O(n)6.procedure BINSRCH

12、(A,n,x,j) integer low,high,mid,j,n; low1;highn while lowhigh do mid|_(low+high)/2_| case :x<A(mid):highmid-1:x>A(mid):lowmid+1:else:jmid; return endcase repeat j0 end BINSRCH解：log2n+1三、算法理解1、寫出多段圖最短路經(jīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法求解下列實(shí)例的過程，并求出最優(yōu)值。51342678各邊的代價(jià)如下：C(1,2)=3， C(1,3)=5 ，C(1,4)=2 C(2,6)=8 ，C(2,7)=4 ，C(3,5)

13、=5 ，C(3,6)=4， C(4,5)=2，C(4,6)=1C(5,8)=4， C(6,8)=5 ，C(7,8)=6解：Cost(4,8)=0Cost(3,7)= C(7,8)+0=6 ，D5=8Cost(3,6)= C(6，8)+0=5, D6=8Cost(3,5)= C(5，8)+0=4 D7=8Cost(2,4)= minC(4，6)+ Cost(3,6), C(4，5)+ Cost(3,5) = min1+ 5, 2+4=6 D4=6Cost(2,3)= minC(3，6)+ Cost(3,6) = min4+5=9 D3=5Cost(2,2)= minC(2，6)+ Cost(3,

14、6), C(2，7)+ Cost(3,7) = min8+5, 4+6=10 D2=7Cost(1,1)= minC(1,2)+ Cost(2,2), C(1,3)+ Cost(2,3), C(1,4)+ Cost(2,4) = min3+10, 5+9,2+6= 8D1=414682、 寫出maxmin算法對(duì)下列實(shí)例中找最大數(shù)和最小數(shù)的過程。數(shù)組 A=(48,12,61,3,5,19,32,7) 解：寫出maxmin算法對(duì)下列實(shí)例中找最大數(shù)和最小數(shù)的過程。數(shù)組 A=() 1、 48,12,61,3, 5,19,32,72、48,12 61,3 5,19 32,73、 4861, 123 19

15、32，574、 6132 355、 61 33、 快速排序算法對(duì)下列實(shí)例排序，算法執(zhí)行過程中，寫出數(shù)組A第一次被分割的過程。 A=(65,70,75,80,85,55,50,2)解：第一個(gè)分割元素為65(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) i p65 70 75 80 85 55 50 2 2 865 2 75 80 85 55 50 70 3 765 2 50 80 85 55 75 70 4 665 2 50 55 85 80 75 70 4 655 70 75 80 85 65 50 24、 歸并排序算法對(duì)下列實(shí)例排序，寫出算法執(zhí)行過程。 A=(48,12,61

16、,3,5,19,32,7) 解： 48,12,61,3 5,19,32,748,12 61,3 5,19 32,712,48 3,61 5,19 7,32 3, 12, 48, 61 5, 7, 19，323,5, 7,12，19，32，48,61 5、 寫出圖著色問題的回溯算法的判斷Xk是否合理的過程。解：i0while i<k do if Gk,i=1 and Xk= Xi then return false ii+1repeat if i= k then return true6、 對(duì)于下圖，寫出圖著色算法得出一種著色方案的過程。1342解：K1X1 1 , 返回 trueX21,

17、返回false; X2X2+1=2, 返回 trueX31 ,返回false; X3X3+1=2, 返回false;X3X3+1=3, 返回 true X41, 返回false; X4X4+1=2, 返回false;X4X4+1=3, 返回 true找到一個(gè)解 （1，2，3，3）7、 寫出第7題的狀態(tài)空間樹。解：X1=1X2=2X4=33X3=338、寫出歸并排序算法對(duì)下列實(shí)例排序的過程。(6,2,9,3,5,1,8,7)解：調(diào)用第一層次 6,2,9,3 5,1,8,7 分成兩個(gè)子問題 調(diào)用第二層次 6,2 9,3 5,1 8,7 分成四個(gè)子問題 調(diào)用第三層次 6 2 9 3 5 1 8 7

18、分成八個(gè)子問題 調(diào)用第四層次 只有一個(gè)元素返回上一層第三層歸并 2 ,6 3, 9 1,5 7,8 返回上一層第二層歸并 2 ,3,6, 9 1,5,7,8 返回上一層第一層歸并 1, 2 ,3, 5 ,6, 7, 8,9 排序結(jié)束，返回主函數(shù)9、寫出用背包問題貪心算法解決下列實(shí)例的過程。 P=(18,12,4,1) W=(12,10,8,3) M=25解: 實(shí)例符合P(i)/W(i)P(i+1)/W(i+1)的順序。 CU25,X0 W1< CU: x11; CUCU-W1=13; W2< CU: x21; CUCU-W2=3;W3>CU: x3CU/ W3=3/8;實(shí)例的

19、解為：（1，1，3/8，0）11、有一個(gè)有序表為1，3，9，12，32，41，45，62，75，77，82，95，100，當(dāng)使用二分查找值為82的結(jié)點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過多少次比較后查找成功并給出過程。解：有一個(gè)有序表為1，3，9，12，32，41，45，62，75，77，82，95，100，當(dāng)使用二分查找值為82的結(jié)點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過多少次比較后查找成功并給出過程。一共要要執(zhí)行四次才能找到值為82的數(shù)。12、使用prim算法構(gòu)造出如下圖G的一棵最小生成樹。124356dist(1,2)=6;dist(2,5)=3;dist(5,6)=6;dist(6,4)=2;dist(4,1)=5; dist(1,3)=1;

