多面體外接球半徑常見的5種求法

1、多面體外接球半徑常見的5種求法如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個 球稱為多面體的外接球有關多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個 熱點.研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識，并且還要特別注意 多面體的有關幾何元素與球的半徑之間的關系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到 至關重要的作用.多面體幾何性質(zhì)法例1已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面積是A.16 二B.20 二C.24 二D. 32 二解 設正四棱柱的底面邊長為x，外接球的半徑為R ,則有4x16，解

2、得x = 2. 2R = j22 +22 +42 =2苗,二R = J6.二這個球的表面積是 4兀R2=24兀.選C.小結 本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的 補形法例2若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為.3，則其外接球的表面積是解 據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，把這個三棱錐可以補成一個棱長為,3的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球設其外接球的半徑為R，則有(2R；2+(V3 (+(73)2 =9. R2.4故其外接球的表面積S = 4二R2 =9-.小結一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為 a、b c，則就可以將

3、這 個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設其外接球 的半徑為R，則有2R二a2 b2 c2 .尋求軸截面圓半徑法例3正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為.2，點S、A、B、C、D都在同一球面上，則此球的體積為.S如圖1所示.半徑就是外接球解 設正四棱錐的底面中心為O1，外接球的球心為O,由球的截面的性質(zhì)，可得 OO1 _平面ABCD .又SO1_平面ABCD，二球心O必在SO1所在的直線上. AASC的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的 的半徑.在 ASC 中，由 SA = SC=；2 AC =2，得 SA2 SC AC2. lASC是以A

4、C為斜邊的Rt ：.AC2小結4兀-1是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故V球二.3根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓,于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解 通法，該方法的實質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何 問題來研究.這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法值得我們學習.公式法例4 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球9面上，且該六棱柱的體積為-，底面周長為3，則這個球的體積為8 6x = 3,1X = _解設正六棱柱的底面邊長為x，高為h，則

5、有93 2 .2rTXh，h = 43.正六棱柱的底面圓的半徑r二丄，球心到底面的距離d 3 . 外接球的半徑2 2R 二 r2 d2 =1. . V球二.3小結 本題是運用公式R2 =r2 d2求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式 .確定球心位置法例5 在矩形ABCD中，AB = 4,BC = 3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B - AC - D，則四面體ABCD的外接球的體積為A.125n12B.C.空二D.125ji3C可知A、B、C、D外接球的半解 設矩形對角線的交點為O，則由矩形對角線互相平分,OA = OB = OC = OD . 點O到四面體的四個頂點 的距離相等，

6、即點O為四面體的外接球的球心，如圖 2所示.54125徑R = OA .故V球R3.選C.236小結:鞏固練習：1. 三棱錐一 一中，-二平面- -，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.B.C.D.2. 在三棱柱abc -ABG 中,已知AA丄平面ABC, aA = 2, BC =朋上BAC飛，此三棱柱各個頂 點都在一個球面上，則球的體積為（32 二25 二31:A. 3B.代二C . 3D. 23. 四面體ABCD中，已知AB=CD=29, AC=BD=34, AD=BC=37，貝U四面體ABCD勺外接球的表面積()A. 25 二 B . 45 二 C . 50 二D . 100 二4. 已知

7、正四面體的棱長為.2，則它的外接球的表面積的值為1HT- II41!Tt31L如圖是某幾何體的三視圖卡則 該兒何體的外接球的表面積 為(A.200xB. 150ttU 100kD 50tt5. 已知正三棱錐P-ABC點P, A, B, C都在半徑為的求面上，若PA PB PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為o6. 平面四邊形中，H -社- ,，將其沿對角線工折成四面體匚T二,使平面匸止丄平面 ，若四面體二的頂點在同一個球面上，則該球的體積 為()x/3忑打Q冀A(A)(B)(C)(D)7. 正四棱錐的頂點都在同一球面上， 若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為()81 二27 二A. 4 B . 16 二 C . 9二D . 48. 一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，俯視圖是一個等腰直角三角形, 則該幾何體的外接球的表面積為側(cè)視圖9. 三棱錐A-BCD的外接球為球，球O的直徑是AD，且BCJBCD都是邊長為1的等邊三角形，則三棱錐A-BCD的體積是（）2 1 1 .2A 12 B 8C 6D810. 已知A,B是球O的球面上兩點，/ AOB=90,C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值 為36,則球O的表面積為A. 36 n B.64 n C.144 n D.256 n11. 已知三