20、dist(2,3)=5;dist(3,4)=5;dist(3,6)=4;dist(5,3)=6解：使用普里姆算法構(gòu)造出如下圖G的一棵最小生成樹。124356dist(1,2)=6;dist(2,5)=3;dist(5,6)=6;dist(6,4)=2;dist(4,1)=5; dist(1,3)=1;dist(2,3)=5;dist(3,4)=5;dist(3,6)=4;dist(5,3)=61316136412645126343313、有如下函數(shù)說明int f(int x,int y) f=x Mod y +1;已知a=10,b=4,c=5 則執(zhí)行k=f(f(a+c,b),f(b,c)后，k

21、的值是多少并寫出詳細(xì)過程。解：有如下函數(shù)說明int f(int x,int y) f=x Mod y +1;已知a=10,b=4,c=5 則執(zhí)行k=f(f(a+c,b),f(b,c)后，k的值是多少并寫出詳細(xì)過程。 K的值是514、McCathy函數(shù)定義如下：當(dāng)x>100時(shí) m(x)=x-10;當(dāng)x<=100時(shí) m(x)=m(m(x+11);編寫一個(gè)遞歸函數(shù)計(jì)算給定x的m(x)值。解：McCathy函數(shù)定義如下：當(dāng)x>100時(shí) m(x)=x-10;當(dāng)x<=100時(shí) m(x)=m(m(x+11);編寫一個(gè)遞歸函數(shù)計(jì)算給定x的m(x)值。int m(int x)int y;

22、 if(x>100) return(x-100);else y=m(x+11); return (m(y); 15、 設(shè)計(jì)一個(gè)算法在一個(gè)向量A中找出最大數(shù)和最小數(shù)的元素。解：設(shè)計(jì)一個(gè)算法在一個(gè)向量A中找出最大數(shù)和最小數(shù)的元素。Void maxmin(A,n)Vector A;int n;int max,min,i; max=A1;min=A1;for(i=2;i<=n;i+)if(Ai>max)max=Ai;else if(Ai<min)min=Ai;printf(“max=%d,min=%dn”,max,min); 四、設(shè)計(jì)算法 1. 設(shè)有n項(xiàng)獨(dú)立的作業(yè)1,2, n,

23、由m臺(tái)相同的機(jī)器加工處理。作業(yè)i所需要的處理時(shí)間為ti。約定：任何一項(xiàng)作業(yè)可在任何一臺(tái)機(jī)器上處理，但未完工前不準(zhǔn)中斷處理；任何作業(yè)不能拆分更小的子作業(yè)。多機(jī)調(diào)度問題要求給出一種調(diào)度方案，使所給的n個(gè)作業(yè)在盡可能短的時(shí)間內(nèi)由m臺(tái)機(jī)器處理完。設(shè)計(jì)算法，并討論是否可獲最優(yōu)解。解：對(duì)于處理機(jī)j，用Sj 表示處理機(jī)j已有的作業(yè)數(shù)，用Pj,k表示處理機(jī)j的第k個(gè)作業(yè)的序號(hào) 。1）將作業(yè)按照t1t2tn排序2）S1:m清零 j0 /從第一個(gè)處理機(jī)開始安排3) for i1 to n do /安排n個(gè)作業(yè) jj mod m +1 /選下一個(gè)處理機(jī)SjSj+1; Pj,Sji ； Repeat2. 設(shè)有n種面值

24、為:d1d2dn的錢幣，需要找零錢M，如何選擇錢幣dk，的數(shù)目Xk，滿足 d1×Xidn×Xn=M ，使得XiXn 最小 請(qǐng)選擇貪心策略，并設(shè)計(jì)貪心算法。解：貪心原則：每次選擇最大面值硬幣。CUM;i1;X0 / X為解向量While CU0 do XiCU div di / Xi為第i中硬幣數(shù)CUCU-di*Xiii+1;repeat3. 有n個(gè)物品，已知n=7, 利潤為P=(10,5,15,7,6,18,3)，重量W=(2,3,5,7,1,4,1)，背包容積M=15,物品只能選擇全部裝入背包或不裝入背包，設(shè)計(jì)貪心算法，并討論是否可獲最優(yōu)解。解：定義結(jié)構(gòu)體數(shù)組G，將物品編號(hào)、利潤、重量作為一個(gè)結(jié)構(gòu)體：例如Gk=1,10,2求最優(yōu)解，按利潤/重量的遞減序，有 5,6,1,6 1,10,2,56,18,4,9/2 3,15,5,3 7,3,1,32,5,3,5/3 4,7,7,1 算法 procedure KNAPSACK(P，W，M，X，n) /P(1：n)和W(1；n)分別含有按 P(i)/W(i)P(i+1)/W(i+1)排序的n件物品的效益值 和重量。M是背包的容量大小，而x(1：n)是解向量/ real P(1：n)，W(1：n)，X(1：n)，M，cu； integer i，n； X0 /將解向量初始化為零/ cuM /cu